2022-2023学年湖北省武汉市江岸区解放中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市江岸区解放中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列事件是必然事件的是(    )

A. 内错角相等
B. 从一副扑克中任意抽出一张是方块
C. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
D. 明天一定是晴天

3.  下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，线段两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心，在第三象限内将线段缩小为原来的后，得到线段，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.  
D.

6.  某医院从检验科的名医生女男中随机选取两名医生应对突发需要，恰选中一男一女两名医生的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，两地相距米，甲步行沿一条笔直的公路从地出发到地，乙骑自行车比甲晚分钟从地出发，沿同一条公路到达地后立刻以原速度返回，并与甲同时到达地、甲、乙离地的距离米与甲行走时间分的函数图象如图所示，则甲出发后两人第一次相遇所需的时间是(    )

A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟

9.  如图，点、、在圆上，，直线，，点在上若圆的半径为，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根所在的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  化简的结果是______ ．

12.  下面是医护人员对一辆过往班车的名乘客测体温的数据：这组数据的中位数是______ ．

13.  计算的结果是______．

14.  如图，在坡度为：的山坡上种树，要求株距相邻两树间的水平距离是米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是______ 米结果保留根号．

15.  已知抛物线是常数，顶点为且，下列四个结论：若，则；方程的必有一根；若，；点和点是抛物线上两点，且，若，则；其中正确的序号是______ ．

16.  如图，在中，为上一点，连接，，，，则的面积为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组请按下列步骤完成解答：

解不等式，得______ ；
解不等式，得______ ：
将不等式和的解集在数轴上表示出来；
原不等式组的解集为______ ．

18.  本小题分
如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接若．
求证：．
若，平分，求的度数．

19.  本小题分
麦当劳公司为扩大规模，占领市场，决定最新推出种套餐，下面是该公司市场调研人员来到某校就，，，四种套餐在学生心中的喜爱程度进行的调查，询问了一部分同学，结果统计如图：

请根据图表信息，解答下列问题：
该公司一共询问了同学______ 名，套餐所在扇形的圆心角的大小是______ ；
通过计算把条形统计图补充完整；
已知该校有人，估计全校最喜爱种套餐的人数是多少？

20.  本小题分
如图，在中，，过延长线上的点作，交的延长线于点，以为圆心，长为半径的圆过点．
求证：直线与相切；
若的半径为，，求的长．

21.  本小题分
在的网格中建立如图的平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图．
在图中边上找点，使平分；
在图中在边上找点、，使；
在图中边上找到点，使得．

 

22.  本小题分
某网店试营销一种新型商品，进价为元件，试营销期为天，销售价元件与销售天数天满足；当时，；当时，在试营销期内，销售量．
当时，；当时，，求，的值；
当时，销售第几天时，该网店的销售利润元最大；
在实际销售的前天中，政府决定每销售一件商品就给公司补贴元，公司通过销售记录发现，前天中，每天获得补贴后的日销售利润随时间天的增大而增大，求的取值范围．

23.  本小题分
如图，已知，为边上一动点，，为边上一动点，，交于点．
【问题提出】三角形的三条中线会相交于一点，这一点就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性质，请大家探究以下问题：
若，则 ______ 直接写出结果；
【问题探究】若，猜想与存在怎样的数量关系？并证明你的结论．
【问题拓展】若：，，则 ______ 直接写出结果

24.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于，两点点在点的左边，与轴交于点．
如图，若，则的值为______ 直接写出结果；
如图，在的条件下，点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，若以为边，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；
如图，过点作直线的平行线交抛物线于另一点，交轴于点，若：：，求．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，故C符合题意，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、内错角相等，是随机事件，不符合题意；
B、从一副扑克中任意抽出一张是方块，是随机事件，不符合题意；
C、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意；
D、明天一定是晴天，是随机事件，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】解：、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是对同底数幂的除法的法则的掌握．
利用同底数幂的除法的法则对式子进行求解即可．
【解答】
解：

，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心，在第三象限内将线段缩小为原来的后得到线段，
端点的横坐标和纵坐标都变为点的的相反数，
点的坐标为：．
故选：．
利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出点坐标．
此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：列树状图如下：

选取两名医生一共有种等可能的情况，其中恰选中一男一女两名医生的有种情况，
选中一男一女两名医生的概率是．
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中选派的两名医生是一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了反比例函数的性质．根据反比例函数性质，反比例函数的图象分布在第二、四象限，则最小，最大．
【解答】
解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，
在每一象限中，随的增大而增大，
而，
．
即．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
甲步行的速度为：米分，
乙的速度为：米分，
设甲出发后两人第一次相遇所需的时间是分钟，
，
解得，
即甲出发后两人第一次相遇所需的时间是分钟，
故选：．
根据题意和图象中的数据，可以计算出甲、乙的速度，然后即可列出相应的方程，求解即可．
本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，作于，
则，

，，
，
，
，
，
，，
，
扇形的面积为：，
，
阴影部分的面积为：．
故选：．
根据阴影部分的面积扇形的面积的面积，可求解．
本题考查扇形面积的计算，垂径定理，关键是掌握切线的判定方法，弓形面积的表示方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：方程，
，
它的根可视为和的交点的横坐标，

当时，，，在交点的左边，
当时，，，在交点的右边，
，
故选：．
所给方程不是常见的方程，两边都除以可转化为二次函数和反比例函数，画出相应函数图象即可得到实根所在的范围．
本题主要考查函数图象交点的问题，注意方程与函数的转化．解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为
根据二次根式的性质解答．
解答此题，要弄清以下问题：
定义：一般地，形如的代数式叫做二次根式．当时，表示的算术平方根；
性质：．
 

12.【答案】 

【解析】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是．
故答案为：．
求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式


．
故答案为：
异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，然后再加减．
此题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，
中，，，，
．
根据勾股定理，得：．
即斜坡上相邻两树间的坡面距离是米．
在由每两棵树构建的直角三角形中，已知了水平宽为米，根据坡度可求出坡面的铅直高度，进而可根据勾股定理求得坡面长，即相邻两树间的坡面距离．
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理的运用能力．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线是常数的顶点为且，
抛物线的对称轴为直线，图象与轴交于点，
若，则抛物线开口向下，交轴的正半轴，
，，，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，图象与轴交于点，
抛物线与轴的另一个交点为，
方程的必有一根，故正确；
抛物线是常数的顶点为且，
抛物线经过点，
，
抛物线开口向上，，
，
，
，
，
，
，
，故错误；
当，，
，
，
，
，
抛物线开口向下，对称轴为，
，
当时，
，
，
，
抛物线开口向下，对称轴为，
，
正确．
故答案为：．
根据二次函数的图象和性质判断即可
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数系数对图象和性质的作用是求解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：以点为圆心，为半径作，延长、交于点、，连接、、，作于点，交于点，
，
，
，，
≌，
，
，
，
∽，
，即，
，
，，
，
是直径，
，
∽，
，
，
，
，，，
≌，
，
的面积为，
故答案为：．
以点为圆心，为半径作，交于点，延长、交于点、，连接、、，作于点，交于点，证明≌，推出，再推出∽，求得，证明∽，求得，证明≌，求得，根据三角形的面积公式即可求解．
本题考查了辅助圆，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

17.【答案】     

【解析】解：解不等式，得；
解不等式，得：
如图，

原不等式组的解集为．
故答案为：，，．
先分别解两个不等式得到和，再利用数轴表示其解集，然后利用大小小大中间找写出不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
．
，
，
平分，
，
，
，
，
． 

【解析】因为，可知，再根据，可知，进而可证明．
由可知，再根据平分可求，再由三角形外角的性质可求．
本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质和三角形外角的性质进行角的转化和计算．
 

19.【答案】   

【解析】解：该公司一共询问了同学名，
套餐所在扇形的圆心角的大小是：．
故答案为：；；
欢种套餐的人数为名，
补全条形统计图如图所示；

名，
答：估计全校最喜爱种套餐的人数大约是名．
由喜欢种套餐式的人数除以其所占的百分比即可求出样本容量；用乘套餐所占百分比可得套餐所在扇形的圆心角度数；
先由总人数减去喜欢、、三种套餐的人数和求得喜欢喜爱套餐的人数，进而补全条形统计图即可；
由该校总人数乘以喜爱套餐的百分比即可求解．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

20.【答案】证明：连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
是半径，
直线与相切；
解：设，
，，
，
可以假设，，
，
，
解得负根已经舍去，
，
，
，
，
解得，
． 

【解析】连接，由等腰三角形的性质得出，，证出，得出，即可得出结论；
由勾股定理得出，得出，再由三角函数定义即可得出结果．
本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握切线的判定方法和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：由勾股定理得，，
在上取点，使，连接，取的中点，连接并延长，交于点，
如图，点即为所求．
，
点，为线段的三等分点．
如图，点，即为所求．
由图可知，，
取格点，连接，使且，
再取格点，，使：：，连接，交于点，
：：：，
即：：：，
连接，与的交点即为点，
此时．
如图，点即为所求．
 

【解析】在上取点，使，连接，取的中点，连接并延长，交于点，则点即为所求．
利用网格，取线段的三等分点即可．
易知，取格点，连接，使且，再取格点，，使：：，连接，交于点，则：：，即：：，连接，与的交点即为点．
本题考查作图复杂作图、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题．
 

22.【答案】解：当时，，
当时，，
，
解得；
当时，，
当时，．
，
解得；
当时，，
，
，
随着的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为元，
当时，销售第天时，该网店的销售利润最大；
当时，，
则


，
对称轴为直线，
前天中，每天获得补贴后的日销售利润随时间天的增大而增大，
，
，
的取值范围． 

【解析】根据两个的数值分别代入两个函数求得数值即可；
当时，利用销售利润销售量每一件的销售利润列出函数解析式，由函数的性质求最值；
当时，利用销售利润销售量每一件的销售利润列出函数解析式，再根据前天中，每天获得补贴后的日销售利润随时间天的增大而增大得出对称轴，求出的取值范围．
此题考查二次函数与反比例函数的实际运用，注意函数的取值范围是解决问题的关键．
 

23.【答案】  

【解析】解：如图，连接，

，，，
，，
点、分别是、的中点，
是的中位线，
，，
，，
∽，
，
故答案为：．
过点作，交的延长线于点，

，
，
，
，，
∽，，
又，
，
，
又，，
∽，
；
过点作于点，于点，

，，
，，
是的中线，
设，，，
由可知，
，
，
．
；
，
又，
，
，
．
故答案为：．
连接，根据，，，可得是的中位线，从而可证∽，即可得到，即可求出结果；
过点作，交的延长线于点，根据可得，证明∽，可得，从而可得，再证明∽，即可求出结果；
过点作，，根据，，可得是的中线，，由可知，设，，，分别表示出 ，，即可求解．
本题考查了中位线的性质和判定、三角形相似的性质和判定和平行线的性质及中线的性质，准确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：当时，，
由一元二次方程根与系数关系得：
，
又，即，
联立，解得：，，
，
，
故答案为：．

由得抛物线解析式为．
当时，
解得，，
，，
，．
抛物线对称轴为直线，
设点坐标为，
由平行四边形性质可知，
当、为平行四边形对角线时，点坐标为，
代入，
解得，则点坐标为，
当、为为平行四边形对角线时，点坐标为，
代入，
解得，则坐标为，
综上点坐标为，；

设点坐标为，
：：，
则，，
，
∽，
，
，
，
由一元二次方程根与系数关系，
，
，
将点，代入，
，
解得或舍去，
则．
利用一元二次方程根与系数关系，，再根据已知，构造方程组求即可；
求出、坐标，设出点坐标，利用平行四边形对角线互相平分性质，分类讨论点坐标，分别代入抛物线解析式，求出点坐标；
设出点坐标，利用相似表示，再由一元二次方程根与系数关系表示，得到点坐标，进而找到与关系，代入抛物线求、即可．
本题主要考查的是二次函数的综合题，掌握二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质，是解答本题的关键．