2021年山东省德州市高考数学模拟试卷（一模）

这是一份2021年山东省德州市高考数学模拟试卷（一模），共30页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省德州市高考数学模拟试卷（一模）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|lg（x﹣2）≤1}，则A∩B＝（　　）
A．（2，3] B．[﹣4，4] C．[2，4） D．（2，4]
2．（5分）复数z＝的共轭复数的虚部为（　　）
A．﹣ B． C． D．
3．（5分）已知a，b∈R，则a＜b是a2（ea﹣eb）＜0的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）已知sinα＝sin（α+）+，则cos（α+）的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）已知向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，则cos＜，＞＝（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）设函数f（x）＝xex﹣a（x﹣1），其中a＜1，若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜a，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣，1） B．[﹣，） C．[，） D．[，1）
8．（5分）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{xn}满足xn+1＝xn﹣，则称数列{xn}为牛顿数列．如果函数f（x）＝x2﹣x﹣2，数列{xn}为牛顿数列，设an＝ln且a1＝1，xn＞2，数列{an}的前n项和为Sn，则S2021＝（　　）
A．22021﹣1 B．22021﹣2
C．（）2021﹣ D．（）2021﹣2
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
（多选）9．（5分）2020年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年（2014年到2019年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）茎叶图．对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”）情况的判断，正确的是（　　）

A．过去的6年，“甲”的极差小于“乙”的极差
B．过去的6年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值
C．过去的6年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数
D．过去的6年，“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（　　）

A．g（x）的最小正周期为
B．g（x）在区间[，]上单调递增
C．g（x）的图象关于直线x＝对称
D．g（x）的图象关于点（，0）成中心对称
（多选）11．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），A、B分别为双曲线的左，右顶点，F1、F2为左、右焦点，|F1F2|＝2c，且a，b，c成等比数列，点P是双曲线C的右支上异于点B的任意一点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（　　）
A．当PF2⊥x轴时，∠PF1F2＝30°
B．双曲线的离心率e＝
C．k1k2为定值
D．若I为△PF1F2的内心，满足S＝S+xS（x∈R），则x＝
（多选）12．（5分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点）且BE＝BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A、C两点重合于点A1，则下列结论正确的有（　　）

A．A1D⊥EF
B．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的外接球体积为π
C．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的体积为
D．当BE＝BF＝BC时，点A1到平面DEF的距离为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若二项式（1+2x）n（n∈N+）的展开式中所有项的二项式系数和为32，则该二项式展开式中含有x3项的系数为　 　．
14．（5分）已知抛物线C：y2＝4x，点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，若•＝5，则直线AB过定点　 　．
15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，AP、AB、AC三条棱两两垂直，且长度均为2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为 　 　．
16．（5分）设定义在D上的函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＜0在D内恒成立，则称P点为函数y＝f（x）的“类对称中心点”，则函数h（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标为　 　．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在①asinC＝csin（A+），②b＝acosC+csinA，③acosB+bcosA＝2ccosA．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆面积为π，sinB＝2sinC，且_____，求△ABC的面积．
18．（12分）已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan＝（n﹣1）2n+1+2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．
19．（12分）2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式，某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如表所示：
（表一）
了解情况
Y
N
人数
140
60
（表二）

男
女
合计
Y
80


N

40

合计



（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表（表二），并判断是否有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P1，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P2，试求出P1与P2，并比较P1与P2的大小．
附：临界值参考表的参考公式
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（K2＝，其中n＝a+b+c+d）
20．（12分）如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，现沿CN将△CDN折起使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E、F．
（1）求证：EF⊥DA；
（2）在棱DN上（不含端点）是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由．

21．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆上的点到焦点F1的距离的最小值为﹣1，以椭圆E的短轴为直径的圆过点（2，0）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若过F2的直线交椭圆E于A、B两点，过F1的直线交椭圆E于C，D两点，且AB⊥CD，求四边形ACBD面积的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝xe3x﹣（a+1）lnx+﹣1，g（x）＝﹣alnx+（a+2）x+．定义新函数d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|min．
（1）当a≤﹣2时，讨论函数g（x）的单调性；
（2）若新函数d（f，g）的值域为[0，+∞），求a的取值范围．

2021年山东省德州市高考数学模拟试卷（一模）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|lg（x﹣2）≤1}，则A∩B＝（　　）
A．（2，3] B．[﹣4，4] C．[2，4） D．（2，4]
【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|16﹣x2≥0}＝{x|﹣4≤x≤4}，B＝{x|0＜x﹣2≤10}＝{x|2＜x≤12}，
∴A∩B＝（2，4]．
故选：D．
【点评】本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）复数z＝的共轭复数的虚部为（　　）
A．﹣ B． C． D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：z＝＝＝＝，
∴＝，
∴复数z＝的共轭复数的虚部为，
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
3．（5分）已知a，b∈R，则a＜b是a2（ea﹣eb）＜0的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由a＜b，当a＝0时，不能够推出a2（ea﹣eb）＜0，
故a＜b是a2（ea﹣eb）＜0的不充分条件，
由a2（ea﹣eb）＜0⇒ea﹣eb＜0⇒ea＜eb⇒a＜b，
故a＜b是a2（ea﹣eb）＜0的必要条件，
综上所述：a＜b是a2（ea﹣eb）＜0的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．
4．（5分）《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率（　　）
A． B． C． D．
【分析】设田忌的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，齐王的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，利用列举法能求出比赛结束时，田忌得2分的概率．
【解答】解：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．
设田忌的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，
齐王的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，
所有的基本事件有6种，分别为：
（Aa，Bb，Cc），（Aa，Bc，Cb），（Ab，Ba，Cc），（Ab，Bc，Ca），（Ac，Bb，Ca），（Ac，Ba，Cb），
比赛结束时，田忌得2分的基本事件为：（Ab，Bc，Ca），只有1种，
∴比赛结束时，田忌得2分的概率P＝．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
5．（5分）已知sinα＝sin（α+）+，则cos（α+）的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先根据正弦的两角和公式对等式进行化简，再利用辅助角公式，即可得解．
【解答】解：∵sinα＝sin（α+）+，
∴sinα＝sinα+cosα+，
∴sinα﹣cosα＝，即﹣cos（α+）＝，
∴cos（α+）＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查两角和差公式，熟练掌握正弦的两角和公式与辅助角公式是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
6．（5分）已知向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，则cos＜，＞＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用向量的数量积以及向量的模，转化求解向量的焦距的余弦函数值即可．
【解答】解：向量，满足||＝4，||＝5，•＝4，
可得＝＝＝7，
＝＝16+4＝20，
cos＜，＞＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
7．（5分）设函数f（x）＝xex﹣a（x﹣1），其中a＜1，若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜a，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣，1） B．[﹣，） C．[，） D．[，1）
【分析】设g（x）＝xex，y＝ax，则存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y＝ax的下方，求导数可得函数g（x）的极值，数形结合可得a的不等式，即可求出a的取值范围．
【解答】解：函数f（x）＝xex﹣a（x﹣1），其中a＜1，
设g（x）＝xex，y＝ax，
∵存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜a，
∴存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y＝ax的下方，
∵g′（x）＝（x+1）ex，
∴当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当x＞﹣1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，
∴当x＝﹣1时，[g（x）]min＝g（﹣1）＝﹣．
当x＝0时，g（0）＝0，当x＝﹣2时，g（﹣2）＝﹣，
直线y＝ax恒过（0，0），斜率为a，
故﹣a＞g（﹣1）＝﹣，且g（﹣2）＝﹣≥﹣2a，
解得≤a＜，
∴a的取值范围是[，）．
故选：C．

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，涉及数形结合和转化的思想，属于中档题．
8．（5分）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{xn}满足xn+1＝xn﹣，则称数列{xn}为牛顿数列．如果函数f（x）＝x2﹣x﹣2，数列{xn}为牛顿数列，设an＝ln且a1＝1，xn＞2，数列{an}的前n项和为Sn，则S2021＝（　　）
A．22021﹣1 B．22021﹣2
C．（）2021﹣ D．（）2021﹣2
【分析】先由题设得到：xn+1＝xn﹣，进而求得xn+1+1、xn+1﹣2、，从而有an+1＝2an，即可说明数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，再利用等比数列的前n项和公式求得结果．
【解答】解：∵f（x）＝x2﹣x﹣2，
∴f′（x）＝2x﹣1，
又∵xn+1＝xn﹣＝xn﹣，
∴xn+1+1＝xn﹣+1＝，
xn+1﹣2＝xn﹣2﹣＝，
∴＝＝（）2，
∵an＝ln且a1＝1，xn＞2，
∴an+1＝ln＝ln（）2＝2ln＝2an，
∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴S2021＝＝22021﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查导数与数列的综合、等比数列的定义及基本量的计算，属于中档题．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
（多选）9．（5分）2020年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去6年（2014年到2019年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）茎叶图．对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”）情况的判断，正确的是（　　）

A．过去的6年，“甲”的极差小于“乙”的极差
B．过去的6年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值
C．过去的6年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数
D．过去的6年，“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率
【分析】根据茎叶图中数据，利用统计知识的相关性质判断即可．
【解答】解：对于A，甲的极差为42﹣36＝6，乙的极差为41﹣34＝7，
所以“甲”的极差小于“乙”的极差，A正确；
对于B，甲的平均数是×（36+37+37+38+40+42）＝，
乙的平均数为×（34+36+38+39+40+41）＝，
所以“甲”的平均值大于“乙”的平均值，B错误；
对于C，甲的中位数是×（37+38）＝37.5，
乙的中位数是×（38+39）＝38.5，
所以，“甲”的中位数小于“乙”的中位数，C正确；
对于D，过去6年甲的平均增长率为：﹣1；
乙的平均增长率为：﹣1，且＜，
所以“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了统计知识的相关基础概念应用问题，是基础题．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（　　）

A．g（x）的最小正周期为
B．g（x）在区间[，]上单调递增
C．g（x）的图象关于直线x＝对称
D．g（x）的图象关于点（，0）成中心对称
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：根据函数的图象：周期，解得T＝π，
故ω＝2．
进一步求得A＝2．
当x＝时，f（）＝2sin（+φ）＝﹣1，由于|φ|＜π，
所以φ＝．
所以f（x）＝2sin（2x+），
函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝2sin（3x+）的图象，
故对于A：函数的最小正周期为T＝，故A正确；
对于B：由于x∈[，]，所以，故函数g（x）在区间[，]上单调递减，故B错误；
对于C：当x＝时，g（）＝2sin（）＝﹣2，故函数g（x）的图象关于直线x＝对称，故C正确；
对于D：当x＝时，g（）＝2，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），A、B分别为双曲线的左，右顶点，F1、F2为左、右焦点，|F1F2|＝2c，且a，b，c成等比数列，点P是双曲线C的右支上异于点B的任意一点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（　　）
A．当PF2⊥x轴时，∠PF1F2＝30°
B．双曲线的离心率e＝
C．k1k2为定值
D．若I为△PF1F2的内心，满足S＝S+xS（x∈R），则x＝
【分析】由a，b，c成等比数列可及a，b，c之间的关系求出离心率的值，可得B正确，A中可得P的坐标，进而求出∠PF1F2的正切值，可得∠PF1F2≠30°，所以可得A不正确，设P的坐标代入双曲线的方程可得P的横纵坐标的关系，去直线PA，PB的斜率之积，由题意可得斜率之积为定值可得C正确；设内切圆的半径，由题意及双曲线的定义可得x的值，可判断D正确．
【解答】解：因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，
A中，PF2⊥x轴时，P的坐标为：（c，）即P（c，c），
所以tan∠PF1F2＝＝＝，所以∠PF1F2≠30°，所以A不正确；
B中，因为b2＝ac，所以可得c2﹣a2＝ac，可得e2﹣e﹣1＝0，又e＞1，
解得：e＝，所以B正确；
C，设P（x0，y0），则﹣＝1，所以y02＝b2•，
由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），所以k1k2＝＝＝，
由b2＝ac，可得k1k2＝＝，所以C正确；
D中因为S＝S+xS，所以|PF1|•r＝|PF2|•r+x•|F1F2|•r，
可得x＝＝＝＝，所以D正确；
故选：BCD．


【点评】本题考查双曲线的性质及命题的真假的判断，属于中档题．
（多选）12．（5分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上（不含端点）且BE＝BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A、C两点重合于点A1，则下列结论正确的有（　　）

A．A1D⊥EF
B．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的外接球体积为π
C．当BE＝BF＝BC时，三棱锥A1﹣DEF的体积为
D．当BE＝BF＝BC时，点A1到平面DEF的距离为
【分析】取EF的中点O，连接OA1，OD，由线面垂直的判定和性质，可判断A；推得三棱锥A1﹣EDF的三条侧棱两两垂直，可将三棱锥A1﹣EDF放到以A1D，A1E，A1F为相邻棱的长方体中，求得体对角线长，可得外接球的半径和体积，可判断B；由等积法和棱锥的体积公式，计算可判断C；设A1到面DEF的距离为h，求得△DEF的面积，结合等积法，计算可判断D．
【解答】解：取EF的中点O，连接OA1，OD，
由题意可得DE＝DF，A1E＝A1F，
所以OD⊥EF，A1O⊥EF，DO∩A1O＝O，
所以EF⊥平面A1OD，
所以EF⊥A1D，
故A正确；
当BE＝BE＝BC＝2时，A1E＝A1F＝2，EF＝2，
可得A1E⊥A1F，又A1E⊥A1D，A1F⊥A1D，
可把三棱锥A1﹣EDF放到以A1D，A1E，A1F为相邻棱的长方体中，
可得长方体的对角线长为＝2，
故外接球的半径为，体积为π×（）3＝8π，
故B错误；
当BE＝BF＝BC＝1时，EF＝，cos∠EA1F＝＝，
所以sin∠EA1F＝＝，
S＝A1E•A1F•sin∠EA1F＝×3×3×＝，
V＝V＝S•A1D＝××4＝，
故C正确；
当BE＝BF＝1时，设A1到面DEF的距离为h，
则V＝S△DEFh＝×（4×4﹣2××4×3﹣×1×1）h＝×h＝，
解得h＝，
故D正确．
故选：ACD．

【点评】本题考查线线、线面的位置关系和棱锥的体积、棱锥的外接球的体积和点到平面的距离，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若二项式（1+2x）n（n∈N+）的展开式中所有项的二项式系数和为32，则该二项式展开式中含有x3项的系数为　80　．
【分析】利用二项式系数的性质可求得n＝5，从而可求得该二项式展开式中含有x3项的系数．
【解答】解：∵（1+2x）n（n∈N+）的展开式中所有项的二项式系数和为32，
∴2n＝32，
解得n＝5，
∴该二项式展开式中含有x3项的系数为•23＝80，
故答案为：80．
【点评】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
14．（5分）已知抛物线C：y2＝4x，点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，若•＝5，则直线AB过定点　（5，0）　．
【分析】设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之积，求出数量积•，由题意可得b的值，再由题意可得直线AB 恒过的定点的坐标．
【解答】解：设直线AB的方程为x＝my+b，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理可得：y2﹣4my﹣4b＝0，
所以y1y2＝﹣4b，x1x2＝＝b2，
因为•＝5⇒x1x2+y1y2＝5，
所以b2﹣4b＝5，可得b＝5或b＝﹣1，
因为点A、B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，
所以y1y2＝﹣4b＜0，可得b＞0，
所以b＝5，
所以直线恒过点（5，0），
故答案为：（5，0）．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合及数量积的应用，属于中档题．
15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，AP、AB、AC三条棱两两垂直，且长度均为2，以顶点P为球心，4为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为 　3π　．
【分析】由题意画出图形，再由已知求出扇形圆心角，根据弧长公式求解．
【解答】解：如图，AP＝，PN＝4，则AN＝2，∠APN＝，
∴∠NPM＝，
∴，同理，
，，
故球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于，
故答案为：3π．

【点评】本题考查球与棱锥的结构特征，考查空间想象能力及运算求解能力、考查化归与转化、数形结合思想，属于中档题．
16．（5分）设定义在D上的函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＜0在D内恒成立，则称P点为函数y＝f（x）的“类对称中心点”，则函数h（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标为　（，1）　．
【分析】对h（x）求导，由导数的几何意义和条件写出切线的方程，再求出y＝g（x），设F（x）＝h（x）﹣g（x），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断F（x）单调性，从而可判断出的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心”的坐标．
【解答】解：h′（x）＝+，
h（x0）＝+lnx0，（x0＞0），
即函数h（x）的定义域为D＝（0，+∞），
所以函数h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为：
y﹣（+lnx0）＝（+）（x﹣x0），
则g（x）＝（+）（x﹣x0）++lnx0，
设F（x）＝h（x）﹣g（x）＝+lnx﹣[（+）（x﹣x0）++lnx0]，
则F（x0）＝0，
所以F′（x）＝h′（x）﹣g′（x）＝+﹣（+）＝+﹣＝+＝（﹣），
当x0＜，即0＜x0＜时，F（x）在（x0，）上单调递减，
所以F（x）＜F（x0）＝0，
所以＜0，＞0，
当x0＞，即x0＞时，F（x）在（，x0）上单调递增，
所以F（x）＞F（x0）＝0，
所以＜0，＞0，
所以y＝F（x）在（0，）∪（，+∞）上不存在“类对称点”，
若x0＝，即x＝时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，
当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，
当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0，
所以＞0，＜0，
综上，可得y＝h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标，
又h（）＝+ln＝1，
故答案为：（，1）．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在①asinC＝csin（A+），②b＝acosC+csinA，③acosB+bcosA＝2ccosA．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆面积为π，sinB＝2sinC，且_____，求△ABC的面积．
【分析】结合所需条件及正弦定理及和差角公式进行化简可求A，然后结合正弦定理可求a及b，c的关系，再由余弦定理及三角形面积公式可求．
【解答】解：若选①asinC＝csin（A+），
由正弦定理得sinAsinC＝sinCsin（A+），
因为sinC＞0，
所以sinA＝sin（A+）＝sinA+cosA，故tanA＝，
由A为三角形内角得A＝，
由题意得△ABC外接圆半径r＝，
由正弦定理得2r＝＝，
所以a＝2，
又sinB＝2sinC，
所以b＝2c，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA得4＝4c2+c2﹣2c2，
解得c＝，b＝，
所以S△ABC＝＝＝；
若选②b＝acosC+csinA，
由正弦定理sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCsinA，
整理得cosAsinC＝sinCsinA，
因为sinC＞0，
故tanA＝，
由A为三角形内角得A＝，
由题意得△ABC外接圆半径r＝，
由正弦定理得2r＝＝，
所以a＝2，
又sinB＝2sinC，
所以b＝2c，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA得4＝4c2+c2﹣2c2，
解得c＝，b＝，
所以S△ABC＝＝＝；
若选③acosB+bcosA＝2ccosA，
由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA＝2sinCcosA，
即sin（A+B）＝2sinCcosA＝sinC，
因为siinC＞0，
所以cosA＝，
故A＝，
由题意得△ABC外接圆半径r＝，
由正弦定理得2r＝＝，
所以a＝2，
又sinB＝2sinC，
所以b＝2c，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA得4＝4c2+c2﹣2c2，
解得c＝，b＝，
所以S△ABC＝＝＝．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
18．（12分）已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan＝（n﹣1）2n+1+2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．
【分析】（1）先由a1+2a2+3a3+…+nan＝（n﹣1）2n+1+2可得：a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1＝（n﹣2）2n+2（n≥2），
两式相减整理得到：an＝2n，n≥2，再求得a1并检验是否适合上式，即可求得an；
（2）先由（1）求得，再利用裂项相消法求得其前n项和，即可证明结论．
【解答】（1）解：由a1+2a2+3a3+…+nan＝（n﹣1）2n+1+2可得：a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1＝（n﹣2）2n+2（n≥2），
两式相减得：nan＝（n﹣1）2n+1﹣（n﹣2）2n＝n×2n，即an＝2n，n≥2，
又当n＝1时，有a1＝2也适合上式，
∴an＝2n；
（2）证明：由（1）可得：＝＝（﹣），
∴Tn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＜（1+）＝．
【点评】本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法在数列求和与不等式证明中的应用，属于中档题．
19．（12分）2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式，某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如表所示：
（表一）
了解情况
Y
N
人数
140
60
（表二）

男
女
合计
Y
80


N

40

合计



（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表（表二），并判断是否有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P1，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为P2，试求出P1与P2，并比较P1与P2的大小．
附：临界值参考表的参考公式
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（K2＝，其中n＝a+b+c+d）
【分析】（1）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，分别计算所求的概率值即可．
【解答】解：（1）根据题意填写列联表，如下：

男
女
合计
Y
80
60
140
N
20
40
60
合计
100
100
200
根据表中数据，计算K2＝＝≈9.524＞6.635，
对照临界值表知，有99%的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系；
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，
根据列联表得出男性了解“云课堂”倡议的概率为＝，
女性了解“云课堂”倡议的概率为＝，
所以计算概率P1＝••＝，
概率P2＝••＝，
所以P1＞P2．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了有关概率的计算问题，是中档题．
20．（12分）如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，现沿CN将△CDN折起使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E、F．
（1）求证：EF⊥DA；
（2）在棱DN上（不含端点）是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由．

【分析】（1）由已知得BM∥CN，证明BM∥平面CDN，BM∥EF，再证明BM⊥平面ADN，可得EF⊥平面ADN，从而得到EF⊥DA；
（2）证明DM⊥平面ABCN，以M为坐标原点，分别以MA，MB，MD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，（0＜λ＜1），分别求出的坐标与平面BMEF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值的绝对值为求得λ值，则结论可求．
【解答】（1）证明：∵BM⊥AD，CN⊥AD，∴BM∥CN，
在四棱锥D﹣ABCN中，CN⊂平面CDN，
BM⊄平面CDN，∴BM∥平面CDN，
又平面BMEF∩平面CDN＝EF，
∴BM∥EF，
∵平面ADN⊥平面ABCN且交于AN，BM⊥AN，
∴BM⊥平面ADN，即EF⊥平面ADN，
又DA⊂平面ADN，∴EF⊥DA；
（2）解：存在，E为棱DN上靠近N点的四等分点．
∵DA＝DN，AM＝MN＝1，
连接DM，∴DM⊥AN，又平面ADN⊥平面ABCN，且平面ADN∩平面ABCN＝AN，
∴DM⊥平面ABCN．
如图，以M为坐标原点，分别以MA，MB，MD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，），B（0，1，0），M（0，0，0），N（﹣1，0，0），
，，，
设，（0＜λ＜1），则E（λ﹣1，0，），＝（λ﹣1，0，），
设平面BMEF的一个法向量为，则
，
不妨令x＝，则z＝1﹣λ，，
设直线DB与平面BMEF所成角为α，则有
sinα＝|cos＜＞|＝＝，
解得或（舍）．
∴，即在棱DN上存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，
E为棱DN上靠近N点的四等分点．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
21．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆上的点到焦点F1的距离的最小值为﹣1，以椭圆E的短轴为直径的圆过点（2，0）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若过F2的直线交椭圆E于A、B两点，过F1的直线交椭圆E于C，D两点，且AB⊥CD，求四边形ACBD面积的取值范围．
【分析】（1）由题意可得b的值，和到左焦点的距离的最小值可得a，c的关系，再由a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的标准方程；
（2）设直线AB的方程，由题意可得直线CD的方程，取过右焦点平行于CD的直线C1D1的方程，由椭圆的对称性可得|CD|＝|C1D1|，将直线AB，C1D1的方程分别与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出弦长|AB|，|C1D1|的值，代入四边形的面积公式，设函数，由函数的单调性可得面积的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知，b＝2，a﹣c＝﹣1
又a2＝b2+c2，解得a＝，c＝1，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）设四边形ACBD的面积为S，则S＝，
①当AB⊥x轴时，|AB|＝，|CD|＝2a，所以S＝，
②当CD⊥x轴时，|CD|＝，|AB|＝2a，所以S＝，
③当AB与CD都不与x轴垂直时，直线AB的斜率存在且不为0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为﹣，
则设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1），联立方程，
消去y整理可得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20＝0，
所以x，
所以|AB|＝＝（*），
过F2作直线CD的平行线和椭圆E交于点C1，D1，由对称性知|C1D1|＝|CD|，
在（*）中的k换成﹣，得|C1D1|＝＝，
所以|CD|＝，
所以S＝|AB||CD|＝••＝，
令t＝1+k2，则t＞1，
所以S＝＝＝，
令u＝，则u∈（0，1），所以S＝＝，
因为﹣（u﹣）2+∈（20，]，所以S∈[，8）
所以四边形ACBD面积的取值范围[，8]．

【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，换元法求函数的值域，属于中难题．
22．（12分）已知函数f（x）＝xe3x﹣（a+1）lnx+﹣1，g（x）＝﹣alnx+（a+2）x+．定义新函数d（f，g）＝|f（x）﹣g（x）|min．
（1）当a≤﹣2时，讨论函数g（x）的单调性；
（2）若新函数d（f，g）的值域为[0，+∞），求a的取值范围．
【分析】（1）求出g'（x），然后分a＝﹣2，a＜﹣2两种情况进行分析，利用导数的正负与函数单调性的关系求解即可；
（2）由已知可得f（x）﹣g（x）＝0有解，转化为a+2＝在（0，+∞）上有解，构造函数h（x）＝，然后利用导数研究函数h（x）的性质，求出h（x）的最值，即可得到a的取值范围．
【解答】解：（1）函数g（x）＝﹣alnx+（a+2）x+，
则g′（x）＝﹣+（a+2）﹣＝（x＞0），
①当a+2＝0，即a＝﹣2时，，
令g'（x）＞0，解得x＞1，令g'（x）＜0，解得0＜x＜1，
所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
②当a＜﹣2时，，
（i）当，即﹣4＜a＜﹣2时，
令g'（x）＞0，解得，
令g'（x）＜0，解得0＜x＜1或x＞，
故g（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递减，在（1，）上单调递增；
（ii）当＝1，即a＝﹣4时，，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减；
（iii）当a＜﹣4时，令g'（x）＞0，解得＜x＜1，
令g'（x）＜0，解得0＜x＜或x＞1，
所以g（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递减，在（，1）上单调递增．
综上所述，当a＝﹣2时，g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增；
当﹣4＜a＜﹣2时，g（x）在（0，1）和（，+∞）上单调递减，在（1，）上单调递增；
当a＝﹣4时，以g（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＜﹣4时，g（x）在（0，）和（1，+∞）上单调递减，在（，1）上单调递增．
（2）因为|f（x）﹣g（x）|min∈[0，+∞），
所以f（x）﹣g（x）＝0有解，即a+2＝在（0，+∞）上有解，
令h（x）＝，则，
令μ（x）＝3x2e3x+lnx，则，
故μ（x）在（0，+∞）上单调递增，
又，
故存在x0，使，
当x∈（0，x0）时，μ（x）＜0，即h'（x）＜0，则h（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，μ（x）＞0，即h'（x）＞0，则h（x）单调递增，
故h（x）的最小值为h（x0）＝且x→+∞，h（x）→+∞，
由，可得，即，
令V（x）＝xlnx（x＞1），V'（x）＝2+lnx＞0，所以V（x）在（1，+∞）上单调递增，
又，即3x0＝﹣lnx0，所以，
故h（x）的最小值为，
故a+2≥3，所以a≥1．
【点评】本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的单调性以及函数的最值问题，涉及知识点多，综合性强，考查学生逻辑思维能力与转化化归能力，属于难题．
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