2022年山东省德州市高考数学二模试卷

这是一份2022年山东省德州市高考数学二模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年山东省德州市高考数学二模试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x2+x﹣2≤0}，则A∩B＝（　　）
A．{0，1} B．[0，1] C．[﹣2，1] D．{0，1，2}
2．（5分）已知m，n是两条不重合的直线，β是一个平面且n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知i是虚数单位，a，b均为实数，且，则点（a，b）所在的象限为（　　）
A．一 B．二 C．三 D．四
4．（5分）已知a＞0，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（　　）
A．36 B．30 C．15 D．10
5．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y＝cos2x图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
6．（5分）设随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X＜2﹣a）＝0.3，则P（2﹣a＜X＜a）＝（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
7．（5分）已知函数f（x）是偶函数，其导函数f'（x）的图象见下图，且f（x+2）＝f（2﹣x）对x∈R恒成立，则下列说法正确的是（　　）

A． B．
C． D．
8．（5分）双曲线的一条渐近线方程为，F1、F2分别为该双曲线的左、右焦点，M为双曲线上的一点，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．12
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（　　）


A．样本的众数为
B．样本的80%分位数为72
C．样本的平均值为66
D．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人
（多选）10．（5分）已知O为坐标原点，A（，0），B（，），P，则下列结论正确的是（　　）
A．△OAB为等边三角形
B．最小值为
C．满足的点P有两个
D．存在一点P使得
（多选）11．（5分）某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为16π，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠面成，如图②，则下列结论正确的是（　　）

A．直线AD与平面DEF所成的角为
B．经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为
C．异面直线AD与CF所成角的余弦值为
D．球上的点到底面DEF的最大距离为
（多选）12．（5分）若函数f（x）＝lnx+a（x2﹣2x+1）（a∈R）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），则（　　）
A．函数f（x）至少有一个零点
B．a＜0或a＞2
C．
D．f（x1）+f（x2）＞1﹣2ln2
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）设函数，若f（a）＝1，则a＝　 　．
14．（5分）已知角θ的终边过点A（3，y），且sin（π+θ）＝，则tanθ＝　 　．
15．（5分）已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，A（t，1）是抛物线第一象限上的点，|AF|＝5，直线AF与抛物线的另一个交点为B，则S△AOB＝　 　．
16．（5分）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段（，），记为第1次操作；再将剩下的两个区间[0，]，[，1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作...；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为 　 　，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为 　 　.（lg2＝0.30，lg3＝0.47）
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知数列{an}的首项，且满足．
（1）证明是等比数列，并求数列an的通项公式；
（2）记，求{bn}的前n项和Sn．
18．（12分）2021年12月17日，工信部发布的“十四五”促进中小企业发展规划》明确提出建立”百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”、“小巨人”、“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化，新颖化优势的中小企业下表是某地各年新增企业数量的有关数据：
年份（年）
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码（x）
1
2
3
4
5
新增企业数量：（y）
8
17
29
24
42
（1）请根据表中所给的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测2023年此地新增企业的数量；
（2）若在此地进行考察，考察企业中有4个为“专精特新”企业，3个为普通企业，现从这7个企业中随机抽取3个，用X表示抽取的3个为“专精特新”全业个数，求随机变量X的分布列与期望．
参考公式：回归方程中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为，．
19．（12分）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知△ABC中，D为AB边上的一点，且BD＝2AD，_______．
（1）若，求∠BCD大小；
（2）若CD＝CB，求cos∠ACB．
20．（12分）《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．在《九章算术•商功》篇中提到“阳马”这一几何体，是指底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，现有“阳马”P﹣ABCD，底面为边长为2的正方形，侧棱PA⊥面ABCD，PA＝2，E、F为边BC、CD上的点，，，点M为AD的中点．
（1）若，证明：面PBM⊥面PAF；
（2）是否存在实数λ，使二面角P﹣EF﹣A的大小为45°？如果不存在，请说明理由；如果存在，求此时直线BM与面PEF所成角的正弦值．

21．（12分）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，，动点C的轨迹为曲线G．
（1）求曲线G的方程；
（2）设直线l与曲线G交于M、N两点，点D在曲线G上，O是坐标原点，判断四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）＝cos2x+a（x2﹣1），g（x）＝1﹣cosx．
（1）当a＝0时，求f（x）图象在（，f（））处的切线方程；
（2）当a＞1时，求f（x）的极值；
（3）若，f'（x）为函数f（x）的导数，恒成立，求a的取值范围．

2022年山东省德州市高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x2+x﹣2≤0}，则A∩B＝（　　）
A．{0，1} B．[0，1] C．[﹣2，1] D．{0，1，2}
【分析】求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x2+x﹣2≤0}＝{x|﹣2≤x≤1}，
∴A∩B＝{0，1}．
故选：A．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）已知m，n是两条不重合的直线，β是一个平面且n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据线面垂直的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】解：①根据线面垂直的定义，m必须垂直平面β内的两条相交直线，才有m⊥β，即充分性不成立，
②若m⊥β，∵n⊂β，则m⊥n成立，即必要性成立，
故m⊥n是m⊥β的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面垂直的性质和判定定理是解决本题的关键．
3．（5分）已知i是虚数单位，a，b均为实数，且，则点（a，b）所在的象限为（　　）
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】根据已知条件，结合复数相等，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：∵，
∴b+ai＝（3+i）（1﹣i）＝3﹣3i+i+1＝4﹣2i，即b＝4，a＝﹣2，
∴点（﹣2，4）所在的象限为二．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数相等，以及复数的几何意义，属于基础题．
4．（5分）已知a＞0，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（　　）
A．36 B．30 C．15 D．10
【分析】令x＝1，可得所有项的系数和为（1+a）6＝64，求出a的值，再利用二项展开式的通项公式求解．
【解答】解：令x＝1，可得所有项的系数和为（1+a）6＝64，且a＞0，
∴1+a＝2，∴a＝1，
∴二项式为（x+）6，展开式的通项为Tr+1＝x6﹣r＝x6﹣3r，
令6﹣3r＝0得r＝2，即展开式中的常数项为＝15，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，考查了二项展开式的通项，属于基础题．
5．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y＝cos2x图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：因为＝cos（2x+﹣）＝cos2（x﹣），
所以将函数y＝cos2x图象向右平移个单位即可得到函数的图象．
故选：B．
【点评】本题主要考查诱导公式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
6．（5分）设随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X＜2﹣a）＝0.3，则P（2﹣a＜X＜a）＝（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
【分析】根据正态分布的对称性求解即可．
【解答】解：∵（2﹣a）+a＝2，∴x＝2﹣a，x＝a关于x＝1对称，
∴P（2﹣a＜X＜a）＝2P（2﹣a＜X＜1）＝2×[0.5﹣P（X＜2﹣a）]＝0.4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
7．（5分）已知函数f（x）是偶函数，其导函数f'（x）的图象见下图，且f（x+2）＝f（2﹣x）对x∈R恒成立，则下列说法正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由导函数f'（x）的图象判断函数的单调性，结合已知判断函数的对称性，于是可得答案．
【解答】解：由导函数f'（x）的图象可知，
f（x）在（0，2）上单调递增；①
又f（x+2）＝f（2﹣x）对x∈R恒成立，
所以f（）＝f（），②
所以f（x）的图象关于直线x＝2对称，
又函数f（x）是偶函数，所以f（﹣1）＝f（1），③
因为＜1＜，
所以由①②③得：f（）＜f（1）＝f（﹣1）＜f（）＝f（），
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与运算能力，属于中档题．
8．（5分）双曲线的一条渐近线方程为，F1、F2分别为该双曲线的左、右焦点，M为双曲线上的一点，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．12
【分析】分析可知a＝3，且||MF1|﹣|MF2||＝6，要使的值最小，则|MF1|应尽可能大，|MF2|应尽可能小，则点M在双曲线右支上，由此|MF2|＝|MF1|﹣6，再利用基本不等式判断不能取到等号，最后结合|MF2|≥2，得到答案．
【解答】解：∵双曲线的一条渐近线方程为，
∴a＝3，
由双曲线的定义可知，||MF1|﹣|MF2||＝6，
要使的值最小，则|MF1|应尽可能大，|MF2|应尽可能小，
故点M应为双曲线右支上一点，|MF1|﹣|MF2|＝6，则|MF2|＝|MF1|﹣6，
∴，当且仅当|MF1|＝4时等号成立，此时|MF2|＝﹣2＜0，故此时取不到等号，
而|MF2|≥2，故当|MF2|＝2，|MF1|＝8时，取得最小值4，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线性质的运用，同时也考查了基本不等式的运用，考查分析问题解决问题的能力及运算求解能力，属于中档题．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的2分，有选错的得0分.）
（多选）9．（5分）教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（　　）


A．样本的众数为
B．样本的80%分位数为72
C．样本的平均值为66
D．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人
【分析】频率分布直方图中最高矩形的中点值为众数，从而判断选项A；
利用频率分布直方图求80%分位数判断选项B，
利用频率分布直方图求平均数判断选项C，
利用频率分布直方图求低于60公斤的学生的频率，再求频数即可判断选项D．
【解答】解：对于选项A，样本的众数为＝67，故正确；
对于选项B，
∵0.03×5+0.05×5+0.06×5＝0.7＜0.8，
0.03×5+0.05×5+0.06×5+0.04×5＝0.9＞0.8，
∴样本的80%分位数在（70，75]之间，
70+×5＝72，故正确；
对于选项C，
样本的平均值为57.5×0.03×5+62.5×0.05×5+67.5×0.06×5+72.5×0.04×5+77.5×0.02×5＝66.75，
故错误；
对于选项D，
该校男生中低于60公斤的学生大约为2000×0.03×5＝300人，故正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知O为坐标原点，A（，0），B（，），P，则下列结论正确的是（　　）
A．△OAB为等边三角形
B．最小值为
C．满足的点P有两个
D．存在一点P使得
【分析】根据数量积的定义和三角函数的性质，数量积的运算性质以及向量垂直的充要条件、向量的模长公式和夹角公式等逐项判断即可．
【解答】解：对于A，，，||＝，
故△OAB为等边三角形，A正确；
对于B，＝，
当α＝0时，该式取得最小值，该式取最大值，故B错误；
对于C，由，得＝＝＝0，
结合，可知符合，故符合题意的P点只有一个，故C错误；
对于D，由题知＝＝（cosα，sinα），
所以，即，结合，解得，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查平面向量数量积的概念、运算和性质，以及三角函数的性质，属于中档题．
（多选）11．（5分）某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为16π，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠面成，如图②，则下列结论正确的是（　　）

A．直线AD与平面DEF所成的角为
B．经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为
C．异面直线AD与CF所成角的余弦值为
D．球上的点到底面DEF的最大距离为
【分析】根据线面角的定义，正弦定理，异面直线所成角的概念，点面距的转化分别对四个选项的问题求解．
【解答】解：对选项A，∵平面ADE⊥平面DEF，∴AD在平面DEF内的射影为DE，
∴∠ADE＝，即为AD与平面DEF所成的角，∴A选项正确；
对选项B，如右图，分别取DE，EF，DF中点为M、N、P，连AM，BN，CP，
则由题意得AM，BN，CP都和平面DEF垂直，
且AM，BN，CP三线段都为边长为4的等边三角形的高，
∴AM，BN，CP三条线段相互平行且相等，
∴CA平行且等于PM，PM平行且等于＝2，同理AB＝BC＝2，
∴△ABC是边长为2的等边三角形，
∴由正弦定理，得△ABC的外接圆半径r＝，
∴经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为，∴选项B错误；
对选项C，由B选项的解答知CA∥FN，且CA＝FN，∴CF∥AN且CF＝AN，
∴异面直线AD与CF所成角即为∠DAN或其补角，
在△DAN中，易知AD＝4，AN＝CF＝4，DN＝，
设∠DAN＝2θ，则sinθ＝，
∴，∴选项C正确；
对选项D，∵球的表面积为16π，∴球的半径R＝2，
∴球心O到△ABC截面小圆圆心O1的距离，
∴球上的点到底面DEF的最大距离为，∴选项D错误．
故选：AC．

【点评】本题考查线面角的定义，正弦定理，异面直线所成角的概念，空间想象力，化归与转化思想，属中档题．
（多选）12．（5分）若函数f（x）＝lnx+a（x2﹣2x+1）（a∈R）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），则（　　）
A．函数f（x）至少有一个零点
B．a＜0或a＞2
C．
D．f（x1）+f（x2）＞1﹣2ln2
【分析】对于A：当x＝1时，f（1）＝0，即可判断A是否正确；
对于B：求导得f′（x）＝，若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），则2ax2﹣2ax+1＝0有两个不相等的正实数根，f′（x）有两个变号零点，进而可得Δ＞0且，即可解出a的取值范围，进而判断B是否正确；
对于C：由选项B分析可得x1+x2＝1，x1＞0，x2＞0，x1＜x2，x2＝1﹣x1，则1﹣x1＞x1，即可解出答案，进而可判断C是否正确．
对于D：根据题意可得f（x1）+f（x2）＝lnx1x2+a[（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2]，将x1+x2＝1，x1x2＝代入上式，进而可得f（x1）+f（x2）＝a﹣lna﹣ln2﹣1，令h（a）＝a﹣lna﹣ln2﹣1，a＞2，求导分析单调性，推出h（a）＞h（2）＝1﹣2ln2，即可判断D是否正确．
【解答】解：对于A：f（x）＝lnx+a（x2﹣2x+1）＝lnx+a（x﹣1）2，
当x＝1时，f（1）＝ln1+a（1﹣1）2＝0，
所以f（x）至少有一个零点，故A正确；
对于B：f（x）＝lnx+a（x2﹣2x+1），
f′（x）＝+a（2x﹣2）＝+2ax﹣2a＝，
因为f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），
所以2ax2﹣2ax+1＝0有两个不相等的正实数根，
所以f′（x）有两个变号零点，
所以Δ＝（﹣2a）2﹣4×2a×1＝4a2﹣8a＝4a（a﹣2）＞0，
所以a＞2或a＜0，
因为x1＞0，x2＞0，
所以，
所以a＞2，故B错误；
对于C：由选项B分析可得x1+x2＝1，x1＞0，x2＞0，x1＜x2，
所以x2＝1﹣x1，
所以1﹣x1＞x1，
所以2x1＜1，解得0＜x1＜，故C正确；
对于D：f（x1）+f（x2）＝lnx1+a（x12﹣2x1+1）+lnx2+a（x22﹣2x2+1）
＝lnx1x2+a[x12+x22﹣2（x1+x2）+2]＝lnx1x2+a[（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2]，
将x1+x2＝1，x1x2＝代入上式，
f（x1）+f（x2）＝ln+a（1﹣2•﹣2×1+2）＝﹣ln2a+a（1﹣）
＝﹣ln2﹣lna+a﹣1＝a﹣lna﹣ln2﹣1，
令h（a）＝a﹣lna﹣ln2﹣1，a＞2
h′（a）＝1﹣＝＞0，
所以h（a）在（2，+∞）上单调递增，
所以h（a）＞h（2）＝2﹣ln2﹣ln2﹣1＝1﹣2ln2，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）设函数，若f（a）＝1，则a＝　0或e　．
【分析】由题意，利用分段函数，分类讨论求得函数的值．
【解答】解：∵函数，若f（a）＝1，
则当a≤0时，a2+1＝1，∴a＝0．
则当a＞0时，lna＝1，∴a＝e，
故答案为：0或e．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的值，属于基础题．
14．（5分）已知角θ的终边过点A（3，y），且sin（π+θ）＝，则tanθ＝　﹣　．
【分析】由题意利用诱导公式，任意角的三角函数的定义即可求解．
【解答】解：因为角θ的终边过点A（3，y），且sin（π+θ）＝﹣sinθ＝，
所以sinθ＝＝﹣，可得y＝﹣4，
则tanθ＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了诱导公式，任意角的三角函数的定义在三角函数求值中的应用，属于基础题．
15．（5分）已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，A（t，1）是抛物线第一象限上的点，|AF|＝5，直线AF与抛物线的另一个交点为B，则S△AOB＝　40　．
【分析】根据已知求得p，以及A，进而求出直线AF的方程，得到点B的坐标，进而求解结论．
【解答】解：∵抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，A（t，1）是抛物线第一象限上的点，|AF|＝5，
∴1+＝5，可得p＝8，
∴抛物线x2＝16y的焦点为F（0，4），
y＝1代入可得x＝4（﹣4舍去），
∴A（4，1），
∴lAF的方程为：＝，即3x+4y﹣16＝0，
联立，解得或，
即B（﹣16，16），
故|AB|＝＝25，
点O到直线AB的距离为：，
∴S△AOB＝×25×＝40，
故答案为：40．
【点评】本题主要考查抛物线的性质应用，属于基础题．
16．（5分）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段（，），记为第1次操作；再将剩下的两个区间[0，]，[，1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作...；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为 　[，]　，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为 　9　.（lg2＝0.30，lg3＝0.47）
【分析】先根据题意把第n次操作所去掉的长度和求出来，然后再求和即可得到前n次操作所去掉的长度，再建立不等式即可求出n的最小值．
【解答】解：第一次操作去掉了区间长度的，剩下的区间：，，
第二次去掉2个长度为的区间，即长度和为，剩下的区间：，，，，
第三次去掉4个长度为的区间，即长度和为，剩下的区间：，，，，⋯．
以此类推，
第n次将去掉2n﹣1个长度为的区间，即长度和为，
则{an}的前n项和可表示为：
，
由题意知，，，
两边同时取对数，即n（lg2﹣lg3）≤﹣3lg3，
解得：n≥8.13，∴n＝9，
故答案为：；9．
【点评】本题主要考查函数模型及其应用，数学史中的数学文化试题等知识，属于中等题．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知数列{an}的首项，且满足．
（1）证明是等比数列，并求数列an的通项公式；
（2）记，求{bn}的前n项和Sn．
【分析】（1）对于两边取倒数，可推得，结合等比数列的通项公式，求得答案；
（2）由（1）求得的表达式，利用错位相减法，即可求得答案．
【解答】证明：（1），
所以，
即是等比数列，
则的首项为，公比为3，
所以，
所以；
解：（2），
所以①，
②，
①﹣②得，
所以．
【点评】本题考查了等比数列的证明和错位相减求和，属于中档题．
18．（12分）2021年12月17日，工信部发布的“十四五”促进中小企业发展规划》明确提出建立”百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”、“小巨人”、“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化，新颖化优势的中小企业下表是某地各年新增企业数量的有关数据：
年份（年）
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码（x）
1
2
3
4
5
新增企业数量：（y）
8
17
29
24
42
（1）请根据表中所给的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测2023年此地新增企业的数量；
（2）若在此地进行考察，考察企业中有4个为“专精特新”企业，3个为普通企业，现从这7个企业中随机抽取3个，用X表示抽取的3个为“专精特新”全业个数，求随机变量X的分布列与期望．
参考公式：回归方程中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为，．
【分析】（1）求得x，y的平均值，根据最小二乘法估计公式求得回归方程的系数，即可求得答案，将x＝7代入回归直线方程，即可预测2023年此地新增企业的数量；
（2）由题意可得X可能取值为0，1，2，3，根据超几何分布的概率计算求得X的分布列，进而求得期望．
【解答】解：（1），，
＝75，
，
所以，，
所以，
2023年，即当x＝7时，由线性回归方程可得，
所以估计2023年此地新增企业的数量的为54家；
（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，
因为，，，，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




所以．
【点评】本题考查了线性回归方程和离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
19．（12分）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知△ABC中，D为AB边上的一点，且BD＝2AD，_______．
（1）若，求∠BCD大小；
（2）若CD＝CB，求cos∠ACB．
【分析】选条件①②③均可得，（1）设腰长AC＝BC＝x，则，可得CD的长，可得CD2+BC2＝BD2，可得结论；（2）取BD的中点E，连接CE，设AC＝2t，由余弦定理cos∠ACB＝可求值．
【解答】解：若选①：
因为asinC＝csinA，所以2c＝asinC+ccosA＝csinA+csinA，
所以，所以，
所以，因为0＜A＜π，所以，
所以，
若选②：
因为，
所以，所以，
因为0＜A＜π，所以，
若选③：
因为ccosB+bcosC＝a，
所以，
所以，因为0＜A＜π，
所以，
（1）若，△ABC为等腰三角形，且，
设腰长AC＝BC＝x，则，
所以，
由余弦定理CD2＝BC2+BD2﹣2BC⋅BDcosB＝x2+x2﹣2x2＝x2，
所以CD2+BC2＝BD2，
所以CD⊥BC
所以∠BCD＝90°，
（2）取BD的中点E，连接CE，由CB＝CD得CE⊥AB，
设AC＝2t，在Rt△ACE中，，

，，
AE＝＝t，AB＝AE+BE＝t，
由余弦定理得．

【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20．（12分）《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．在《九章算术•商功》篇中提到“阳马”这一几何体，是指底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，现有“阳马”P﹣ABCD，底面为边长为2的正方形，侧棱PA⊥面ABCD，PA＝2，E、F为边BC、CD上的点，，，点M为AD的中点．
（1）若，证明：面PBM⊥面PAF；
（2）是否存在实数λ，使二面角P﹣EF﹣A的大小为45°？如果不存在，请说明理由；如果存在，求此时直线BM与面PEF所成角的正弦值．

【分析】（1）证明面面垂直即证BM⊥面PAF线面垂直，证明线面垂直即证BM⊥AF、PA⊥BM线线垂直；
（2）首先利用二面角PEFA的大小为45°，求出CF、CE的长，然后建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后再求其线面角．
【解答】（1）证明：时，点E、F为BC及CD的中点．
连接AF与BM交于点G，

在△ABM和△DAF中，AB＝ADAM＝DF∠BAM＝∠ADF＝90°，
所以△ABM≅△DAF，于是∠ABM＝∠FAD．
而∠FAD+∠BAF＝90°，
所以∠ABM+∠BAF＝90°，
故∠AGB＝90°，即BM⊥AF．
又PA⊥面ABCD，BM⊂面ABCD，
所以PA⊥BM．
因为BM⊥PA，BM⊥AF，PA⊂面PAF，AF⊂面PAF，PA∩AF＝A，
所以BM⊥面PAF．
又因为BM⊂面PBM，所以面PBM⊥面PAF．
（2）解：连接AC，交EF于点Q，连接PQ，记BD与AC交于点O，如图：

因为，，
所以EF∥BD，
因为AC⊥BD，
所以AC⊥EF，从而PQ⊥EF，
所以∠AQP为二面角PEFA的一个平面角．
由题意，∠AQP＝45°，从而AQ＝PA＝2，
所以，
于是，
所以，．
如图，以AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴建立空间直角坐标系，
于是P（0，0，2），，，B（2，0，0），M（0，1，0），
，，，
设面PEF的一个法向量是，
由，
取x＝1，则y＝1，，则．
所以直线BM与面PEF所成角为θ，
则＝．


【点评】本题主要考查线面垂直的证明，空间想象能力的培养，二面角的相关计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．
21．（12分）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，，动点C的轨迹为曲线G．
（1）求曲线G的方程；
（2）设直线l与曲线G交于M、N两点，点D在曲线G上，O是坐标原点，判断四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）由题意得|CA|+|CB|＝2|CP|+|AB|＝4＞|AB|，根据椭圆的定义，即可得a，c的值，根据a，b，c的关系，可得b值，即可得答案．
（2）由题意得直线l的斜率存在，设直线l方程是y＝kx+m，与椭圆联立，根据韦达定理，可得x1+x2，x1x2表达式，代入弦长公式，可得|MN|表达式，再求得O到直线MN的距离d，根据题意，求得D点坐标，代入椭圆，可得k、m的关系，求得以OMDN的面积为S的表达式，整理计算，即可得答案．
【解答】解：（1）因为圆E为△ABC的内切圆，
所以|CA|+|CB|＝|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|＝2|CP|+|AR|+|BR|＝2|CP|+|AB|＝4＞|AB|，
所以点C的轨迹为以点A和点B为焦点的椭圆，
所以，a＝2，则b＝1，
所以曲线G的方程为．
（2）由y≠0可知直线l的斜率存在，设直线l方程是y＝kx+m，
由平面图形OMDN是四边形，可知m≠0，代入到，
得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
所以Δ＝16（4k2+1﹣m2）＞0，，．
所以，
所以，
又点O到直线MN的距离，
由，得，，
因为点D在曲线G上，所以将D点坐标代入椭圆方程得1+4k2＝4m2．
由题意四边形OMDN为平行四边形，
所以OMDN的面积为，
由1+4k2＝4m2，代入得，
故四边形OMDN的面积是定值，其定值为．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的定点定值问题等知识，属于中等题．
22．（12分）已知函数f（x）＝cos2x+a（x2﹣1），g（x）＝1﹣cosx．
（1）当a＝0时，求f（x）图象在（，f（））处的切线方程；
（2）当a＞1时，求f（x）的极值；
（3）若，f'（x）为函数f（x）的导数，恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）代入a的值，求出f（x）的解析式，计算f（），f′（）的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）的极值即可；
（3）问题转化为在sinx＞0恒成立，设，，求出函数的导数，根据函数的单调性求出h（x）的最大值，求出a的取值范围即可．
【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝cos2x，f'（x）＝﹣2cosxsinx＝﹣sin22x，
，，
所以，
整理得；
（2）因为f'（x）＝﹣2cosxsinx+2ax＝﹣sin2x+2ax，f''（x）＝﹣2cos2x+2a＝2（a﹣cos2x），
当a＞1时，f''（x）≥0恒成立，
所以f'（x）＝﹣sin2x+2ax单调递增，且f'（0）＝0，
则在（﹣∞，0）上f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
则在（0，+∞）上f'（x）＞0），f（x）在（0，+∞）上单调递增，
f（0）＝1﹣a，
故函数f（x）的极小值为1﹣a，无极大值；
（3）已知f'（x）＝sin2x+2a，，
由，
即﹣sinx+ax≥1﹣cosx+1﹣cosx在恒成立，
在sinx＞0恒成立，
设，，
h′（x）＝，
设m（x）＝x（cosx+sinx）﹣（sinx+1﹣cosx）m'（x）
＝cosx+sinx﹣xsinx+xcosx﹣cosx﹣sinx＝x（cosx﹣sinx），
由可得cosx＜0，sinx＞0，
所以m'（x）＝x（cosx﹣sinx）＜0，
则m（x）在x∈（，π）上单调递减，可得，
所以，h（x）在（，π）上单调递减，，
则a的取值范围是．
【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是中档题．
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