高考数学一轮复习考点规范练33基本不等式及其应用含解析新人教A版文

这是一份高考数学一轮复习考点规范练33基本不等式及其应用含解析新人教A版文，共9页。试卷主要包含了下列不等式一定成立的是等内容，欢迎下载使用。
考点规范练33　基本不等式及其应用基础巩固1.下列不等式一定成立的是(　　)A.lg>lg x(x>0)B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)答案:C解析:因为x>0,所以x2+≥2·x·=x,所以lg≥lgx(x>0),故选项A不正确;当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知选项C正确;当x=0时,=1,故选项D不正确.2.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是(　　)A.3 B.4 C.5 D.6答案:B解析:由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,故m+n=2(a+b)≥4=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则(　　)A.a<v< B.v=C.<v< D.v=答案:A解析:设甲、乙两地相距s,则小王往返两地用时为,从而v=.∵0<a<b,∴=a,∴,即,∴a<v<.4.已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则的最小值为(　　)A.8 B.9 C.16 D.18答案:B解析:由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以(a+b)=5+≥5+4=9,当且仅当,即2a=b=时等号成立,故选B.5.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是(　　)A. B. C.2 D.答案:C解析:由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),则12xy+3xy≤30,即xy≤2,故xy的最大值为2.6.若两个正实数x,y满足=1,且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是(　　)A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4) D.(-4,2)答案:D解析:因为x>0,y>0,=1,所以x+2y=(x+2y)=2++2≥8,当且仅当,即x=2y时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.7.设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,则的最大值为(　　)A.2 B. C.1 D.答案:C解析:由ax=by=3,,又a>1,b>1,所以ab≤=3,所以lg(ab)≤lg3,从而=1,当且仅当a=b=时等号成立.8.已知x>1,则logx9+log27x的最小值是　　　　　. 答案:解析:∵x>1,∴logx9+log27x=≥2,当且仅当x=时等号成立.∴logx9+log27x的最小值为.9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*).则当每台机器运转　　　　　年时,年平均利润最大,最大值是　　　　　万元. 答案:5　8解析:每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>0,所以≤18-2=8,当且仅当x=5时,年平均利润最大,最大值为8万元.10.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　　　　　　. 答案:解析:∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6.∵a,b∈R,∴2a>0,>0.∴2a+≥2=2,当且仅当2a=,即a=-3,b=1时取等号.11.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价%,若p>q>0,则提价多的方案是　　　　　. 答案:乙解析:设原价为a,则方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为a.由于(1+p%)(1+q%)<=,因此提价多的是方案乙.12.设a,b均为正实数,求证:+ab≥2.答案:证明因为a,b均为正实数,所以≥2,当且仅当,即a=b时,等号成立,又因为+ab≥2=2,当且仅当=ab时,等号成立,所以+ab≥+ab≥2,当且仅当即a=b=时,等号成立.能力提升13.已知不等式2x2-axy+y2≥0对任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是(　　)A.a≤2 B.a≥2 C.a≤ D.a≤答案:A解析:因为2x2-axy+y2≥0,且y≠0,所以2-a+1≥0.令t=,则不等式变为2t2-at+1≥0.由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈,即2t2-at+1≥0在t∈时恒成立.由2t2-at+1≥0可得a≤,即a≤2t+.又2t+≥2=2.当且仅当2t=,即t=时等号成立,所以2t+取得最小值2,所以有a≤2,故选A.14.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为(　　)A.1 B.2 C.3 D.4答案:D解析:令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,∴2x+≥f(y)max=4,∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;令g(x)=-(2x)2+4×2x,则a≥g(x)max=4,∴实数a的最小值为4.15.已知x>0,a为大于2x的常数.(1)求函数y=x(a-2x)的最大值;(2)求y=-x的最小值.解:(1)∵x>0,a>2x,∴y=x(a-2x)=×2x(a-2x)≤,当且仅当x=时取等号,故函数y=x(a-2x)的最大值为.(2)y=-x=≥2,当且仅当x=时取等号.故y=-x的最小值为.16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单元:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(单位:万元).当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+-1 450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解:(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1000x万元,依题意得,当0<x<80时,L(x)=(0.05×1000x)-x2-10x-250=-x2+40x-250;当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)-51x-+1450-250=1200-,则L(x)=(2)当0<x<80时,L(x)=-(x-60)2+950,此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.当x≥80时,L(x)=1200-≤1200-2=1200-200=1000,当且仅当x=时,即x=100时,L(x)取得最大值1000.因为950<1000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为1000万元.高考预测17.若a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.解:∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3,∴(a+b)2=(ab-3)2.∵(a+b)2≥4ab,∴(ab-3)2≥4ab,即(ab)2-10ab+9≥0,故ab≤1或ab≥9.因此ab的取值范围是(-∞,1]∪[9,+∞).