山东省淄博市2021年高三数学模拟考试试卷及答案

这是一份山东省淄博市2021年高三数学模拟考试试卷及答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模拟考试试卷
一、单选题
1.设全集 ，集合 ， ，则 （  ）
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
2.若复数 满足 ，则 的共轭复数的虚部为（  ）
A.                                          B.                                          C.                                          D. 1
3.命题“ ， ”的否定是（  ）
A. 不存在 ，                       B. ，
C. ，                               D. ，
4.（    ）
A.                          B.                          C.                          D. 
5.已知直线 和两个不同的平面 ， ，则下列结论正确的是（  ）
A. 若 ， ，则                             B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则                              D. 若 ， ，则
6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（   ）

A.                              B.                              C.                              D. 
7.一个底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱，其三视图如图所示.若该三棱柱的外接球的表面积为 ，则侧视图中的 的值为（  ）

A.                                         B. 9                                        C.                                         D. 3
8.已知直线 与双曲线 交于 两点，以 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 ，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为（   ）
A.                                         B.                                         C. 2                                        D. 
9.已知 ， ，点 的坐标 满足 ，则 的最小值为（  ）
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
10.已知 ， ，设 ， ， ，则 的大小关系是（  ）
A.                            B.                            C.                            D. 
11.已知直线 ： 与圆 ： ，直线 与圆 相交于不同两点 .若 ，则 的取值范围是（  ）
A.                              B.                              C.                              D. 
二、填空题
12.若 ， ， ，则 ________．
13.古代埃及数学中发现有一个独特现象：除 用一个单独的符号表示外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例如 ，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人 ，不够，每人 ，余 ，再将这 分成5份，每人得 ，这样每人分得 .形如 的分数的分解： ， ， ，按此规律， ________ ．
14.如图所示，平面 平面 ， ，四边形 为正方形，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为________．

15.抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，点 为其准线上的动点，当 为等边三角形时，则 的外接圆的方程为________．
三、解答题
16.已知在等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列.
（1）.求数列 的通项公式；
（2）.若数列 满足： ，求数列 的前 项和 .
17.如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ， ， 平面 ，点 在棱 上.

（1）.求证：平面 平面 ；
（2）.若直线 平面 ，求此时三棱锥 的体积.
18.已知点 的坐标分别为 ， .三角形 的两条边 ， 所在直线的斜率之积是 .
（1）.求点 的轨迹方程；
（2）.设直线 方程为 ，直线 方程为 ，直线 交 于 ，点 ， 关于 轴对称，直线 与 轴相交于点 .求 的面积 关于 的表达式.
19.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天该海鲜的需求量 （ ，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为 元.

（1）.求商店日利润 关于需求量 的函数表达式；
（2）.假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.
①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；
②估计日利润在区间 内的概率.
20.已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）当 时， ，求 的取值范围.
21.坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）.写出曲线 的直角坐标方程；
（2）.若直线 与曲线 交于 两点，且 的长度为 ，求直线 的普通方程.
22.已知 ．
（1）当m＝－3时，求不等式 的解集；
（2）设关于x的不等式 的解集为M，且 ，求实数m的取值范围.

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】首先根据题意得出集合A,再利用交集补集的混合运算得出结果。
2.【答案】 D
【解析】【解答】 ， ，
则z的共轭复数 的虚部为1．
故答案为：D．
【分析】利用复数的混合运算法则求出复数z再利用复数与共轭复数的关系求出复数的共轭复数的虚部。
3.【答案】 C
【解析】【解答】由全称命题的否定是特称命题可得命题 的否定是
“ ”
故答案为：C
【分析】利用全称命题和特称命题互为否定的关系找出全称命题的否定。
4.【答案】 B
【解析】【解答】


故答案为：
【分析】利用三角函数的倍角公式结合三角函数的符号求解即可。
5.【答案】 A
【解析】【解答】 选项： 内存在直线 ，使得 ；若 ，则 ；又 ，所以 ， 选项正确；
其余三个选项均可利用正方体进行排除，如图所示：

选项：平面 平面 ， 平面 ，而 平面 ，可知 选项错误；
选项： 平面 ， 平面 ，而平面 平面 ，可知 选项错误；
选项：平面 平面 ， 平面 ，而 平面 ，可知 选项错误.
故答案为：
【分析】利用面面垂直的判定定理，面面平行的判定定理和线面垂直的判定定理找出正确的结论。
6.【答案】 D
【解析】【解答】由图1得样本容量为（3500+2000+4500）×2%＝10000×2%＝200，
抽取的高中生人数为2000×2%＝40人，
则近视人数为40×0.5＝20人，
故答案为：D．
【分析】首先根据图得出样本容量，再根据抽取比例得出所求。
7.【答案】 A
【解析】【解答】将三视图还原后，可得如图所示的正三棱柱 ：

为外接球球心， 为 外接圆圆心，由球的性质可知： 平面
球的表面积 ，即
又 ，
由 可得：
解得：
故答案为：
【分析】利用三角形外接球的位置关系结合球的性质得出线面垂直，再利用球的表面积公式求出球的半径，从而求出OB的值，再利用线段之间的关系式结合直角三角形勾股定理求出x的值。
8.【答案】 D
【解析】【解答】由题意可得图像如下图所示： 为双曲线的左焦点

为圆的直径   
根据双曲线、圆的对称性可知：四边形 为矩形

又 ，可得：

故答案为：
【分析】利用直线与双曲线相交求出交点A,B的坐标，再利用中点坐标公式求出圆心，利用A,B两点距离公式求出圆的直径，从而求出圆的半径，从而求出圆的标准方程，再利用圆经过双曲线的右焦点结合三角形面积公式求出关于a,c的关系式，再利用离心率公式求出双曲线离心率。
9.【答案】 C
【解析】【解答】可行域如下图所示：

，

的最小值为点 到可行域内点的距离的平方的最小值减
由图像可知，点 到可行域的最短距离为其到直线 的距离


故答案为：
【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，再利用数量积的坐标表示线性目标函数，再利用可行域结合图形结构特征，用点到直线的距离结合线性目标函数求最值的方法求出数量积的最小值。
10.【答案】 A
【解析】【解答】 在 上单调递减



.
可得：
故答案为：
【分析】利用对数函数的单调性比较出对数的大小，再借助正弦函数的单调性，利用复合函数的单调性，即同单调性增异单调性减的性质判断出a,b,c的大小关系。
11.【答案】 B
【解析】【解答】圆 方程可化为：     ，圆 半径
   
即

   
设圆心 到直线 的距离为
则    
又直线 与圆 相交，可得
即    
综上所述：
故答案为：
【分析】利用圆的一般方程转化为标准方程求出圆心和半径，再利用向量模之间关系的已知条件结合数量积表示模的方法，借助点到直线的距离公式求出m的取值范围，再利用直线与圆相交的位置关系的判断方法求出m的取值范围，最后两个m的范围求交集得出m的取值范围。
二、填空题
12.【答案】 1
【解析】【解答】 ，解得：
当 时，
   
本题正确结果：
【分析】首先根据已知条件得出a,b的值，再将x=-2代入分段函数中得出结果。
13.【答案】
【解析】【解答】


以此类推得：
本题正确结果：
【分析】根据实际问题的已知条件结合归纳推理的方法，由前几个数的分解找出规律，从而得到第n个数的分解。
14.【答案】
【解析】【解答】由题目中的位置关系，可将原图补为如图所示的直四棱柱：

    异面直线 与 所成角即为直线 与 所成角
由余弦定理可得：
，又
.
本题正确结果：
【分析】利用直四棱柱的结构特征和已知条件找出异面直线所成的角，再利用余弦定理求出异面直线所成角的余弦值。
15.【答案】
【解析】【解答】由抛物线方程可知：准线方程为 ，
设

由抛物线定义可知： 垂直于准线，可得：
又 ，可得：
解得： ，
当 时， ，
为等边三角形 外接圆圆心与重心重合
外接圆圆心坐标为： ，即
外接圆半径为：
同理可得：当 时，圆心坐标为 ，半径为
外接圆方程为：
本题正确结果：
【分析】首先根据抛物线方程得出准线方程，再根据抛物线定义得出点P,M的坐标，从而得出外接圆圆心坐标和外接圆半径，同理得出圆心坐标和半径，进而得出外接圆方程。
三、解答题
16.【答案】 （1）解：设等比数列 的公比为
， ， 成等差数列   


（2）解：



【解析】【分析】（1）根据题意 设等比数列 的公比为 ，进而得出关于q的方程，求解得出公比，从而得出数列 的通项公式 。
（2）根据题意得出数列 的前 项和 的表达式，根据数列分组求和利用等差数列和等比数列的求和公式得出结果。
17.【答案】 （1）证明：因为 平面 ，所以
又因为 ， ，
由 ，可得
所以 ，所以 ，即
因为 ，所以 平面
因为 平面 ，所以平面 平面

（2）解：连结 ，与 交于点 ，连结

因为 平面 ，
为平面 与平面 的交线，所以
所以
在四边形 中，因为 ，所以
所以    
因为 平面 ，所以 ，且平面 平面
在平面 中，作 ，则 平面
因为
所以
因为 ，所以
所以
【解析】【分析】（1）首先根据题意得出 ，根据已知条件得出 ，从而有 平面 ，再利用面面垂直的判定即证。
（2）根据题意连结 ，与 交于点 ，连结 ， 由此得出， 进而有 ， 再根据得出 ，由此得出三棱锥 的体积。
18.【答案】 （1）解：设点 的坐标为 ，因为点 的坐标是
所以，直线 的斜率
同理，直线 的斜率
由已知又
化简，得点 的轨迹方程

（2）解：直线 的方程为 ，与直线 的方程 联立，可得点 ，故
将 与 联立，消去 ，整理得
解得 或
由题设，可得点
由 ，可得直线 的方程为：

令 ，解得 ，故
所以
所以 的面积：
【解析】【分析】（1）根据题意设点 的坐标为 ，进而得出   ,由此得出 点 的轨迹方程 。
（2）根据题意首先得出点Q坐标，再求出点M的坐标，从而得出直线MQ的方程，即可得出点D的坐标，进而得出|AD|，即可表示 的面积 。
 
19.【答案】 （1）解：商店的日利润 关于需求量 的函数表达式为：

化简得：

（2）解：①由频率分布直方图得：
海鲜需求量在区间 的频率是 ；
海鲜需求量在区间 的频率是 ；
海鲜需求量在区间 的频率是 ；
海鲜需求量在区间 的频率是 ；
海鲜需求量在区间 的频率是 ；
这 50天商店销售该海鲜日利润 的平均数为：
  （元）
②由于 时，
显然 在区间 上单调递增，
，得 ；
，得 ；
日利润 在区间 内的概率即求海鲜需求量 在区间 的频率：

【解析】【分析】（1）结合题意得出商店日利润 关于需求量 的函数表达式 。
（2） ① 利用频率分布直方图估计平均数的方法结合利润函数得出平均数；
② 根据利润区间得出需求量所在的区间，进而得出日利润 在区间 内的概率即求海鲜需求量 在区间 的频率 。由此得出结果。
20.【答案】 （1）解：
①当 时，
令 ，解得 ， ，且
当 时， ；当 时，
所以， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和 ；
②当 时，
所以， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
③当 时，令 ，解得 ， ，并且
当 时， ；当 时， .
所以 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ；
④当 时， ，所以 的单调递增区间是
⑤当 时，令 ，解得 ， ，且
当 时， ；当 时，
所以， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 和

（2）解：由 及（1）知，
①当 时， ，不恒成立，因此不合题意；
②当 时， 需满足下列三个条件：
⑴极大值： ，得
⑵极小值：
⑶当 时，
当 时， ， ，故
所以 ；
③当 时， 在 单调递增，

所以 ；
④当 时，
极大值：
极小值：
由②中⑶知 ，解得
所以
综上所述， 的取值范围是
【解析】【分析】（1）首先根据题意得出函数的导函数，分析 当 时、 当 时 、 当 时、 当 时 、 当 时，利用函数的导函数得出函数的单调区间。
（2）根据题意分析当 时 ，f(2)>1不恒成立，不符题意；当 时，利用函数的极值问题得出 ； 当时，结合已知条件根据函数的单调性得出 ；同理得出当 时，根据函数的极值得出 ，综合得出a的取值范围。
21.【答案】 （1）解：将 代入曲线 极坐标方程得：
曲线 的直角坐标方程为：
即

（2）解：将直线的参数方程代入曲线方程：
整理得
设点 ， 对应的参数为 ，
解得 ，
则
，因为
得 和
直线 的普通方程为 和
【解析】【分析】（1）根据题意利用转换关系将 代入曲线 极坐标方程中即可得出曲线 的直角坐标方程 。
（2）根据题意利用直线与曲线的位置关系，结合一元二次方程根与系数的关系的应用得出三角函数关系式，从而得出直线方程。
22.【答案】 （1）解：当 时，
原不等式等价于
故有 或 或
解得： 或 或
综上，原不等式的解集

（2）解：由题意知 在 上恒成立，
即 在 上恒成立
所以
即 在 上恒成立
所以
即 在 上恒成立
由于 ，
所以 ，即 的取值范围是
【解析】【分析】（1）利用m的值代入函数解析式中确定函数解析式，再利用零点分段法求出绝对值不等式的解集。
（2）利用绝对值不等式恒成立问题的解决方法结合集合包含关系的判断方法，借助数轴用分类讨论的方法求出m的取值范围。