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2022年山东省烟台市、德州市高考数学一模试卷
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这是一份2022年山东省烟台市、德州市高考数学一模试卷，共16页。
2022年山东省烟台市、德州市高考数学一模试卷
1.（5分）已知集合A={ x|x2-4>0}，B={ 0,1,2,3}，则(∁RA)∩B=( )
A. { 0} B. { 0,1} C. { 1,2} D. { 0,1,2}
2.（5分）若复数z满足z(1+2i)=4+3i，则- z=( )
A. 2+i B. 2-i C. 1+2i D. 1-2i
3.（5分）设x，y∈R，则“x<1且y<1”是“x+y<2”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.（5分）若非零向量a→，b→满足|a→|=|b→|，(a→-2b→)⊥a→，则向量a→与b→的夹角为()
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
5.（5分）已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若ΔOFP的面积为22，则该抛物线的准线方程为( )
A. x=-12 B. x=-1 C. x=-2 D. x=-4
6.（5分）如图，三棱锥V-ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=AV=2，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为( )
A. (2-3)：1 B. (23-3)：1
C. (3-1)：3 D. (3-1)：2
7.（5分）“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为( )
A. 90 B. 150 C. 180 D. 300
8.（5分）过直线x-y-m=0上一点P作圆M：(x-2)2+(y-3)2=1的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为7的点P有两个，则实数m的取值范围为( )
A. -5
9.（5分）将函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数f(x)的图象，则( )
A. f(x)=cos(2x+π6)
B. (π6,0)是f(x)图象的一个对称中心
C. 当x=-π12时，f(x)取得最大值
D. 函数f(x)在区间[π,5π4]上单调递增
10.（5分）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则( )
A. P(A)=35 B. P(B|A)=25
C. P(B)=1325 D. P(A|B)=913
11.（5分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA1=3，D为BC中点，则( )
A. 直线A1B//平面ADC1
B. 点B1到平面ADC1的距离为3510
C. 异面直线A1B1与C1D所成角的余弦值为1010
D. 设P，Q分别在线段A1B1，DC1上，且A1PA1B1=DQDC1，则PQ的最小值为3
12.（5分）已知双曲线C：x24-y25=1，F1，F2为C的左、右焦点，则()
A. 双曲线x24+m-y25+m=1(m>0)和C的离心率相等
B. 若P为C上一点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的周长为6+214
C. 若直线y=tx-1与C没有公共点，则t<-62或t>62
D. 在C的左、右两支上分别存在点M，N使得4F1M→=F1N→
13.（5分）若sinα=cos(α+π6)，则tan2α的值为 ______.
14.（5分）若(1-2x)n的展开式中x3项的系数为-160，则正整数n的值为 ______.
15.（5分）已知f(x)为R上的奇函数，且f(x)+f(2-x)=0，当-1
17.（12分）2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办．这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台，折射出我国更加坚实的文化自信，诠释着新时代中国的从容姿态，传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声．某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况(单位：分钟)，并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的85％分位数；
(2)采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在[200,280]的学生中抽取6人．若从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观看时长在[200,240)的人数为X，求X的分布列和数学期望．
18.（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=9，S3=15.
(1)求{an}的通项公式：
(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak+1(k=1,2,⋯)之间插入2k个1，使它们和原数列的项构跕一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，求T100的值．
19.（12分）如图，四边形ABCD中，AB2+BC2+AB⋅BC=AC2.
(1)若AB=3BC=3，求ΔABC的面积；
(2)若CD=3BC，∠CAD=30°，∠BCD=120°，求∠ACB的值．
20.（12分）如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2BC=4，E为CD的中点，且ΔVBC为等边三角形．
(1)若VB⊥AE，求证：AE⊥VE；
(2)若二面角A-BC-V的大小为30°，求直线AV与平面VCD所成角的正弦值．
21.（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，依次连接C的四个顶点所得菱形的面积为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若A(-2,0)，直线l：y=kx+m与C交于两点P，Q，且AP⊥AQ，试判断直线l是否过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，说明理由．
22.（12分）已知函数f(x)=12ax2-x-lnx(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x⩾1时，|f(x)|⩾2，求a的取值范围；
(3)证明：k=2n1lnk>1-1n.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵A={ x|x2-4>0}={ x|x<-2或x>2}，∴∁RA={ x|-2⩽x⩽2}，
又B={ 0,1,2,3}，∴(∁RA)∩B={ 0,1,2}.
故选：D.
求解一元二次不等式化简A，进一步求得∁RA，再由交集运算得答案．
此题主要考查交集、补集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：z=4+3i1+2i=(4+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2-i．
- z=2+i
故选：A．
等号两边同时除以1+2i，再进行化简，整理．
该题考查复数，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：①当x<1且y<1时，则x+y<2成立，∴充分性成立，
②当x=0，y=1.5时，满足x+y<2，但不满足x<1且y<1，∴必要性不成立，
∴x<1且y<1是x+y<2的充分不必要条件，
故选：A.
利用不等式的性质，充要条件的定义判定即可．
此题主要考查了不等式的性质，充要条件的判定，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵(a→-2b→)⊥a→，
∴(a→-2b→)·a→=a→2-2a→·b→=0，
∴a→·b→=12a→2，且|a→|=|b→|，
∴cos=a→·b→|a→||b→|=12，
又∈[0,π]，
∴=π3.
故选：B.
根据条件可得出a→·b→=12a→2，然后根据|a→|=|b→|可得出cos=12，从而可得出向量a→与b→的夹角．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由抛物线的方程可得F(p2,0)，
设P在x轴上方，则y2=2p⋅8，可得yP=4p，
则SΔOFP=12|OF|⋅yP=12.p2⋅4p=22，解得p=2，
所以准线方程为x=-p2=-22=-1，
故选：B.
由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由P点的横坐标可得P的纵坐标，代入三角形的面积公式可得p的值，进而求出准线方程．
此题主要考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为VA⊥底面ABC，AB，AC⊂底面ABC，所以VA⊥AB，VA⊥AC，
又因为∠BAC=90°，所以AB⊥AC，而AB=AC=AV=2，
所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中，共顶点的长、宽、高，
因此该三棱锥外接球的半径R=1222+22+22=3，设该三棱锥的内切球的半径为r，
因为∠BAC=90°，所以BC=AB2+AC2=22+22=22，
因为VA⊥AB，VA⊥AC，AB=AC=AV=2，
所以VB=VC=AV2+AB2=22+22=22，
由三棱锥的体积公式可得：
3×13×12×2×2⋅r+13×12×22×22×32⋅r=13×12×2×2×2⇒r=3-33，
所以r：R=3-33：3=(3-1)：3，
故选：C.
根据线面垂直的性质，结合正方体的对角线长公式、棱锥的体积公式进行求解即可．
此题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
7.【答案】B
【解析】解：5名专家的安排方法分为1+1+3或者1+2+2，
若按照1+1+3安排共有C51C41C33A22×A33=60，
若按照1+2+2安排共有C52C32C11A22×A33=90，
则共有60+90=150种，
故选：B.
5名专家的安排方法分为1+1+3或者1+2+2，然后根据排列组合的计数性质即可求解．
此题主要考查了排列组合的计数性质的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由PA⊥MA，PB⊥MB，|PA|=|PB|，|MA|=|MB|=1，
可得四边形PAMB的面积为S=12|PA|⋅|MA|+12|PB|⋅|MB|=|PA|=7，
∴|PM|=|MA|2+|PA|2=12+(7)2=22，
使得四边形PAMB的面积为7的点P有两个，
则|2-3-m|12+(-1)2<22，解得-5
由四边形PAMB的面积为7求得|PM|，由题意结合点到直线的距离公式列式求解m的取值范围．
此题主要考查直线和圆的位置关系，考查切线长定理和点到直线的距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：将函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数f(x)=sin(2x-π3)的图象；
对于A：由于f(x)=sin(2x-π3)=cos[π2-(2x-π3)]=cos(2x-5π6)=-cos(2x+π6)，故A正确；
对于B：当x=π6时，f(π6)=0，故B正确；
对于C：当x=-π12时，f(-π12)=-1，故C错误；
对于D：由于x∈[π,5π4]，故2x-π3∈[5π3,13π6]，故函数f(x)在区间上单调递增，故D正确．
故选：BD.
首先利用三角函数关系式的平移变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
此题主要考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，
以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，
对于A，由等可能事件概率计算公式得P(A)=35，故A正确；
对于B，P(AB)=35×35=925，
∴P(B|A)=P(AB)P(A)=92535=35，故B错误；
对于C，P(- A)=2 5，P(B|- A)=P(- AB) P(- A)=2 5×2 5 2 5=2 5，
∴由全概率公式得：
P(B)=P(A)P(B|A)+P(- A)P(B|- A)=3 5×3 5+2 5×2 5=13 25，故C正确；
对于D，由贝叶斯公式得：P(A|B)=P(A)P(B|A) P(B)=3 5×3 5 13 25=9 13，故D正确．
故选：ACD.
对于A，由等可能事件概率计算公式判断A；由条件概率计算公式判断B；由全概率公式判断C；由贝叶斯公式判断D.
此题主要考查概率的求法，考查等可能事件、条件概率计算公式、全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA1=3，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
如图，建立空间直角坐标系，
则A(3,0,0)，B(0,1,0)，C(0,-1,0)，D(0,0,0)，A1(3,0,3)，B1(0,1,3)，C1(0,-1,3)，
∴A1→B=(-3,1,-3)，DA→=(3,0,0)，D→C1=(0,-1,3)，
设平面ADC1的法向量n→=(x,y,z)，
则n→.DA→=3x=0n→.DC1=-y+3z=0，令z=1，则n→=(0,3,1)，
∵n→.A1→B=0，∴n→⊥A1→B，
∴A1B⊄平面ADC1，∴A1B//平面ADC1，故A正确；
∵A→B1=(-3,1,3)，∴|A→B1.n→||n→|=610=3105，
∴点B1到平面ADC1的距离为3105，故B正确；
∵A1→B1=(-3,1,0)，C1→D=(0,1,-3)，
设直线A1B1与C1D所成角为θ，
则cosθ=|A1→B1.C1→D||A1→B1|\cdot|C1→D|=1020，
∴异面直线A1B1与C1D所成角的余弦值为1020，故C错误；
设A1PA1B1=DQDC1=λ，则A1P=λA1B1，DQ=λDC1，
∵A1→B1=(-3,1,0)，D→C1=(0,-1,3)，∴A1→P=(-3λ,λ,0)，DQ→=(0,-λ,3λ)，
则P(3-3λ,λ,3)，Q(0,-λ,3λ)，
∴|PQ|2=(3-3λ)2+4λ2+(3-3λ)2=16λ2-24λ+12，
当λ=34时，|PQ|min2=3，故D正确．
故选：ABD.
建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
此题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：选项A：双曲线C：x24-y25=1的离心率e=32，
双曲线x24+m-y25+m=1(m>0)的离心率e=4+m+5+m4+m=9+2m4+m，
则双曲线x24+m-y25+m=1(m>0)和C的离心率不一定相等．判断错误；，
选项B：P为C：x24-y25=1上一点，且∠F1PF2=90°，
则有{|PF|12+|PF2|2=36||PF1|-|PF2||=4，整理得|PF1|+|PF2|=214，
则△F1PF2的周长为6+214.选项B判断正确；
选项C：由{x24-y25=1y=tx-1，可得(5-4t2)x2+8tx-24=0，
由题意可知，方程(5-4t2)x2+8tx-24=0无解，
当5-4t2=0时，方程(5-4t2)x2+8tx-24=0有解；
当5-4t2≠0时，则有{5-4t2≠0(8t)2+96(5-4t2)<0，解之得t<-62或t>62，
故若直线y=tx-1与C没有公共点，则t<-62或t>62.判断正确；
选项D：根据题意，过双曲线C的左焦点F1的直线MN方程可设为x=ty-3，
令M(x1,y1)，N(x2,y2)，由4F1M→=F1N→，可得y2=4y1，
由{x24-y25=1x=ty-3，可得(5t2-4)y2-30ty+25=0，
则有{y1+y2=30t5t2-4y1y2=255t2-4，则有{5y1=30t5t2-44y12=255t2-4，
整理得19t2+100=0，显然不成立．
当过双曲线C的左焦点F1的直线MN为水平直线时，方程为y=0，
则M(-2,0)，N(2,0)，F1M→=(1,0),F1N→=(5,0)，即5F1M→=F1N→.
综上可知，不存在分别在C的左、右两支上M，N使得4F1M→=F1N→.判断错误．
故选：BC.
求得双曲线x24+m-y25+m=1(m>0)和C的离心率判断选项A；求得△F1PF2的周长判断选项B；由直线与圆锥曲线位置关系的判定判断选项C；求解满足题意条件的直线MN判断选项D.
本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．
13.【答案】 3
【解析】解：由sinα=cos(α+π6)，得sinα=cosαcosπ6-sinαsinπ6=32cosα-12sinα，
∴32sinα=32cosα，得tanα=33.
∴tan2α=2tanα1-tan2α=2×331-(33)2=3.
故答案为：3.
由已知展开两角和的余弦，变形求得tanα，再由二倍角的正切求解．
此题主要考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
14.【答案】 6
【解析】解：(1-2x)n的展开式的通项公式为Tr+1=Cnr1n-r(-2x)r=(-2)rCnrxr，
又展开式中x3项的系数为-160，
则(-2)3Cn3=-160，
则Cn3=20，
解得n=6，
故答案为：6.
先求出(1-2x)n的展开式的通项公式为Tr+1=(-2)rCnrxr，再令r=3求解即可．
此题主要考查了二项式展开式的通项公式，重点考查了运算能力，属基础题．
15.【答案】 -45
【解析】解：根据题意，f(x)为R上的奇函数，且f(x)+f(2-x)=0，
f(2-x)=-f(x)=f(-x)，变形可得f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，
则f(2+log25)=f(log25-2)=f(log254)，
f(x)为奇函数且当-1
故答案为：-45.
根据题意，分析函数的周期，由此可得f(2+log25)=f(log25-2)=f(log254)，结合函数的奇偶性和解析式计算可得答案．
此题主要考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
16.【答案】 23
【解析】解：由题意，得z=4x2-xy+y2，
所以zxy=4xy+yx-1⩾24xy-1=3，
当且仅当4xy=yx，即y=2x时取等号，
所以1x(1y-1z)=1xy-1xz=12x2-16x3，
令t=1x，f(t)=12t2-16t3(t>0)，则f'(t)=t(2-t)2，
当00，f(t)单调递增，
当t>2时，f'(t)<0，f(t)单调递减，
所以f(t)⩽f(2)=23.
故1x(1y-1z)的最大值为23.
故答案为：23.
由已知结合基本不等式可求出zxy=4xy+yx-1的最值及取得最值时x，y，z的关系，代入到所求式子后进行换元，然后结合导数，求出1x(1y-1z)的最大值．
此题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，还考查了导数与单调性及最值的关系，属于中档题．
17.【答案】解：（1）由题意，40×（0.0005+0.002×2+2a+0.006+0.0065）=1，解得a=0.004．
由频率分布直方图知，观看时长在200分钟以下占比为40×（0.0005+0.002+0.004+0.006+0.0065）=0.76．
观看时长在240分钟以下占比为0.76+40×0.004=0.92．
所以85%分位数位于[200，240）内，85%分位数为200+40×0.85-0.760.92-0.76=222.5．
（2）由题意，观看时长[200，240）、[240，280]对应的频率分别为0.16和0.08，
所以采用分层随机抽样的方式在两个区间中应分别抽取4人和2人．
于是抽取的 3 人中现看时长在[200，240）中的人数 x 的所有可能取值为1，2，3．
所以，P(X=1)=C41⋅C22C63=15，P(X=2)=C42⋅C21C63=35，P(X=3)=C43C63=15．
X的分布列为：
X
1
2
3
P
15
35
15
所以，E(X)=1×15+2×35+3×15=2．
【解析】
(1)由频率直方图的频率和为1列方程求参数a，应用百分数的求法求85％分位数；
(2)利用分层抽样确定[200,240 )、[240,280]中分别抽取的人数，进而可得 X可能取值为1、2、3，并求出对应值的概率即可得分布列，根据分布列求期望即可．
此题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的的运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：（1）设{an}的公差为d，由已知a1+3d=9，3a1+3d=15．
解得a1=3，d=2．所以an=2n+1；
（2）因为ak与ak+1（k=1，2，⋯）之间插入2k个1，
所以ak在{bn}中对应的项数为n=k+21+22+23+⋯+2k-1=k+2-2k1-2=2k+k-2，
当k=6时，2k+k-2=68，
当k=7时，2k+k-2=133，
所以a6=b68，a7=b133，且b69=b70=⋯=b100=1，
因此T100=S6+(2×1+22×1+23×1+⋯+25×1)+32×1=62×(3+13)+2-261-2+32=142．
【解析】
(1)根据等差数列的通项公式，结合等差数列前n项和公式进行求解即可；
(2)根据题意，结合等比数列前n项和公式进行求解即可．
此题主要考查了等差数列的通项公式以及数列的求和问题，属于中档题．
19.【答案】解：（1）∵AB2+BC2+AB•BC=AC2，
∴cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=-AB·BC2AB·BC=-12，
∵0°＜B＜180°，
∴B=120°，
∴S△ABC=12AB•BCsin120°=12×3×1×32=334；
（2）设∠ACB=θ，则∠ACD=120°-θ，∠ADC=30°+θ，∠BAC=60°-θ，
在△ACD中，由ACsin(30∘+θ)=CDsinθ，得AC=sin(30°+θ)sin30∘•CD，
在△ABC中，由ACsin20∘=BCsin(60∘-θ)，得AC=sin120°sin(60∘-θ)•BC，
联立上式，并由CD=3BC，得3•sin(30°+θ)sin30∘=sin120°sin(60∘-θ)，
整理得sin（30°+θ）sin（60°-θ）=14，
∴sin（60°+2θ）=12，
∵0°＜θ＜60°，
∴60°＜60°+2θ＜180°，
∴60°+2θ=150°，
解得θ=45°，
故∠ACB=45°．
【解析】
(1)根据余弦定理即可求出B，再根据三角形的面积公式即可求出；
(2)设∠ACB=θ，则∠ACD=120°-θ，∠ADC=30°+θ，∠BAC=60°-θ，分别根据正弦定理以及CD=3BC，得3⋅sin(30°+θ)sin30∘=sin120°sin(60∘-θ)，再根据三角恒等变化即可求出．
此题主要考查了正弦定理与余弦定理以及三角形的面积，三角恒等变换，考查了运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】（1）证明：因为E为CD的中点，所以AD=DE=2，
所以△ADE为等腰直角三角形，所以∠AED=45°，
同理∠BEC=45°，所以AE⊥BE，
又因为VB⊥AE，且VB∩BE=B，VB⊂平面VBE，BE⊂平面BVE，
所以AE⊥平面VBE，又VE⊂平面VBE，所以AE⊥VE；
（2）解：取BC的中点O，AD的中点G，连接OG、VO，则OG⊥BC，
又△VBC为等边三角形，所以VO⊥BC，
所以∠GOV为二面角A-BC-V的平面角，所以∠GOV=30°，
以OB→、GO→方向分别作为x、y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示：
所以A（1，-4，0），C（-1，0，0），D（-1，-4，0），V（0，-32，32），
DC→=（0，4，0），CV→=（1，-32，32），AV→=（-1，52，32），
设n→=（x，y，z）为平面VCD的一个法向量，则{n→·DC→=0n→·CV→=0，即{4y=0x-32y+32z=0，
令z=2，得x=-3，所以n→=（-3，0，2），
设直线AV与平面VCD所成的角为α，
则sinα=|cos＜AV→，n→＞|=|AV→·n→||AV→|×|n→|=3+0+31+254+34×3+0+4=4214，
所以直线AV与平面VCD所成角的正弦值为4214．
【解析】
(1)先证明AE⊥BE，再由VB⊥AE，证明AE⊥平面VBE，得出AE⊥VE；
(2)取BC的中点O，AD的中点G，得出∠GOV是二面角A-BC-V的平面角，以OB→、GO→方向分别作为x、y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，用坐标表示向量，求出平面VCD的一个法向量，再求直线AV与平面VCD所成角的正弦值．
此题主要考查了线面垂直的证明问题，也考查了线面角的正弦值计算问题，以及空间中线线、线面、面面间的位置关系和运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：（1）由题意知，{e=ca=322a·2b·12=4b2=a2-c2，解得a=2，b=1，
故椭圆C的标准方程为x24+y2=1．
（2）设P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
联立{y=kx+mx24+y2=1，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，
所以x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1，
因为AP⊥AQ，
所以AP→•AQ→=（x1+2，y1）•（x2+2，y2）=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2
=x1x2+2（x1+x2）+4+（kx1+m）（kx2+m）=（k2+1）x1x2+（km+2）（x1+x2）+4+m2
=（k2+1）•4m2-44k2+1+（km+2）（-8km4k2+1）+4+m2
=12k2+5m2-16km4k2+1=(2k-m)(6k-5m)4k2+1=0，
所以（2k-m）（6k-5m）=0，即m=2k或m=6k5，
所以直线l的方程为y=kx+2k或y=kx+6k5，对应的定点坐标分别为（-2，0），（-65，0），
因为A（-2，0），
所以定点坐标为（-65，0）．
【解析】
(1)根据菱形面积公式，离心率，求出a和b的值，即可；
(2)设出相关点的坐标，联立直线与椭圆方程，再结合韦达定理与数量积为0，推出m=2k或m=6k5，进而得解．
此题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，熟练掌握平面向量数量积的坐标运算，椭圆的几何性质是解答该题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：（1）f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=ax-1-1x=ax2-x-1x（x＞0），
记φ（x）=ax2-x-1．
当a≤0时，φ（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞） 上单调递减．
当a＞0时，令φ（x）=0，得x1=1+1+4a2a，x2=1-1+4a2a （舍去）．
当x∈（0，x1）时，φ（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）单调递减；
当x∈（x1，+∞）时，φ（x）＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）单调递增，
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在（0，1+1+4a2a）上单调递减，在（1+1+4a2a，+∞）上单调递增．
（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以f（x）≤f（1）=12a-1＜0，
此时|f（x）|min=1-a2，令1-a2≥2，解得a≤-2．
当a＞0时，若φ（1）=a-2≥0，则a≥2，
由（1），设φ（x）=0的正根为x1，则必有x1≤1，且当x∈（1，+∞），φ（x）＞0，即f′（x）＞0，
所以f（x）在[1，+∞）上单调递增，此时f（x）≥f（1）=a2-1≥0，|f（x）|min=a2-1，令a2-1≥2，解得a≥6．
若φ（1）=a-2＜0，即a＜2，则当x∈（1，x1）时，φ（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（x1，+∞）时，φ（x）＞0，f（x）单调递增，
注意到φ（x1）=ax12-x1-1，知f（x）min=f（x1）=12ax12-x1-lnx1=12（x1+1）-x1-lnx1=12（1-x1）-lnx1＜0，
又当x→+∞时，f（x）→+∞，由零点存在定理∃x0∈（x1，+∞），使f（x0）=0，
此时|f（x）|min=0，不满足题意．
综上，a的取值范围是（-∞，-2]∪[6，+∞）．
（3）证明：由（2）知，当a=2时，对x＞1，有f（x）＞f（1）=0，即x2-x＞lnx，
又x＞1时，x2-x＞0，lnx＞0，所以1lnx＞1x2-x，
令x=k（k≥2），得1lnk＞1k2-k=1k(k-1)=1k-1-1k，
所以1ln2＞1-12，1ln3＞12-13，1ln4＞13-14，…，1lnn＞1n-1-1n，
故k=2n1lnk＞（1-12）+（12-13）+（13-14）+…+（1n-1-1n）=1-1n．
即k=2n1lnk＞1-1n．
【解析】
(1)根据导数的性质，结合一元二次方程根的情况分类讨论进行求解即可；
(2)根据(1)的结论，结合函数的单调性和零点存在原理进行求解即可；
(3)根据(2)的结论，构造不等式1lnx>1x2-x，利用裂项相消法进行证明即可．
此题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．
2022年山东省烟台市、德州市高考数学一模试卷
1.（5分）已知集合A={ x|x2-4>0}，B={ 0,1,2,3}，则(∁RA)∩B=( )
A. { 0} B. { 0,1} C. { 1,2} D. { 0,1,2}
2.（5分）若复数z满足z(1+2i)=4+3i，则- z=( )
A. 2+i B. 2-i C. 1+2i D. 1-2i
3.（5分）设x，y∈R，则“x<1且y<1”是“x+y<2”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.（5分）若非零向量a→，b→满足|a→|=|b→|，(a→-2b→)⊥a→，则向量a→与b→的夹角为()
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
5.（5分）已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若ΔOFP的面积为22，则该抛物线的准线方程为( )
A. x=-12 B. x=-1 C. x=-2 D. x=-4
6.（5分）如图，三棱锥V-ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=AV=2，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为( )
A. (2-3)：1 B. (23-3)：1
C. (3-1)：3 D. (3-1)：2
7.（5分）“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为( )
A. 90 B. 150 C. 180 D. 300
8.（5分）过直线x-y-m=0上一点P作圆M：(x-2)2+(y-3)2=1的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为7的点P有两个，则实数m的取值范围为( )
A. -5
9.（5分）将函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数f(x)的图象，则( )
A. f(x)=cos(2x+π6)
B. (π6,0)是f(x)图象的一个对称中心
C. 当x=-π12时，f(x)取得最大值
D. 函数f(x)在区间[π,5π4]上单调递增
10.（5分）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则( )
A. P(A)=35 B. P(B|A)=25
C. P(B)=1325 D. P(A|B)=913
11.（5分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA1=3，D为BC中点，则( )
A. 直线A1B//平面ADC1
B. 点B1到平面ADC1的距离为3510
C. 异面直线A1B1与C1D所成角的余弦值为1010
D. 设P，Q分别在线段A1B1，DC1上，且A1PA1B1=DQDC1，则PQ的最小值为3
12.（5分）已知双曲线C：x24-y25=1，F1，F2为C的左、右焦点，则()
A. 双曲线x24+m-y25+m=1(m>0)和C的离心率相等
B. 若P为C上一点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的周长为6+214
C. 若直线y=tx-1与C没有公共点，则t<-62或t>62
D. 在C的左、右两支上分别存在点M，N使得4F1M→=F1N→
13.（5分）若sinα=cos(α+π6)，则tan2α的值为 ______.
14.（5分）若(1-2x)n的展开式中x3项的系数为-160，则正整数n的值为 ______.
15.（5分）已知f(x)为R上的奇函数，且f(x)+f(2-x)=0，当-1
17.（12分）2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办．这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台，折射出我国更加坚实的文化自信，诠释着新时代中国的从容姿态，传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声．某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况(单位：分钟)，并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的85％分位数；
(2)采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在[200,280]的学生中抽取6人．若从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观看时长在[200,240)的人数为X，求X的分布列和数学期望．
18.（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=9，S3=15.
(1)求{an}的通项公式：
(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak+1(k=1,2,⋯)之间插入2k个1，使它们和原数列的项构跕一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，求T100的值．
19.（12分）如图，四边形ABCD中，AB2+BC2+AB⋅BC=AC2.
(1)若AB=3BC=3，求ΔABC的面积；
(2)若CD=3BC，∠CAD=30°，∠BCD=120°，求∠ACB的值．
20.（12分）如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2BC=4，E为CD的中点，且ΔVBC为等边三角形．
(1)若VB⊥AE，求证：AE⊥VE；
(2)若二面角A-BC-V的大小为30°，求直线AV与平面VCD所成角的正弦值．
21.（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，依次连接C的四个顶点所得菱形的面积为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若A(-2,0)，直线l：y=kx+m与C交于两点P，Q，且AP⊥AQ，试判断直线l是否过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，说明理由．
22.（12分）已知函数f(x)=12ax2-x-lnx(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x⩾1时，|f(x)|⩾2，求a的取值范围；
(3)证明：k=2n1lnk>1-1n.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵A={ x|x2-4>0}={ x|x<-2或x>2}，∴∁RA={ x|-2⩽x⩽2}，
又B={ 0,1,2,3}，∴(∁RA)∩B={ 0,1,2}.
故选：D.
求解一元二次不等式化简A，进一步求得∁RA，再由交集运算得答案．
此题主要考查交集、补集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：z=4+3i1+2i=(4+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2-i．
- z=2+i
故选：A．
等号两边同时除以1+2i，再进行化简，整理．
该题考查复数，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：①当x<1且y<1时，则x+y<2成立，∴充分性成立，
②当x=0，y=1.5时，满足x+y<2，但不满足x<1且y<1，∴必要性不成立，
∴x<1且y<1是x+y<2的充分不必要条件，
故选：A.
利用不等式的性质，充要条件的定义判定即可．
此题主要考查了不等式的性质，充要条件的判定，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵(a→-2b→)⊥a→，
∴(a→-2b→)·a→=a→2-2a→·b→=0，
∴a→·b→=12a→2，且|a→|=|b→|，
∴cos
又
∴
故选：B.
根据条件可得出a→·b→=12a→2，然后根据|a→|=|b→|可得出cos
本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由抛物线的方程可得F(p2,0)，
设P在x轴上方，则y2=2p⋅8，可得yP=4p，
则SΔOFP=12|OF|⋅yP=12.p2⋅4p=22，解得p=2，
所以准线方程为x=-p2=-22=-1，
故选：B.
由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由P点的横坐标可得P的纵坐标，代入三角形的面积公式可得p的值，进而求出准线方程．
此题主要考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为VA⊥底面ABC，AB，AC⊂底面ABC，所以VA⊥AB，VA⊥AC，
又因为∠BAC=90°，所以AB⊥AC，而AB=AC=AV=2，
所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中，共顶点的长、宽、高，
因此该三棱锥外接球的半径R=1222+22+22=3，设该三棱锥的内切球的半径为r，
因为∠BAC=90°，所以BC=AB2+AC2=22+22=22，
因为VA⊥AB，VA⊥AC，AB=AC=AV=2，
所以VB=VC=AV2+AB2=22+22=22，
由三棱锥的体积公式可得：
3×13×12×2×2⋅r+13×12×22×22×32⋅r=13×12×2×2×2⇒r=3-33，
所以r：R=3-33：3=(3-1)：3，
故选：C.
根据线面垂直的性质，结合正方体的对角线长公式、棱锥的体积公式进行求解即可．
此题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
7.【答案】B
【解析】解：5名专家的安排方法分为1+1+3或者1+2+2，
若按照1+1+3安排共有C51C41C33A22×A33=60，
若按照1+2+2安排共有C52C32C11A22×A33=90，
则共有60+90=150种，
故选：B.
5名专家的安排方法分为1+1+3或者1+2+2，然后根据排列组合的计数性质即可求解．
此题主要考查了排列组合的计数性质的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由PA⊥MA，PB⊥MB，|PA|=|PB|，|MA|=|MB|=1，
可得四边形PAMB的面积为S=12|PA|⋅|MA|+12|PB|⋅|MB|=|PA|=7，
∴|PM|=|MA|2+|PA|2=12+(7)2=22，
使得四边形PAMB的面积为7的点P有两个，
则|2-3-m|12+(-1)2<22，解得-5
由四边形PAMB的面积为7求得|PM|，由题意结合点到直线的距离公式列式求解m的取值范围．
此题主要考查直线和圆的位置关系，考查切线长定理和点到直线的距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：将函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到函数f(x)=sin(2x-π3)的图象；
对于A：由于f(x)=sin(2x-π3)=cos[π2-(2x-π3)]=cos(2x-5π6)=-cos(2x+π6)，故A正确；
对于B：当x=π6时，f(π6)=0，故B正确；
对于C：当x=-π12时，f(-π12)=-1，故C错误；
对于D：由于x∈[π,5π4]，故2x-π3∈[5π3,13π6]，故函数f(x)在区间上单调递增，故D正确．
故选：BD.
首先利用三角函数关系式的平移变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
此题主要考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，
以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，
对于A，由等可能事件概率计算公式得P(A)=35，故A正确；
对于B，P(AB)=35×35=925，
∴P(B|A)=P(AB)P(A)=92535=35，故B错误；
对于C，P(- A)=2 5，P(B|- A)=P(- AB) P(- A)=2 5×2 5 2 5=2 5，
∴由全概率公式得：
P(B)=P(A)P(B|A)+P(- A)P(B|- A)=3 5×3 5+2 5×2 5=13 25，故C正确；
对于D，由贝叶斯公式得：P(A|B)=P(A)P(B|A) P(B)=3 5×3 5 13 25=9 13，故D正确．
故选：ACD.
对于A，由等可能事件概率计算公式判断A；由条件概率计算公式判断B；由全概率公式判断C；由贝叶斯公式判断D.
此题主要考查概率的求法，考查等可能事件、条件概率计算公式、全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA1=3，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
如图，建立空间直角坐标系，
则A(3,0,0)，B(0,1,0)，C(0,-1,0)，D(0,0,0)，A1(3,0,3)，B1(0,1,3)，C1(0,-1,3)，
∴A1→B=(-3,1,-3)，DA→=(3,0,0)，D→C1=(0,-1,3)，
设平面ADC1的法向量n→=(x,y,z)，
则n→.DA→=3x=0n→.DC1=-y+3z=0，令z=1，则n→=(0,3,1)，
∵n→.A1→B=0，∴n→⊥A1→B，
∴A1B⊄平面ADC1，∴A1B//平面ADC1，故A正确；
∵A→B1=(-3,1,3)，∴|A→B1.n→||n→|=610=3105，
∴点B1到平面ADC1的距离为3105，故B正确；
∵A1→B1=(-3,1,0)，C1→D=(0,1,-3)，
设直线A1B1与C1D所成角为θ，
则cosθ=|A1→B1.C1→D||A1→B1|\cdot|C1→D|=1020，
∴异面直线A1B1与C1D所成角的余弦值为1020，故C错误；
设A1PA1B1=DQDC1=λ，则A1P=λA1B1，DQ=λDC1，
∵A1→B1=(-3,1,0)，D→C1=(0,-1,3)，∴A1→P=(-3λ,λ,0)，DQ→=(0,-λ,3λ)，
则P(3-3λ,λ,3)，Q(0,-λ,3λ)，
∴|PQ|2=(3-3λ)2+4λ2+(3-3λ)2=16λ2-24λ+12，
当λ=34时，|PQ|min2=3，故D正确．
故选：ABD.
建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
此题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：选项A：双曲线C：x24-y25=1的离心率e=32，
双曲线x24+m-y25+m=1(m>0)的离心率e=4+m+5+m4+m=9+2m4+m，
则双曲线x24+m-y25+m=1(m>0)和C的离心率不一定相等．判断错误；，
选项B：P为C：x24-y25=1上一点，且∠F1PF2=90°，
则有{|PF|12+|PF2|2=36||PF1|-|PF2||=4，整理得|PF1|+|PF2|=214，
则△F1PF2的周长为6+214.选项B判断正确；
选项C：由{x24-y25=1y=tx-1，可得(5-4t2)x2+8tx-24=0，
由题意可知，方程(5-4t2)x2+8tx-24=0无解，
当5-4t2=0时，方程(5-4t2)x2+8tx-24=0有解；
当5-4t2≠0时，则有{5-4t2≠0(8t)2+96(5-4t2)<0，解之得t<-62或t>62，
故若直线y=tx-1与C没有公共点，则t<-62或t>62.判断正确；
选项D：根据题意，过双曲线C的左焦点F1的直线MN方程可设为x=ty-3，
令M(x1,y1)，N(x2,y2)，由4F1M→=F1N→，可得y2=4y1，
由{x24-y25=1x=ty-3，可得(5t2-4)y2-30ty+25=0，
则有{y1+y2=30t5t2-4y1y2=255t2-4，则有{5y1=30t5t2-44y12=255t2-4，
整理得19t2+100=0，显然不成立．
当过双曲线C的左焦点F1的直线MN为水平直线时，方程为y=0，
则M(-2,0)，N(2,0)，F1M→=(1,0),F1N→=(5,0)，即5F1M→=F1N→.
综上可知，不存在分别在C的左、右两支上M，N使得4F1M→=F1N→.判断错误．
故选：BC.
求得双曲线x24+m-y25+m=1(m>0)和C的离心率判断选项A；求得△F1PF2的周长判断选项B；由直线与圆锥曲线位置关系的判定判断选项C；求解满足题意条件的直线MN判断选项D.
本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．
13.【答案】 3
【解析】解：由sinα=cos(α+π6)，得sinα=cosαcosπ6-sinαsinπ6=32cosα-12sinα，
∴32sinα=32cosα，得tanα=33.
∴tan2α=2tanα1-tan2α=2×331-(33)2=3.
故答案为：3.
由已知展开两角和的余弦，变形求得tanα，再由二倍角的正切求解．
此题主要考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
14.【答案】 6
【解析】解：(1-2x)n的展开式的通项公式为Tr+1=Cnr1n-r(-2x)r=(-2)rCnrxr，
又展开式中x3项的系数为-160，
则(-2)3Cn3=-160，
则Cn3=20，
解得n=6，
故答案为：6.
先求出(1-2x)n的展开式的通项公式为Tr+1=(-2)rCnrxr，再令r=3求解即可．
此题主要考查了二项式展开式的通项公式，重点考查了运算能力，属基础题．
15.【答案】 -45
【解析】解：根据题意，f(x)为R上的奇函数，且f(x)+f(2-x)=0，
f(2-x)=-f(x)=f(-x)，变形可得f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，
则f(2+log25)=f(log25-2)=f(log254)，
f(x)为奇函数且当-1
故答案为：-45.
根据题意，分析函数的周期，由此可得f(2+log25)=f(log25-2)=f(log254)，结合函数的奇偶性和解析式计算可得答案．
此题主要考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
16.【答案】 23
【解析】解：由题意，得z=4x2-xy+y2，
所以zxy=4xy+yx-1⩾24xy-1=3，
当且仅当4xy=yx，即y=2x时取等号，
所以1x(1y-1z)=1xy-1xz=12x2-16x3，
令t=1x，f(t)=12t2-16t3(t>0)，则f'(t)=t(2-t)2，
当0
当t>2时，f'(t)<0，f(t)单调递减，
所以f(t)⩽f(2)=23.
故1x(1y-1z)的最大值为23.
故答案为：23.
由已知结合基本不等式可求出zxy=4xy+yx-1的最值及取得最值时x，y，z的关系，代入到所求式子后进行换元，然后结合导数，求出1x(1y-1z)的最大值．
此题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，还考查了导数与单调性及最值的关系，属于中档题．
17.【答案】解：（1）由题意，40×（0.0005+0.002×2+2a+0.006+0.0065）=1，解得a=0.004．
由频率分布直方图知，观看时长在200分钟以下占比为40×（0.0005+0.002+0.004+0.006+0.0065）=0.76．
观看时长在240分钟以下占比为0.76+40×0.004=0.92．
所以85%分位数位于[200，240）内，85%分位数为200+40×0.85-0.760.92-0.76=222.5．
（2）由题意，观看时长[200，240）、[240，280]对应的频率分别为0.16和0.08，
所以采用分层随机抽样的方式在两个区间中应分别抽取4人和2人．
于是抽取的 3 人中现看时长在[200，240）中的人数 x 的所有可能取值为1，2，3．
所以，P(X=1)=C41⋅C22C63=15，P(X=2)=C42⋅C21C63=35，P(X=3)=C43C63=15．
X的分布列为：
X
1
2
3
P
15
35
15
所以，E(X)=1×15+2×35+3×15=2．
【解析】
(1)由频率直方图的频率和为1列方程求参数a，应用百分数的求法求85％分位数；
(2)利用分层抽样确定[200,240 )、[240,280]中分别抽取的人数，进而可得 X可能取值为1、2、3，并求出对应值的概率即可得分布列，根据分布列求期望即可．
此题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的的运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：（1）设{an}的公差为d，由已知a1+3d=9，3a1+3d=15．
解得a1=3，d=2．所以an=2n+1；
（2）因为ak与ak+1（k=1，2，⋯）之间插入2k个1，
所以ak在{bn}中对应的项数为n=k+21+22+23+⋯+2k-1=k+2-2k1-2=2k+k-2，
当k=6时，2k+k-2=68，
当k=7时，2k+k-2=133，
所以a6=b68，a7=b133，且b69=b70=⋯=b100=1，
因此T100=S6+(2×1+22×1+23×1+⋯+25×1)+32×1=62×(3+13)+2-261-2+32=142．
【解析】
(1)根据等差数列的通项公式，结合等差数列前n项和公式进行求解即可；
(2)根据题意，结合等比数列前n项和公式进行求解即可．
此题主要考查了等差数列的通项公式以及数列的求和问题，属于中档题．
19.【答案】解：（1）∵AB2+BC2+AB•BC=AC2，
∴cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=-AB·BC2AB·BC=-12，
∵0°＜B＜180°，
∴B=120°，
∴S△ABC=12AB•BCsin120°=12×3×1×32=334；
（2）设∠ACB=θ，则∠ACD=120°-θ，∠ADC=30°+θ，∠BAC=60°-θ，
在△ACD中，由ACsin(30∘+θ)=CDsinθ，得AC=sin(30°+θ)sin30∘•CD，
在△ABC中，由ACsin20∘=BCsin(60∘-θ)，得AC=sin120°sin(60∘-θ)•BC，
联立上式，并由CD=3BC，得3•sin(30°+θ)sin30∘=sin120°sin(60∘-θ)，
整理得sin（30°+θ）sin（60°-θ）=14，
∴sin（60°+2θ）=12，
∵0°＜θ＜60°，
∴60°＜60°+2θ＜180°，
∴60°+2θ=150°，
解得θ=45°，
故∠ACB=45°．
【解析】
(1)根据余弦定理即可求出B，再根据三角形的面积公式即可求出；
(2)设∠ACB=θ，则∠ACD=120°-θ，∠ADC=30°+θ，∠BAC=60°-θ，分别根据正弦定理以及CD=3BC，得3⋅sin(30°+θ)sin30∘=sin120°sin(60∘-θ)，再根据三角恒等变化即可求出．
此题主要考查了正弦定理与余弦定理以及三角形的面积，三角恒等变换，考查了运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】（1）证明：因为E为CD的中点，所以AD=DE=2，
所以△ADE为等腰直角三角形，所以∠AED=45°，
同理∠BEC=45°，所以AE⊥BE，
又因为VB⊥AE，且VB∩BE=B，VB⊂平面VBE，BE⊂平面BVE，
所以AE⊥平面VBE，又VE⊂平面VBE，所以AE⊥VE；
（2）解：取BC的中点O，AD的中点G，连接OG、VO，则OG⊥BC，
又△VBC为等边三角形，所以VO⊥BC，
所以∠GOV为二面角A-BC-V的平面角，所以∠GOV=30°，
以OB→、GO→方向分别作为x、y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示：
所以A（1，-4，0），C（-1，0，0），D（-1，-4，0），V（0，-32，32），
DC→=（0，4，0），CV→=（1，-32，32），AV→=（-1，52，32），
设n→=（x，y，z）为平面VCD的一个法向量，则{n→·DC→=0n→·CV→=0，即{4y=0x-32y+32z=0，
令z=2，得x=-3，所以n→=（-3，0，2），
设直线AV与平面VCD所成的角为α，
则sinα=|cos＜AV→，n→＞|=|AV→·n→||AV→|×|n→|=3+0+31+254+34×3+0+4=4214，
所以直线AV与平面VCD所成角的正弦值为4214．
【解析】
(1)先证明AE⊥BE，再由VB⊥AE，证明AE⊥平面VBE，得出AE⊥VE；
(2)取BC的中点O，AD的中点G，得出∠GOV是二面角A-BC-V的平面角，以OB→、GO→方向分别作为x、y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，用坐标表示向量，求出平面VCD的一个法向量，再求直线AV与平面VCD所成角的正弦值．
此题主要考查了线面垂直的证明问题，也考查了线面角的正弦值计算问题，以及空间中线线、线面、面面间的位置关系和运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：（1）由题意知，{e=ca=322a·2b·12=4b2=a2-c2，解得a=2，b=1，
故椭圆C的标准方程为x24+y2=1．
（2）设P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
联立{y=kx+mx24+y2=1，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，
所以x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1，
因为AP⊥AQ，
所以AP→•AQ→=（x1+2，y1）•（x2+2，y2）=x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2
=x1x2+2（x1+x2）+4+（kx1+m）（kx2+m）=（k2+1）x1x2+（km+2）（x1+x2）+4+m2
=（k2+1）•4m2-44k2+1+（km+2）（-8km4k2+1）+4+m2
=12k2+5m2-16km4k2+1=(2k-m)(6k-5m)4k2+1=0，
所以（2k-m）（6k-5m）=0，即m=2k或m=6k5，
所以直线l的方程为y=kx+2k或y=kx+6k5，对应的定点坐标分别为（-2，0），（-65，0），
因为A（-2，0），
所以定点坐标为（-65，0）．
【解析】
(1)根据菱形面积公式，离心率，求出a和b的值，即可；
(2)设出相关点的坐标，联立直线与椭圆方程，再结合韦达定理与数量积为0，推出m=2k或m=6k5，进而得解．
此题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，熟练掌握平面向量数量积的坐标运算，椭圆的几何性质是解答该题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：（1）f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=ax-1-1x=ax2-x-1x（x＞0），
记φ（x）=ax2-x-1．
当a≤0时，φ（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞） 上单调递减．
当a＞0时，令φ（x）=0，得x1=1+1+4a2a，x2=1-1+4a2a （舍去）．
当x∈（0，x1）时，φ（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）单调递减；
当x∈（x1，+∞）时，φ（x）＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）单调递增，
综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在（0，1+1+4a2a）上单调递减，在（1+1+4a2a，+∞）上单调递增．
（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以f（x）≤f（1）=12a-1＜0，
此时|f（x）|min=1-a2，令1-a2≥2，解得a≤-2．
当a＞0时，若φ（1）=a-2≥0，则a≥2，
由（1），设φ（x）=0的正根为x1，则必有x1≤1，且当x∈（1，+∞），φ（x）＞0，即f′（x）＞0，
所以f（x）在[1，+∞）上单调递增，此时f（x）≥f（1）=a2-1≥0，|f（x）|min=a2-1，令a2-1≥2，解得a≥6．
若φ（1）=a-2＜0，即a＜2，则当x∈（1，x1）时，φ（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（x1，+∞）时，φ（x）＞0，f（x）单调递增，
注意到φ（x1）=ax12-x1-1，知f（x）min=f（x1）=12ax12-x1-lnx1=12（x1+1）-x1-lnx1=12（1-x1）-lnx1＜0，
又当x→+∞时，f（x）→+∞，由零点存在定理∃x0∈（x1，+∞），使f（x0）=0，
此时|f（x）|min=0，不满足题意．
综上，a的取值范围是（-∞，-2]∪[6，+∞）．
（3）证明：由（2）知，当a=2时，对x＞1，有f（x）＞f（1）=0，即x2-x＞lnx，
又x＞1时，x2-x＞0，lnx＞0，所以1lnx＞1x2-x，
令x=k（k≥2），得1lnk＞1k2-k=1k(k-1)=1k-1-1k，
所以1ln2＞1-12，1ln3＞12-13，1ln4＞13-14，…，1lnn＞1n-1-1n，
故k=2n1lnk＞（1-12）+（12-13）+（13-14）+…+（1n-1-1n）=1-1n．
即k=2n1lnk＞1-1n．
【解析】
(1)根据导数的性质，结合一元二次方程根的情况分类讨论进行求解即可；
(2)根据(1)的结论，结合函数的单调性和零点存在原理进行求解即可；
(3)根据(2)的结论，构造不等式1lnx>1x2-x，利用裂项相消法进行证明即可．
此题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．
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