2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练57 极坐标方程与参数方程的应用

这是一份2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练57 极坐标方程与参数方程的应用，共10页。
1.已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=2+2csα,y=2sinα(α为参数),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ(sin θ+cs θ)=1.
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)点P的极坐标为1,π2,设直线l与圆C的交点为A,B两点,且AB的中点为Q,求线段PQ的长.
2.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+tcsφ,y=1+tsinφ(t为参数,φ∈[0,π)),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4csθ-π3.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设P(1,1),若直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA−PB|的最大值.
3.(2022河南开封一模)数学中有许多寓意美好的曲线,如图,曲线C:(x2+y2)3=4x2y2被称为“四叶玫瑰线”.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)射线l1,l2的极坐标方程分别为θ=θ0,θ=θ0+π4,l1,l2分别交曲线C于M,N两点(不同于O),求1|OM|2+1|ON|2的最小值.
4.(2022山西晋城一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=6sinα,y=6csα(α为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcsθ+π3=2.
(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;
(2)直线l与x轴的交点为P,经过点P的直线m与曲线C交于A,B两点,若|PA|+|PB|=43,求直线m的倾斜角.
综合提升组
5.在平面直角坐标系xOy中,直线l过点(1,0),倾斜角为α,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=8csθ1-cs2θ.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)若α=π4,设直线l与曲线C交于A,B两点,求△AOB的面积.
6.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1+tcsα,y=1+tsinα(t为参数,0≤α0),l1,l2分别交曲线C于M,N两点,求1|OM|2+1|ON|2的最小值.
9.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=csφ,y=1+sinφ(φ为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=23cs θ,曲线C1和C2在第一象限交于点A.
(1)求点A的直角坐标;
(2)直线θ=αα∈0,π3,ρ∈R与曲线C1,C2在第一象限分别交于点B,C,若△ABC的面积为3,求α的值.
参考答案
课时规范练57 极坐标方程与
参数方程的应用
1.解 (1)由x=2+2csα,y=2sinα(α为参数),消去参数α,得圆C的普通方程为(x-2)2+y2=4,由ρ(sin θ+cs θ)=1,结合x=ρcs θ,y=ρsin θ,可得直线l的直角坐标方程为x+y-1=0.
(2)由点P的极坐标为1,π2,得点P的直角坐标为(0,1),可知点P在直线l上.设直线l的参数方程为x=-22t,y=1+22t(t为参数),代入圆的普通方程得t2+32t+1=0,又PQ=t1+t22,故|PQ|=t1+t22=322.
2.解 (1)由圆C的极坐标方程为
ρ=4csθ-π3,
得圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x+23y,即(x-1)2+(y-3)2=4.
(2)将直线l的参数方程x=1+tcsφ,y=1+tsinφ(t为参数),代入(x-1)2+(y-3)2=4,
得t2-2(3-1)sin φ·t-23=0.
设点A,B所对应的参数为t1和t2,
则t1+t2=2(3-1)sin φ,t1·t2=-23,
(方法1)|PA−PB|=|t1-t2|
=(t1+t2)2-4t1t2
=4(3-1)2sin2φ+83,
当sin φ=1时,|PA−PB|max=4.
(方法2)由t的几何意义知,|PA−PB|=|AB|,
所以|PA−PB|max=2r=4.
3.解(1)将x=ρcsθ,y=ρsinθ代入曲线C的直角坐标方程,可得ρ6=4ρ4sin2θcs2θ,
即ρ2=(2sin θcs θ)2=sin22θ,所以曲线C的极坐标方程为ρ2=sin22θ.
(2)设点M,N所对应的极径分别为ρ1,ρ2,
将M(ρ1,θ0),Nρ2,θ0+π4代入C的极坐标方程为ρ2=sin22θ,ρ12=sin22θ0,ρ22=cs22θ0,
所以|OM|2=sin22θ0,|ON|2=cs22θ0,1|OM|2+1|ON|2=1sin22θ0+1cs22θ0=(sin22θ0+cs22θ0)1sin22θ0+1cs22θ0=2+cs22θ0sin22θ0+sin22θ0cs22θ0≥4,
当且仅当tan22θ0=1时,等号成立,所以所求最小值为4.
4.解(1)曲线C的普通方程为x2+y2=6.
因为ρcsθ+π3=2,
所以ρcs θ-3ρsin θ-4=0,直线l的直角坐标方程为x-3y-4=0.
(2)点P的坐标为(4,0),设直线m的参数方程为x=4+tcsθ,y=tsinθ(t为参数,θ为倾斜角),
联立直线m与曲线C的方程得t2+8tcs θ+10=0.
设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-8csθ,t1t2=10,Δ=64cs2θ-40>0,
所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=8|cs θ|=43,解得cs θ=±32且满足Δ>0,
故直线m的倾斜角为π6或5π6.
5.解 (1)直线l的参数方程为x=1+tcsα,y=tsinα(t为参数).
由ρ=8csθ1-cs2θ,得ρ2sin2θ=8ρcs θ,
即曲线C的直角坐标方程为y2=8x.
(2)当α=π4时,直线l的参数方程为x=1+22t,y=22t(t为参数),
代入y2=8x,得t2-82t-16=0,
所以t1+t2=82,t1t2=-16.
所以|AB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=83.
由直线l过点(1,0),所以O到AB的距离为d=1×sinπ4=22.
则S△AOB=12×83×22=26.
6.解 由曲线C的极坐标方程得3ρ2+ρ2sin2θ=12,
化为直角坐标方程为3(x2+y2)+y2=12,即3x2+4y2=12.
将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,得(3cs2α+4sin2α)t2+(6cs α+8sin α)t-5=0.
(1)当α=π2时,上述方程为4t2+8t-5=0,解得t1=12,t2=-52,
所以|AB|=|t1-t2|=3.
(2)由根与系数的关系可知
t1+t2=-6csα+8sinα3cs2α+4sin2α,t1t2=-53cs2α+4sin2α