江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com江苏省西亭高级中学2019-2020学年（下）期中测试

高一数学

一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1.如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（    ）

A. 一个球 B. 一个球中间挖去一个圆柱

C. 一个圆柱 D. 一个球中间挖去一个棱柱

【答案】B

【解析】

【分析】

根据球的定义，可得外面的圆旋转形成一个球，根据圆柱的概念，可得里面的长方形旋转形成一个圆柱，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，根据球的定义，可得外面的圆旋转形成一个球，

根据圆柱的概念，可得里面的长方形旋转形成一个圆柱，

所以绕中间轴旋转一周，形成的几何体为一个球中间挖去一个圆柱，

故选B.

【点睛】本题主要考查了旋转体的概念及其应用，其中解答中熟记旋转体的概念和结构特征，合理判定是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题.

2.某中学有学生人，其中男生人，为了解疫情期间学生居家自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为的样本，若样本中女生恰有人，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】

先求得中学中女生的人数，然后按照比例求得的值.

【详解】中学在女生人数为，所以，解得.

故选：B

【点睛】本小题主要考查分层抽样有关计算，属于基础题.

3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于(　　)

A. 1∶2∶3 B. 2∶3∶4 C. 3∶4∶5 D. 1∶∶2

【答案】D

【解析】

分析：由三角形内角和为180°可得A,B,C的值，然后根据正弦定理可得结论.

详解：由题可得：A=30°，B=60°，C=90°，由正弦定理：,故选D.

点睛：考查三角形的内角和，正弦定理的边角互化关系，属于基础题.

4.△ABC中，若c=，则角C的度数是(    )

A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 45°

【答案】B

【解析】

∵，

∴，

∴，

∴，

又为三角形的内角，

∴．选B．

5.已知直线，，则它们的图象可能为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据直线的倾斜方向和纵截距的正负确定两个直线方程的正负后可得正确的选项.

【详解】对于A，直线方程中的，直线方程中的，矛盾；

对于B，直线方程中的，直线方程中的，矛盾；

对于C，直线方程中的，直线方程中的，符合；

对于D，直线方程中的，直线方程中的，矛盾；

故选C.

【点睛】如果直线方程的形式是点斜式，则可以根据直线不同的倾斜程度确定它们斜率的大小（也可以确定它们的符号），一般地，如果直线经过第一、三象限，则斜率为正；如果直线经过第二、四象限，则斜率为负.

6.已知直线，直线，且，则的值为（ ）

A. -1 B.  C. 或-2 D. -1或-2

【答案】D

【解析】

试题分析：由两直线平行可知系数满足的值为-1或-2

考点：两直线平行的判定

7.在中，，，则一定是

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形

C. 等腰三角形 D. 等边三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

根据余弦定理得到，进而得到三个角相等，是等边三角形.

【详解】中，，

,

故得到，故得到角A等于角C，三角形为等边三角形.

故答案为D.

【点睛】这个题目考查了余弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，属于简单题.

8.已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ）．

A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系.

【详解】点在圆外，，

圆心到直线距离，

直线与圆相交.

故选B.

【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

9.已知圆的方程为，圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），则实数的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

将直线方程代入圆的方程，利用韦达定理，以AB为直径的圆过原点即OA⊥OB，x1x2+y1y2=0，可得关于a的方程，即可求解．

【详解】由直线x+2y﹣4=0与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0，消去y，得5x2﹣8x﹣16+4a=0①

设直线l和圆C的交点为A （x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是①的两个根．

∴x1x2=，x1+x2=．             ②

由题意有：OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0，

∴x1x2+（4﹣x1）（4﹣x2）=0，即x1x2﹣（x1+x2）+4=0③

将②代入③得：a=．

故选A．

【点睛】本题综合考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基本知识的考查与应用．

10.在平面直角坐标系中，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆：有公共点，则实数的最大值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】圆的标准方程为.由于两圆至少有一个公共点，两圆外切时，圆心距为.故的圆心到直线的距离不大于，即，解得，故的最大值为，选.

【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查两个圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法.首先求出圆的圆心和半径，画出草图，根据题意，两个圆要有公共点，那么包括种可能，外切、相交、内切，距离最远的就是外切，此时圆心距等于，由此可得到圆心到直线的距离的最大值.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题的四个选项中，至少两项是符合题目要求.

11.圆（    ）

A. 关于点对称 B. 关于直线对称

C. 关于直线对称 D. 关于直线对称

【答案】ABC

【解析】

【分析】

把圆的方程化为标准方程形式，求出圆心坐标，根据圆的对称性对四个选项逐一判断即可.

【详解】，所以圆心的坐标为.

A：圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，所以本选项正确；

B：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；

C：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；

D：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线不过圆心，所以本选项不正确.

故选：ABC

【点睛】本题考查了圆对称性，考查了由圆的一般方程求圆心的坐标，属于基础题.

12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（    ）

A. a2=b2+c2-2bccosA B. asinB=bsinA C. a=bcosC+ccosB D. acosB+bcosC=c

【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用正弦定理、余弦定理的边角互化即可求解.

【详解】对于A，根据余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，故A正确；

对于B，根据正弦定理边角互化asinB=bsinA，故B正确；

对于C，根据正弦定理，

，故C正确；

对于D， 根据正弦定理的边角互化可得，，又，

所以，当时，等式成立，故D不正确；

故选：ABC

【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，需熟记定理内容以及变形，属于基础题.

13.，，是空间中的三条直线，下列说法中正确的是（    ）

A. 若，，则

B. 若与相交，与相交，则与也相交

C. 若，分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面

D. 若与相交，与异面，则与异面

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据两条直线的位置关系判断．

【详解】由平行线的传递性知A正确；若与相交，与相交，则与可能平行、相交或异面，B错误；易知C正确；若与相交，与异面，则与可能相交、平行或异面，故D错误.

故选：AC.

【点睛】本题考查空间两条直线的位置关系，空间两条直线有三种位置关系：相交，平行，异面，可根据这三种位置关系判断．

三、填空题：本题共4题，每小题4分，其中第16题每空两分，共16分.

14.已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是_________．

参考公式：.

【答案】2

【解析】

【分析】

根据数据6，7，8，9，m的平均数是8,求出的值，再由公式求方差.

【详解】数据6，7，8，9，m的平均数是8，则，解得.

所以

故答案为：2

【点睛】本题考查数据的平均数和方差，属于基础题.

15.我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之尺.葛生其下，缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长丈尺，圆周为尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长______尺.（注：丈等于尺）

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意知圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是三个矩形相连所成对角线的长．

【详解】由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所示：

一条直角边（即圆木的高）长尺，另一条直角边长尺，

因此葛藤长为尺.

故答案为：.

【点睛】本题考查了旋转体侧面上的最短距离计算问题，正确运用圆柱的侧面展开图是解题的关键，考查空间想象能力，属于中等题.

16.已知直线：与圆心为，半径为的圆相交于A，B两点，另一直线：与圆M交于C，D两点，则______，四边形面积的最大值为______.

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

写出圆的方程，与直线的方程联立，求出A，B两点的坐标，根据平面内两点间的距离公式，求出.又直线过定点，恰为弦的中点，所以当为圆的直径时，四边形的面积最大，求出最大值.

【详解】圆心为，半径为的圆的方程为，

由，解得或.

不妨设.

又直线：可写为，

直线过定点，恰为弦的中点.

当为圆的直径时，四边形的面积最大，最大值为.

故答案为：；.

【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线过定点问题，属于中档题.

17.已知实数，满足，则的最大值为_________．

【答案】10

【解析】

【分析】

实数，满足,可以设，代入所求式子，利用辅助角公式可得答案.

【详解】由实数，满足，可以设.

即.

所以

   ( 其中)

当时，有最大值10.

所以的最大值为10.

故答案为：10

【点睛】本题考查利用三角换元求最大值，考查辅助角公式的应用和三角函数的最大值，属于中档题.

四、解答题:本大题共6小题，共82分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.

18.如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且.

（1）求证：四点共面；

（2）设与交于点，求证：三点共线.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）利用三角形的中位线平行于第三边；平行线分线段成比例定理，得到EF、GH都平行于BD，利用平行线的传递性得到EF∥GH，据两平行线确定以平面得证．
（2）利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，得证．

试题解析：

证明：（1）因为分别为的中点，

所以.

在中，，

所以，所以.

所以四点共面.

（2）因为，所以，又因为平面，

所以平面，

同理平面，

所以为平面与平面的一个公共点.

又平面平面.

所以，所以三点共线.

19.如图，在中，为边上一点，且，已知，.

（1）若是锐角三角形，，求角的大小；

（2）若的面积为，求的长.

【答案】（1）.（2）.

【解析】

【试题分析】(1)在中,利用正弦定理可求得,得到,利用等腰的性质可知.(2)利用三角形的面积公式可求得,利用余弦定理可求得,由此求得的长.

【试题解析】

（1）在中，，，，由正弦定理得，

解得，所以或.

因为是锐角三角形，所以.

又，所以.

（2）由题意可得，解得，

由余弦定理得 ，解得，

则.

所以的长为.

20.下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费y（万元）的几组对照数据:

（1）若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能否比技术改造前降低?参考公式:，.

【答案】（1）（2），能

【解析】

【分析】

(1)先计算,再代入公式进行计算即可.

(2)代入到(1)中所求的方程,再判断即可.

【详解】（1）根据所给表格数据计算得,, , ,

,,所以,y关于x的线性回归方程为.

（2）由（1）得,当时,,即技术改造后的10年的维修费用为8.1万元,相比技术改造前,该型号的设备维修费降低了0.9万元.

【点睛】本题主要考查了线性回归方程的运算以及实际意义的理解,属于基础题.

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M点为圆心的圆及其上一点.

（1）设圆N与y轴相切，与圆M外切，且圆心在直线上，求圆N的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点且，求直线l的方程.

【答案】（1）（2）或.

【解析】

【分析】

（1）根据由圆心在直线y=6上，可设，再由圆N与y轴相切，与圆M外切得到圆N的半径为和得解.

（2）由直线l平行于OA，求得直线l的斜率，设出直线l的方程，求得圆心M到直线l的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程.

【详解】（1）圆M的标准方程为，所以圆心M（7，6），半径为5,.

由圆N圆心在直线y=6上，可设

因为圆N与y轴相切，与圆M外切

所以，圆N的半径为

从而

解得

所以圆N的标准方程为.

（2）因为直线l平行于OA，所以直线l斜率为.

设直线l的方程为，即

则圆心M到直线l的距离

因为

而

所以

解得 或.

故直线l的方程为或.

【点睛】本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.

22.在中，角，，所对的边分别为，，，已知满足.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的面积的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可求得，结合范围，可求的值；（Ⅱ）根据正弦定理将表示成的形式，根据三角形的面积公式可求，结合范围，利用正弦函数的图象和性质可求得面积的取值范围．

【详解】（Ⅰ）

由正弦定理得：

（Ⅱ）由正弦定理得：   

同理：

的面积的取值范围为：

【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

23.已知圆O：x2+y2=2，直线．l：y=kx-2．

（1）若直线l与圆O相切，求k的值；

（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；

（3）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点．

【答案】（1）k=±1；（2）（-）∪（1，）；（3）直线CD过定点（）．

【解析】

【分析】

（1）由直线l与圆O相切，得圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，由此能求出k．

（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，得（1+k2）x2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k的取值范围．

（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为，C，D在圆O：x2+y2=2上，求出直线CD：（x+）t-2y-2=0，联立方程组能求出直线CD过定点（）．

【详解】解：（1）∵圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx-2．直线l与圆O相切，

∴圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，

即d==，

解得k=±1．

（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，整理，得（1+k2）x2-4kx+2=0，

∴，，

△=（-4k）2-8（1+k2）＞0，即k2＞1，

当∠AOB为锐角时，

=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1-2）（kx2-2）

=

=＞0，

解得k2＜3，

又k2＞1，∴-或1＜k＜．

故k的取值范围为（-）∪（1，）．

（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，

设P（t，），其方程x（x-t）+y（y）=0，

∴，

又C，D在圆O：x2+y2=2上，

两圆作差得lCD：tx+，即（x+）t-2y-2=0，

由，得，

∴直线CD过定点（）．

【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．