吉林省辽源市田家炳高级中学校2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题（word版含解析）

   田家炳高中高一下学期第一次质量检测

数学试卷

本试卷共22题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内。

2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意要求。）

1．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（    ）

A． B． C． D．

2．（    ）

A． B． C． D．

3．化简的结果为（    ）

A． B． C． D．

4．已知在方向上的投影为，则的值为

A．3 B．  C．2 D．

5.已知三点，，共线，则x为(   )
A.       B.           C.           D.

6．已知向量，满足，且，则，夹角为（    ）

A． B． C． D．

7．已知向量均为单位向量，且，则（    ）

A．2 B． C．4 D．

8．已知向量，，且，则（    ）

A．5 B． C．10 D．

多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。）

9．以下说法正确的是（    ）

A．两个相等向量的模相等                 B．平行向量方向相同

C．若和都是单位向量，则         D．平行向量一定是共线向量

10．（多选）下列各组向量中,可以作为基底的是（    ）

A．  B．  C．  D．  

11．已知点、、、，则（    ）

A． B． C． D．

12．已知平面向量，，与的夹角为，则下列命题中正确的有（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.已知点和向量，若，则点的坐标为__________.

14．已知向量，，则________．

15．已知是边长为的等边三角形，则________．

16．已知向量满足,，与的夹角为，，则_______．

三、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．已知平面向量，，

(1)若，求实数x的值；

(2)若，求实数x的值．

18．已知.

（1）求；

（2）设，的夹角为，求的值.

19．已知向量，，与的夹角为.

(1)求；(2)求；(3)求．

20．已知，，．求：

(1)；

(2)．

21．已知.

（1）当为何值时，与共线？

（2）当为何值时，与垂直？

（3）当为何值时，与的夹角为锐角？

22．已知平行四边形中，，，，点是线段的中点.

(1)求的值；

(2)若，且，求的值.

答案

一、单选题

1．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据相等向量的定义即可得答案.

【详解】解：因为相等向量是指长度相等且方向相同的向量,O为正六边形ABCDEF的中心，

所以与模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正确；

与只是模相等的向量，故B错误；

与只是模相等的向量，故C错误；

与只是模相等的向量，故D错误.

故选：A.

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可求解.

【详解】根据向量的线性运算法则，可得.

故选：D.

3．化简的结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的线性运算性质即可得出答案.

【详解】

故选：B

4．已知在方向上的投影为，则的值为

A．3 B．  C．2 D．

【答案】B

【分析】利用数量积的定义即可.

【详解】设与的夹角为，

故选：B.

5.已知三点，，共线，则x为(   )
A.   B.   C.   D.

答案：B

解析：设，

所以，

所以，

所以，，所以.故选B.

6．已知向量，满足，且，则，夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的点乘关系，求出，即可求出，夹角.

【详解】解：由题意，

在向量，中，，

解得：

∴

故选：C.

7．已知向量均为单位向量，且，则（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】B

【分析】根据向量数量积的运算性质及垂直关系的向量表示即可求解.

【详解】解：因为向量均为单位向量，且，

所以，，

所以，

故选：B.

8．已知向量，，且，则（    ）

A．5 B． C．10 D．

【答案】A

【分析】根据数量积的坐标运算求出，再求出，即可得出所求.

【详解】，，，解得，

，

，

.

故选：A.

多选题

9．以下说法正确的是（    ）

A．两个相等向量的模相等

B．平行向量方向相同

C．若和都是单位向量，则

D．平行向量一定是共线向量

【答案】AD

【分析】根据相等向量、平行向量、单位向量、共线向量的概念分析可得答案.

【详解】根据相等向量的概念可知，两个相等向量的模相等，故A正确；

根据平行向量的概念可知，平行向量方向可能相同、可能相反，零向量与任何向量平行，此时不谈方向，故B不正确；

若和都是单位向量，则，不一定有，故C不正确；

平行向量与共线向量是同一个概念，故D正确.

故选：AD

10．（多选）下列各组向量中,可以作为基底的是（    ）

A．  

B．  

C．  

D．  

【答案】ABC

【分析】平面向量中,不共线的两个向量可以作为一组基底.

【详解】解:由两向量共线的坐标表示知,ABC中的向量均不共线.

对于D, ,即,所以共线．

故选: ABC

【点睛】应用平面向量基本定理应注意：

①平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量；

②选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来；

③强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等；④在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便．

11．已知点、、、，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断CD选项.

【详解】对于A选项，，，则，故，A对；

对于B选项，，所以，，B对；

对于C选项，，所以，，C对；

对于D选项，，则，D错.

故选：ABC.

12．已知平面向量，，与的夹角为，则下列命题中正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】由向量的定义判断A，根据垂直的坐标表示判断B，由模的坐标表示求出模判断C，由数量积求得向量的夹角余弦判断D.

【详解】对于A选项，向量不能比较大小，排除A；

对于B选项，，排除B；

对于C选项，，C正确；

对于D选项，，D正确.

故选：CD

填空题

13.已知点和向量，若，则点的坐标为__________.

答案：

解析：设点，则，

∵，∴，

所以点的坐标为.

14．已知向量，，则________．

【答案】

【分析】利用平面向量的数量积坐标运算求解.

【详解】解：因为向量，，

所以，

故答案为：

15．已知是边长为的等边三角形，则________．

【答案】

【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.

【详解】

.

故答案为：

16．已知向量满足,，与的夹角为，，则_______．

【答案】2

【分析】由已知条件可得的值，再由可得，通过计算即可求出的值.

【详解】因为，所以，即.

又，,与的夹角为，则，

所以．

故答案为：2.

解答题

17．已知平面向量，，

(1)若，求实数x的值；

(2)若，求实数x的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；

（2）首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】（1）解：因为，且，

所以，解得；

（2）解：因为，所以，

又且，所以，解得．

18．已知.

（1）求；

（2）设，的夹角为，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据平面向量的线性运算可得结果；

（2）根据平面向量的夹角公式可得结果.

【详解】（1）.

（2）.

19．已知向量，，与的夹角为.

(1)求；(2)求；(3)求．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由数量积公式计算，再由求解即可；

（2）展开由数量积公式计算.

【详解】（1），

（2）

20．已知，，．求：

(1)；

(2)．

【答案】(1)3

(2)

【分析】利用平方法进行求解﹒

【详解】（1）由，得，则，所以；

（2）因为，所以．

21．已知.

（1）当为何值时，与共线？

（2）当为何值时，与垂直？

（3）当为何值时，与的夹角为锐角？

【答案】（1）；（2）；（3）且.

【分析】（1）利用向量共线的坐标表示：即可求解.

（2）利用向量垂直的坐标表示：即可求解.

（3）利用向量数量积的坐标表示，只需且不共线即可求解.

【详解】解：（1）.

与平行，，解得.

（2）与垂直，

，即，

（3）由题意可得且不共线，解得且.

22．已知平行四边形中，，，，点是线段的中点.

(1)求的值；

(2)若，且，求的值.

【答案】(1)9

(2)

【分析】（1）以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别求出，再根据数量积的坐标运算即可得解；

（2）根据平面向量线性运算的坐标表示球的，由，得，从而可得出答案.

【详解】（1）解：以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则，

则，

所以；

（2）解：，，

因为，

所以，解得．

1.       已知，，则的坐标为(   )
   A.  B.  C.   D.

1. 答案：C

解析：.故选C.

6．(2016·全国Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.

答案　－6

解析　因为a∥b，所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.

典例 (1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　)

A. B.

C. D.

答案　D

解析　由已知3c＝－a＋2b

＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．

所以c＝.

 (1)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)

A. B.

C．(3,2)   D．(1,3)

答案　A

解析　设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，

又＝2，∴∴故选A.

(2)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于(　　)

A．(－2，－1)   B．(－2,1)

C．(－1,0)   D．(－1,2)

答案　D

解析　a＝，b＝，

故a－b＝(－1,2)．

2．(2018·郑州质检)设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b等于(　　)

A．(6,3)  B．(－2，－6)  C．(2,1)  D．(7,2)

答案　B

解析　2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．

11．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．

(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；

(2)若＝2，求点C的坐标．

解　(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，

∵A，B，C三点共线，∴∥.

∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.

(2)∵＝2，

∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．

∴解得

∴点C的坐标为(5，－3)．