2023年高考指导数学(人教A文一轮)课时规范练26 平面向量的数量积及其应用

课时规范练26　平面向量的数量积及其应用

基础巩固组

1.(2022全国乙,理3)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b=(　　)

A.-2 B.-1 C.1 D.2

2.设平面向量a=(1,0),θ为a,b间夹角,若a·b=2,cos θ=,则|b|=(　　)

A.2 B.3 

C.9 D.6

3.已知a,b为单位向量,且满足|a-b|=,则|2a+b|=(　　)

A. B. 

C. D.2

4.已知向量a=(-1,2),b=(3,2),设θ为a+b,a-b间夹角,则cos θ为(　　)

A. B.- C. D.-

5.已知a与b满足|a|=1,|b|=2,|a-2b|=,则a与b的夹角为(　　)

A.120° B.90° C.60° D.30°

6.(2022河南焦作二模)在边长为2的正六边形ABCDEF中,=(　　)

A.-6 B.-2 C.2 D.6

7.若向量a,b满足|a|=2,(a+2b)·a=6,则b在a方向上的投影为(　　)

A.1 B.-1 C.- D.

8.已知单位向量a,b,c,满足a+b+c=0,则a与b的夹角为(　　)

A. B. C. D.

9.若向量m=(0,-2),n=(,1),写出一个与2m+n垂直的非零向量　　　　　. 

10.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,BC=4,O为BC的中点,以O为圆心,1为半径的半圆与线段OC交于点D,P为半圆上任意一点,则的最小值为　　　　. 

11.已知向量a,b满足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为　　　　;|2a-b|=　　　　. 

综合提升组

12.(2022河南郑州二模)在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,M是线段AC上任意一点,则的最小值是(　　)

A.- B.-1 

C.-2 D.-4

13.在△ABC中,已知AB=AC,D为BC边中点,点O在直线AD上,且=3,则BC边的长度为(　　)

A. B.2 

C.2 D.6

14.点A,B,C在圆O上,若|AB|=2,∠ACB=30°,则的最大值为(　　)

A.3 B.2

C.4 D.6

15.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为　　　　. 

创新应用组

16.(2022山东济宁一模)等边三角形ABC的外接圆的半径为2,点P是该圆上的动点,则的最大值为(　　)

A.4 B.7 

C.8 D.11

参考答案

课时规范练26　平面向量

的数量积及其应用

1.C　由已知得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=1+12-4a·b=9,解得a·b=1.

2.D　cos θ=⇒|b|=6.

3.C　a,b为单位向量,且满足|a-b|=,所以a2-2a·b+b2=2,解得a·b=0,所以|2a+b|=.

4.B　因为a=(-1,2),b=(3,2),所以a+b=(2,4),a-b=(-4,0).所以cos θ==-.

5.C　由|a-2b|=,等式左右平方得,(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=1-4a·b+4×4=13,设θ为a,b间夹角,所以a·b=1,即1×2×cos θ=1,cos θ=,θ=60°.

6.A　建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),C(3,),F(-1,),所以=(-3,),=(3,)·(-3,)=-9+3=-6.

7.D　设θ为a,b间夹角,由已知条件可得(a+2b)·a=a2+2a·b=4+2a·b=6,∴a·b=|a|·|b|cos θ=1,因此,b在a方向上的投影为|b|cos θ=.

8.C　设θ为a,b间夹角,由a+b+c=0,得a+b=-c,所以|a+b|=|-c|,即|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=1,所以a·b=-,由a·b=|a||b|·cos θ=-,得θ=.

9.(,1)(答案不唯一)　因为m=(0,-2),n=(,1),

所以2m+n=2(0,-2)+(,1)=(,-3),

设a=(x,y),x·y≠0,因为a与2m+n垂直,所以a·(2m+n)=0,即x-3y=0,

令x=,则y=1,所以a=(,1).

10.2-　建立如图所示的平面直角坐标系,则B(-2,0),A(0,2),D(1,0),设P(x,y),故=(x+2,y),=(1,-2),所以=x-2y+2.令x-2y+2=t,根据直线的几何意义可知,当直线x-2y+2=t与半圆相切时,t取得最小值,由点到直线的距离公式可得=1,t=2-,即的最小值是2-.

11.　2　设θ为a,b间夹角,由题意,向量a,b满足|a|=1,|b|=6,

因为a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2,可得a·b=3,则cos θ=,因为θ∈[0,π],所以θ=,即a与b的夹角为,又由|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4×12-4×3+62=28,所以|2a-b|=2.

12.B　设=λ(λ∈[0,1]),=-(1-λ)=[-(1-λ)]·(λ)=-λ(1-λ)+λ=-9λ(1-λ)+λ×2×3×cos 60°=3λ(3λ-2),当λ=时,=3λ(3λ-2)取最小值-1.故选B.

13.A　在△ABC中,AB=AC,D为BC边中点,∴AD⊥BC,在Rt△BDO中有BD=BO·cos∠OBD,且BD=,∵的夹角为∠OBD,即=||·||·cos∠OBD=3,∴=3,可得||=,所以BC边的长度为.

14.C　点A,B,C在圆O上,|AB|=2,∠ACB=30°,设三角形的外接圆的半径为R,可得2R==4,所以R=2,如图,因为|AB|=2,|OC|=R=2,所以当共线同向时,向量的数量积取得最大值4.故选C.

15.6　由题意,得F(-1,0),设P(x0,y0),则有=1,解得=31-,

因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以=x0(x0+1)++x0+31-=+x0+3=(x0+2)2+2,因为-2≤x0≤2,故当x0=2时,取得最大值6.

16.C　如图所示,以直线BC为x轴,线段BC的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系.设三角形ABC的边长为a,则=2×2=4,所以a=2,A(0,3),B(-,0),C(,0).三角形ABC的外接圆的方程为x2+(y-1)2=4,则点P的坐标为(2cos θ,1+2sin θ),)=4+2cos θ+2sin θ=4+4cosθ-≤8,故选C.