2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练43 圆的方程

课时规范练43　圆的方程

基础巩固组

1.已知实数x,y满足x2+y2+4x-6y+12=0,则x的最大值是(　　)

A.3 B.2 C.-1 D.-3

2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(　　)

A.- B.- C. D.2

3.已知a,b都是实数,那么“a>2”是“方程x2+y2-2x-a=0表示圆”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知圆的方程为x2+y2-6x=0,过点P(1,2)的该圆的所有弦中,最短弦的长为 (　　)

A. B.1 C.2 D.4

5.(2020全国Ⅲ,文6)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若=1,则点C的轨迹为(　　)

A.圆 B.椭圆

C.抛物线 D.直线

6.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为(　　)

A.7 B.6 C.5 D.4

7.若方程x2+y2+λxy+2kx+4y+5k+λ=0表示圆,则k的取值范围为　　　　　　. 

8.(2022天津和平一模)已知圆C的圆心在直线2x-y-2=0上,且圆C与直线l:3x+4y-28=0相切于点P(4,4),则圆C的标准方程为　　　　　. 

9.设点P是函数y=-图象上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为　　　　　. 

综合提升组

10.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是(　　)

A.(x-2)2+(y-1)2=1 

B.(x-2)2+(y+1)2=1

C.(x+2)2+(y-1)2=1 

D.(x-3)2+(y-1)2=1

11.(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)

A.4 B.5 

C.6 D.7

12.(2023浙江杭州质检)在平面直角坐标系中,已知第一象限内的点A在直线l:y=2x上,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l的另一个交点为D.若AB⊥CD,则圆C的半径等于　　　　　. 

创新应用组

13.过圆x2+y2=16上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线,两个切点之间的线段称为切点弦,则圆x2+y2=4内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为(　　)

A.π B. 

C.2π D.3π

14.过动点P作圆:(x-3)2+(y-4)2=1的切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|=|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是　　　　　. 

参考答案

课时规范练43　圆的方程

1.C　方程化为(x+2)2+(y-3)2=1,圆心(-2,3),半径r=1,则x的最大值是-2+1=-1.故选C.

2.A　圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为=1,解得a=-.故选A.

3.A　方程x2+y2-2x-a=0可化为(x-1)2+y2=1+a,1+a>0,即a>-1,由a>2能推出a>-1,反之不成立,故“a>2”是“方程x2+y2-2x-a=0表示圆”的充分不必要条件.故选A.

4.C　由x2+y2-6x=0,得(x-3)2+y2=9,所以圆心坐标为(3,0),半径为3.当过点P(1,2)的弦与连接P与圆心的直线垂直时,弦最短,则最短弦长为2=2.

5.A　以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.设A(-a,0),则B(a,0),C(x,y),则=(x+a,y),=(x-a,y),由=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹为圆.故选A.

6.B　由(x-3)2+(y-4)2=1,知圆上点P(x0,y0)可化为

∵∠APB=90°,即=0,

∴(x0+m)(x0-m)+=0,

∴m2==26+6cos θ+8sin θ=26+10sin(θ+φ)其中tan φ=,∴4≤m≤6,即m的最大值为6.故选B.

7.(-∞,1)∪(4,+∞)　根据题意,若方程x2+y2+λxy+2kx+4y+5k+λ=0表示圆,则λ=0,

方程为x2+y2+2kx+4y+5k=0,即(x+k)2+(y+2)2=k2-5k+4,必有k2-5k+4>0,解得k<1或k>4,即k的取值范围为(-∞,1)∪(4,+∞).

8.(x-1)2+y2=25　过点P(4,4)且与直线l:3x+4y-28=0垂直的直线m的斜率为k=,所以直线m的方程为y-4=(x-4),即4x-3y-4=0.

由解得C(1,0),所以圆C的半径r==5.

故圆C的标准方程为(x-1)2+y2=25.

9.-2　函数y=-的图象表示圆(x-1)2+y2=4在x轴上及下方的部分,令点Q的坐标为(x,y),则

得y=-3,即x-2y-6=0,

由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,作出图象如图所示,

因此|PQ|的最小值是-2.

10.A　设圆心坐标为(a,b)(a>0,b>0),由圆与直线4x-3y=0相切,得=r=1,即|4a-3b|=5, ①

又圆与x轴相切,得|b|=r=1,解得b=1或b=-1(舍去),

把b=1代入①得,4a-3=5或4a-3=-5,解得a=2或a=-(舍去),∴圆心坐标为(2,1),则圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.故选A.

11.A　设圆心C(x,y),则=1,化简得(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心,1为半径的圆,所以|OC|+1≥|OM|==5,所以|OC|≥5-1=4,当且仅当点C为线段OM与圆M的交点时,取得等号,故选A.

12.　由题意作出图形,

设圆C的半径为r,由题意△ADB为直角三角形.又AB⊥CD,∴△ADB和△CDB都为等腰直角三角形,

∴|DB|=r.

∵点A,D在直线l:y=2x上,∴tan∠DOB=2,∴sin∠DOB=,

则|OB|sin∠DOB=|DB|=r,

即5×r,∴r=.

13.A　如图,过圆x2+y2=16上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,

则|OP|=4,|OA|=|OB|=2,|PB|=|PA|==2,则sin∠OPA=,且∠OPA为锐角,所以∠OPA=30°,同理可得∠OPB=30°,所以∠APB=60°,则△APB为等边三角形,连接OP交AB于点M,则M为AB的中点,所以OM⊥AB,且∠OAB=90°-∠PAB=30°,所以|OM|=|OA|=1,若圆x2+y2=4内的点不在任何切点弦上,则该点到圆x2+y2=4的圆心的距离应小于|OM|,即圆x2+y2=4内的这些点构成了以原点为圆心,半径为1的圆的内部,所以圆x2+y2=4内不在任何切点弦上的点形成的区域面积为π×12=π.故选A.

14.　根据题意,设P的坐标为(m,n),圆(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为N,则N(3,4),PQ为圆(x-3)2+(y-4)2=1的切线,则有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1,又由|PQ|=|PO|,可得|PN|2=|PO|2+1,

即(m-3)2+(n-4)2=m2+n2+1,整理,得6m+8n=24,即点P在直线6x+8y=24上,则|PQ|的最小值即为点O到直线6x+8y=24的距离,且d=,

即|PQ|的最小值是.