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2020-2021学年湖北省武汉市江岸区七一华源中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
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这是一份2020-2021学年湖北省武汉市江岸区七一华源中学九年级（下）月考数学试卷（3月份），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省武汉市江岸区七一华源中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
2．（3分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x≥1 D．x＞﹣1
3．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球
B．三角形的内角和为180°
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
4．（3分）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
5．（3分）下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若一次性摸出两个球，则一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，则下列结论中正确的有（ ）
（1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元；
（2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元；
（3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多；
（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）如图，在⊙O中AB为直径，C为弧AB的中点，EF∥AB，连接AC交EF于点D，若已知DF＝2DE，则CD：AD的值为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．1：2 D．1：4
10．（3分）如图①，△ABC中，P1、Q1分别是A1B1、A1C1上点，P1Q1∥B1C1，且平分△A1B1C1的面积；如图②，P1Q1∥P2Q2∥B2C2，且将△A2B2C2面积三等分；如图③，P1Q1∥P2Q2∥P3Q3∥B3C3，且将△A3B3C3面积四等分，…如此继续下去，在△A9B9C9中，的值为（ ）
A．3+2 B．3﹣2 C．+3 D．﹣3
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：的结果是 ．
12．（3分）某小组组长统计了该组10名同学每周在家帮助做家务的平均时间（单位：时），并制成了以下表格：则这10名同学在家做家务的平均时间的中位数是 ．
平均做家务时间（时）
0.5
1
1.5
2
2.5
人数
3
3
2
1
1
13．（3分）计算：＝ ．
14．（3分）如图，将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE．若∠D＝70°，则∠AEF＝ ．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为，与x轴负半轴交点在（﹣4，0）与（﹣3，0）之间，以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0．其中一定正确的（序号）是 ．
16．（3分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为 ．
三、解答题（本题共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：（﹣2x2）3+4x2•x4+5x9÷x3．
18．（8分）如图，AB∥CD，∠ADC＝∠ABC．求证：∠E＝∠F．
19．（8分）某区对即将参加中考的5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分，请根据图表信息回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ．
（2）在频数分布表中，a＝ ，b＝ ，并将频数分布直方图补充完整；
（3）若视力在4.6以上（含4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？
视力
频数（人）
频率
4.0≤x＜4.3
20
0.1
4.3≤x＜4.6
40
0.2
4.6≤x＜4.9
70
0.35
4.9≤x＜5.2
a
0.3
5.2≤x＜5.5
10
b
20．（8分）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上．
（1）在图1中，PC：PB＝ ．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图2，在AB上找点P，使得AP：PB＝1：3；
②如图3，在△ABC中内找一点G，连接GA、GB、GC，将△ABC分成面积相等的三部分；
③如图4，在△ABC中，AB与网格线的交点为D，在AC上找点E，使DE⊥AC．
21．（8分）直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB与⊙O交于点P，A为圆上一点，AP的延长线交直线l于点C，且AB＝BC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长．
22．（10分）三月是柑橘大量上市的季节，某果农在销售时发现：柑橘若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设柑橘售价为x元/千克（x≥5，且x为正整数）．
（1）若某日销售量为24千克，则该日柑橘的单价为 元；
（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克，设每日销售额为W元，求W关于x的函数表达式，并求W的最大值和最小值；
（3）为更好地促进果农的种植积极性，市政府加大对果农的补贴，每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直接写出所有符合题意的a的值： ．
23．（10分）【问题背景】如图1，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，求证：BA2＝BD•BC；
【尝试应用】如图2，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，点E在边AB上，点G在AB的延长线上，延长ED交CG于点F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的长度；
【拓展创新】如图3，在△ABC中，点D在边BC上（AB≠AD）且满足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足为H，若，请直接写出的值 ．
24．（12分）如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC、BC，D为抛物线上一动点（D在B、C两点之间），OD交BC于E点．
（1）若△ABC的面积为8，求m的值；
（2）在（1）的条件下，求的最大值；
（3）如图2，直线y＝kx+b与抛物线交于M、N两点（M不与A重合，M在N左边），连MA，作NH⊥x轴于H，过点H作HP∥MA交y轴于点P，PH交MN于点Q，求点Q的横坐标．
2020-2021学年湖北省武汉市江岸区七一华源中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（3分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x≥1 D．x＞﹣1
【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的取值范围．
【解答】解：若分式在实数范围内有意义，则x+1≠0，
解得：x≠﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
3．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球
B．三角形的内角和为180°
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
【分析】一定会发生的事情称为必然事件．依据定义即可解答．
【解答】解：A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球是不可能事件；
B．三角形的内角和为180°是必然事件；
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件；
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件；
故选：B．
【点评】本题主要考查随机事件，关键是理解必然事件为一定会发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
4．（3分）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
【分析】根据中心对称图形的概念解答．
【解答】解：在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，
这个正方形应该添加区域②处，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．
5．（3分）下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据位似图形的概念判断即可．
【解答】解：A、图中两个图形符合位似图形的定义，是位似图形，不符合题意；
B、图中两个图形符合位似图形的定义，是位似图形，不符合题意；
C、图中两个图形符合位似图形的定义，是位似图形，不符合题意；
D、图中两个图形对应边不平行，不符合位似图形的定义，不是位似图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是位似图形的定义，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．
6．（3分）程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由大小和尚共100人，可得出方程x+y＝100，由“大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，且正好分完100个馒头”，可得出方程3x+y＝100，联立两方程即可得出结论．
【解答】解：依题意得：．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若一次性摸出两个球，则一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出一次性取出的两个小球标号的和不小于4的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中一次性取出的两个小球标号的和不小于4的结果数为5，
所以一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率＝．
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
8．（3分）如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，则下列结论中正确的有（ ）
（1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元；
（2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元；
（3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多；
（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图象知道：在通话170分钟收费一样，在通话120时A收费30元，B收费50元，其中A超过120分钟后每分钟加收0.4元，B超过200分钟加收每分钟0.4元，由此即可确定有几个正确．
【解答】解：依题意得
A：（1）当0≤x≤120，yA＝30，
（2）当x＞120，yA＝30+（x﹣120）×[（50﹣30）÷（170﹣120）]＝0.4x﹣18；
B：（1）当0≤x＜200，yB＝50，
当x＞200，yB＝50+[（70﹣50）÷（250﹣200）]（x﹣200）＝0.4x﹣30，
所以当x≤120时，A方案比B方案便宜20元，故（1）正确；
当x≥200时，B方案比A方案便宜12元，故（2）正确；
当y＝60时，A：60＝0.4x﹣18，∴x＝195，
B：60＝0.4x﹣30，∴x＝225，故（3）正确；
当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，
将yA＝40或60代入，得x＝145分或195分，故（4）错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了函数图象和性质，解题的关键是从图象中找出隐含的信息解决问题．
9．（3分）如图，在⊙O中AB为直径，C为弧AB的中点，EF∥AB，连接AC交EF于点D，若已知DF＝2DE，则CD：AD的值为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．1：2 D．1：4
【分析】连接CO交EF于H，连接AE，CF，BC，设DE＝x，DF＝2x，可得EF＝3x，由等腰直角三角形的性质可得CD的长，利用有两个角相等的三角形相似判定△ADE∽△FDC，从而可得比例式，用含x的式子表示出AD，计算CD：AD即可得出答案．
【解答】解：如图，连接CO交EF于H，连接AE，CF，BC，
∵DF＝2DE，
∴设DE＝x，DF＝2x，
∴EF＝3x，
∵C为弧AB的中点，
∴OC⊥AB，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵EF∥AB，
∴OC⊥EF，∠CDH＝45°，
∴EH＝HF＝x，
∴DH＝x＝CH，
∴CD＝x，
∵∠EAD＝∠CFD，∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△FDC，
∴，
∴，
∴AD＝2x，
∴CD：AD＝1：4．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形的判定与性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
10．（3分）如图①，△ABC中，P1、Q1分别是A1B1、A1C1上点，P1Q1∥B1C1，且平分△A1B1C1的面积；如图②，P1Q1∥P2Q2∥B2C2，且将△A2B2C2面积三等分；如图③，P1Q1∥P2Q2∥P3Q3∥B3C3，且将△A3B3C3面积四等分，…如此继续下去，在△A9B9C9中，的值为（ ）
A．3+2 B．3﹣2 C．+3 D．﹣3
【分析】由相似三角形的性质可求A9P1＝A9B9，A9P9＝A9B9，即可求解．
【解答】解：∵P1Q1∥P9Q9∥B9C9，
∴△A9P1Q1∽△A9B9C9，△A9P9Q9∽△A9B9C9，
∴＝＝（）2，＝＝（）2，
∴A9P1＝A9B9，A9P9＝A9B9，
∴B9P9＝A9B9，
∴＝3+，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：的结果是 ﹣2 ．
【分析】直接利用立方根定义计算即可．
【解答】解：的结果是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了立方根的定义，注意：负数的立方根还是负数．
12．（3分）某小组组长统计了该组10名同学每周在家帮助做家务的平均时间（单位：时），并制成了以下表格：则这10名同学在家做家务的平均时间的中位数是 1时 ．
平均做家务时间（时）
0.5
1
1.5
2
2.5
人数
3
3
2
1
1
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：这10名同学在家做家务的平均时间的中位数是＝1（时），
故答案为：1时．
【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13．（3分）计算：＝ ﹣2 ．
【分析】先变形，再根据分式的加减法则求出即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了分式的加减，能灵活运用运算法则进行化简是解此题的关键．
14．（3分）如图，将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE．若∠D＝70°，则∠AEF＝ 30° ．
【分析】由菱形的性质可得∠B＝70°，∠A＝110°，由折叠的性质可得∠B＝∠EFC＝70°，CF＝CD，由平角的性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝70°，
∴∠B＝70°，∠A＝110°，
∵将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，
∴∠B＝∠EFC＝70°，CF＝CD，
∴∠CFD＝∠D＝70°，
∴∠AFE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了翻折变换，菱形的性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为，与x轴负半轴交点在（﹣4，0）与（﹣3，0）之间，以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0．其中一定正确的（序号）是 ①②③ ．
【分析】根据对称轴即可判断①；根据抛物线与x轴的交点即可判断②；根据x＝﹣3和x＝﹣1时的函数值即可判断③；由图象可知，x＝1时y＜0，且b＝3a，即可得到a+b+c＝b+b+c＝b+c＜0，即可判断④．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∴3a﹣b＝0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以②正确；
由图象可知，当x＝﹣3时y＝9a﹣3b+c＞0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴10a﹣4b+2c＞0，
∴5a﹣2b+c＞0，所以③正确；
由图象可知，x＝1时y＜0，且b＝3a，
即a+b+c＝b+b+c＝b+c＜0，
即4b+3c＜0，故④错误；
故答案为①②③．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
16．（3分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为 6 ．
【分析】由折叠可知点P在以M为圆心，BM为半径的圆上，以B点为原点，BA所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，通过计算得出，再根据PA+2PC＝2（）＝2（PC+PE）≥2CE即可得到答案．
【解答】解：∵B、P关于MN对称，BM＝2，
∴PM＝2，
如图所示，则点P在以M为圆心，BM为半径的圆上，
在线段MA上取一个点E，使得ME＝1，
又∵MA＝6﹣2＝4，MP＝2，
∴，
，
∴，
又∵∠EMP＝∠PMA，
∴△EMP∽△PMA，
∴，
∴，
∴PA+2PC＝2（）＝2（PC+PE）≥2CE，
如图所示，当且仅当P、C、E三点共线时取得最小值2CE，
∵CE＝，
∴PA+2PC的最小值为6．
【点评】本题考查了最短路径问题，通过转化思想把转化为PE是解决此题的关键．
三、解答题（本题共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：（﹣2x2）3+4x2•x4+5x9÷x3．
【分析】先计算单项式乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝﹣8x6+4x6+5x6
＝x6．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序及相关运算法则．
18．（8分）如图，AB∥CD，∠ADC＝∠ABC．求证：∠E＝∠F．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABC＝∠DCF，再利用已知得出∠E＝∠F．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCF．
又∵∠ADC＝∠ABC
∴∠ADC＝∠DCF．
∴DE∥BF．
∴∠E＝∠F．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出∠ADC＝∠DCF是解题关键．
19．（8分）某区对即将参加中考的5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分，请根据图表信息回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 200 ．
（2）在频数分布表中，a＝ 60 ，b＝ 0.05 ，并将频数分布直方图补充完整；
（3）若视力在4.6以上（含4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？
视力
频数（人）
频率
4.0≤x＜4.3
20
0.1
4.3≤x＜4.6
40
0.2
4.6≤x＜4.9
70
0.35
4.9≤x＜5.2
a
0.3
5.2≤x＜5.5
10
b
【分析】（1）用第1组的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；
（2）用样本容量乘以0.3得到a的值，用10除以10得到b的值；
（3）用样本值后面三组的频率和乘以5000可估计全区初中毕业生中视力正常的学生数．
【解答】解：（1）20÷0.1＝200（人），
所以本次调查的样本为200名初中毕业生的视力情况，样本容量为200；
故答案为：200．
（2）a＝200×0.3＝60，b＝10÷200＝0.05；
补全图形如下：
故答案为：60，0.05；
（3）5000×（0.35+0.3+0.05）＝3500（人），
答：估计全区初中毕业生中视力正常的学生有3500人．
【点评】本题考查了频数（率）分布直方图：频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×频数组距＝频率．从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．也考查了用样本估计总体．
20．（8分）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上．
（1）在图1中，PC：PB＝ 1：2 ．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图2，在AB上找点P，使得AP：PB＝1：3；
②如图3，在△ABC中内找一点G，连接GA、GB、GC，将△ABC分成面积相等的三部分；
③如图4，在△ABC中，AB与网格线的交点为D，在AC上找点E，使DE⊥AC．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）①取格点M，N，连接MN交AB于点P，点P即为所求作．
②取格点T，K，连接TK交网格线于点G，连接AG，BG，CG即可．
③取格点P，Q，连接PQ交网格线于R，连接DR交AC于点E，直线DE即为所求作．
【解答】解：（1）如图1中，∵AB∥CD，
∴PC：PB＝CD：AB＝1：2，
故答案为：1：2．
（2）①如图，点P即为所求作．
②如图，点G即为所求作．
③如图，直线DE即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8分）直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB与⊙O交于点P，A为圆上一点，AP的延长线交直线l于点C，且AB＝BC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长．
【分析】（1）连接OA，如图，利用等腰三角形的性质和角的等量代换证明∠BAC+∠OAP＝90°，即∠OAB＝90°，然后根据切线的判定方法得到AB与⊙O相切；
（2）连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，根据勾股定理求出BC，PC，证明△DAP∽△CPB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可得出答案．
【解答】证明：（1）连接OA，
∵OA＝OP，
∴∠OPA＝∠OAP＝∠BPC，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵OB⊥l，
∴∠ACB+∠BPC＝90°，
∴∠BAC+∠OAP＝90°，
即OA⊥AB，
∴AB与⊙O相切；
（2）解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，
则∠APD＝90°，
∵OB＝5，OP＝3，
∴PB＝2，
∴BC＝AB＝＝4，
在Rt△PBC中，PC＝＝2，
∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，
∴△DAP∽△CPB，
∴，即，
解得，AP＝．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的判定，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．（10分）三月是柑橘大量上市的季节，某果农在销售时发现：柑橘若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设柑橘售价为x元/千克（x≥5，且x为正整数）．
（1）若某日销售量为24千克，则该日柑橘的单价为 10 元；
（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克，设每日销售额为W元，求W关于x的函数表达式，并求W的最大值和最小值；
（3）为更好地促进果农的种植积极性，市政府加大对果农的补贴，每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直接写出所有符合题意的a的值： 106，107，108 ．
【分析】（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为24千克，列方程可解答；
（2）根据题意，利用销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，根据二次函数的性质及配方法可求得答案；
（3）由题意得：340≤﹣2x2+44x+a≤350，由二次函数的对称性可知x的取值为9，10，11，12，13，从而计算可得a值．
【解答】解：（1）根据题意得：34﹣2（x﹣5）＝24，
解得：x＝10，
故答案为：10；
（2）根据题意得：
W＝x[34﹣2（x﹣5）]
＝﹣2x2+44x
＝﹣2（x2﹣22x+121﹣121）
＝﹣2（x﹣11）2+242，
由题意得：5≤x≤15，且x为正整数，
∵﹣2＜0，
∴x＝11时，W有最大值是242元，
x＝5时，W有最小值是﹣2（5﹣11）2+242＝170元；
则W关于x的函数表达式为：w＝﹣2x2+44x（5≤x≤15，且x为正整数）；
（3）由题意得：340≤﹣2x2+44x+a≤350，
∵只有5种不同的单价使日收入不少于340元，5为奇数，
∴由二次函数的对称性可知，x的取值为9，10，11，12，13；
当x＝9或13时，﹣2x2+44x＝234，
当x＝10或12时，﹣2x2+44x＝240，
当x＝11时，﹣2x2+44x＝242，
∵补贴后不超过350元，234+106＝340，242+108＝350，
∴当a＝106或107或108时符合题意．
故答案为：106，107，108．
【点评】考查二次函数的应用；得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x的取值应为整数．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、根据销售额的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．
23．（10分）【问题背景】如图1，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，求证：BA2＝BD•BC；
【尝试应用】如图2，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，点E在边AB上，点G在AB的延长线上，延长ED交CG于点F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的长度；
【拓展创新】如图3，在△ABC中，点D在边BC上（AB≠AD）且满足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足为H，若，请直接写出的值 ．
【分析】【问题背景】根据题意得出△ABC∽△DBA，然后根据相似三角形对应边成比例的性质即可得出结论；
【尝试应用】根据相似三角形的性质解答即可；
【拓展创新】根据相似三角形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】解：【问题背景】在△ABC与△DBA中，
∵∠B＝∠B，∠BAD＝∠C，
∴△ABC∽△DBA，
∴＝，
∴AB2＝BD•BC；
【尝试应用】如图，作BH∥DF，交CG于点H，
由问题背景得，△ABC∽△DBA，3AD＝2AC，
∴，
设BD＝2m，则BA＝3m，则BC＝，
∴CD＝＝，
∵DF∥BH，
∴△CDF∽△CBH，△GBH∽GEF，
∴，，
∴，解得BH＝，
∵BE＝DE，
∴，
解得BE＝8，
∴BE的长度为8；
【拓展创新】如图，延长BC到点G，使AC＝CG，连接AG，作CN⊥AG，
∵AC＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA＝，
∵∠ACB＝2∠BAD，
∴∠BAD＝∠CAG＝∠CGA，
∵DH⊥AB，CN⊥AG，
∴△AHD∽ACN，
，
设AH＝7a，则AD＝9a，AN＝，
∵AC＝CG，CN⊥AG，
∴AG＝2AN＝，
∵∠BAD＝∠CGA，
∴△ABD∽GBA，
设，
设BD＝2b，则AB＝3b，BH＝3b﹣7a，
根据勾股定理，DH2＝BD2﹣BH2＝AD2﹣AH2，
∴（2b）2﹣（3b﹣7a）2＝9a2﹣7a2，
解得b＝3a（舍去）或，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判断、相似三角形对应边比例关系的性质、角平分线的性质，比较综合，难度适中．
24．（12分）如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC、BC，D为抛物线上一动点（D在B、C两点之间），OD交BC于E点．
（1）若△ABC的面积为8，求m的值；
（2）在（1）的条件下，求的最大值；
（3）如图2，直线y＝kx+b与抛物线交于M、N两点（M不与A重合，M在N左边），连MA，作NH⊥x轴于H，过点H作HP∥MA交y轴于点P，PH交MN于点Q，求点Q的横坐标．
【分析】（1）将A、B、C三点坐标表示为线段长，OA＝m，OB＝2，OC＝2m，然后根据面积公式建立关于m的方程，解方程即可；
（2）过点D作DF∥OC，可以通过平行构造八字型的相似关系，将DE与OE的比转换为DF与OC的比，OC为定值，所以设点D坐标，表示DF线段长度，从而得到表示线段长度之比的二次函数关系式，转换成顶点式，则的最大值可求；
（3）分析条件AM∥PH可知应有等角，所以从M、Q向x轴作垂直，构造相似，利用直线解析式设M、N、Q三点坐标，将直线与抛物线解析式联立，用韦达定理表示x1+x2，x1x2，根据相似关系建立参数方程，因式分解讨论取值．
【解答】解：（1）y＝x2+（m﹣2）x﹣2m＝（x+m）（x﹣2）
令y＝0，则（x+m）（x﹣2）＝0，解得x1＝﹣m，x2＝2
∴A（﹣m，0）、B（2，0）
令x＝0，则y＝﹣2m
∴C（0，﹣2m）
∴AB＝2+m，OC＝2m
∵S△ABC＝×（2+m）×2m＝8，解得m1＝2，m2＝﹣4
∵m＞0
∴m＝2
（2）如图1，过点D作DF∥y轴交BC于F
由（1）可知：m＝2
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4
∴B（2，0）、C（0，﹣4）
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣4
设D（t，t2﹣4），则F（t，2t﹣4）
∴DF＝2t﹣4﹣（t2﹣4）＝﹣t2+2t，OC＝4
∵DF∥y轴
∴＝＝＝
当t＝1时，∵，
∴，此时D（1，﹣3）．
（3）设M（x1，kx1+b）、N（x2，kx2+b）
联立，整理得x2+（m﹣2﹣k）x﹣2m﹣b＝0
∴x1+x2＝2+k﹣m，x1x2＝﹣2m﹣b
设点Q的横坐标为n，则Q（n，kn+b）
∵MA∥PH
如图2，过点M作MK⊥x轴于K，过点Q作QL⊥x轴于L
∵△MKA∽△QLH
∴＝即，整理得kx1x2+b（x1+x2）+kmn+bm﹣bn＝0
∴k（﹣2m﹣b）+b（2+k﹣m）+kmn+bm﹣bn＝0
∴（km﹣b）（n﹣2）＝0
①当km﹣b＝0，此时直线为y＝k（x+m），过点A（﹣m，0），不符合题意
②当n﹣2＝0，此时n＝2，Q点的横坐标为2．
【点评】此题考查了因式分解，相似构造，一元二次方程根与系数之间的关系，二次函数的极值求法以及一次函数与二次函数的关系，前两问属于常规问题，难度不大，解法比较常见，第三问难度较大，条件中没有已知数值，需要学生设多个参数，用韦达定理和因式分解的方法来解决问题，难度较大．
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2020-2021学年湖北省武汉市江岸区七一华源中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
2．（3分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x≥1 D．x＞﹣1
3．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球
B．三角形的内角和为180°
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
4．（3分）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
5．（3分）下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若一次性摸出两个球，则一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，则下列结论中正确的有（ ）
（1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元；
（2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元；
（3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多；
（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）如图，在⊙O中AB为直径，C为弧AB的中点，EF∥AB，连接AC交EF于点D，若已知DF＝2DE，则CD：AD的值为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．1：2 D．1：4
10．（3分）如图①，△ABC中，P1、Q1分别是A1B1、A1C1上点，P1Q1∥B1C1，且平分△A1B1C1的面积；如图②，P1Q1∥P2Q2∥B2C2，且将△A2B2C2面积三等分；如图③，P1Q1∥P2Q2∥P3Q3∥B3C3，且将△A3B3C3面积四等分，…如此继续下去，在△A9B9C9中，的值为（ ）
A．3+2 B．3﹣2 C．+3 D．﹣3
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：的结果是 ．
12．（3分）某小组组长统计了该组10名同学每周在家帮助做家务的平均时间（单位：时），并制成了以下表格：则这10名同学在家做家务的平均时间的中位数是 ．
平均做家务时间（时）
0.5
1
1.5
2
2.5
人数
3
3
2
1
1
13．（3分）计算：＝ ．
14．（3分）如图，将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE．若∠D＝70°，则∠AEF＝ ．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为，与x轴负半轴交点在（﹣4，0）与（﹣3，0）之间，以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0．其中一定正确的（序号）是 ．
16．（3分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为 ．
三、解答题（本题共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：（﹣2x2）3+4x2•x4+5x9÷x3．
18．（8分）如图，AB∥CD，∠ADC＝∠ABC．求证：∠E＝∠F．
19．（8分）某区对即将参加中考的5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分，请根据图表信息回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ．
（2）在频数分布表中，a＝ ，b＝ ，并将频数分布直方图补充完整；
（3）若视力在4.6以上（含4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？
视力
频数（人）
频率
4.0≤x＜4.3
20
0.1
4.3≤x＜4.6
40
0.2
4.6≤x＜4.9
70
0.35
4.9≤x＜5.2
a
0.3
5.2≤x＜5.5
10
b
20．（8分）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上．
（1）在图1中，PC：PB＝ ．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图2，在AB上找点P，使得AP：PB＝1：3；
②如图3，在△ABC中内找一点G，连接GA、GB、GC，将△ABC分成面积相等的三部分；
③如图4，在△ABC中，AB与网格线的交点为D，在AC上找点E，使DE⊥AC．
21．（8分）直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB与⊙O交于点P，A为圆上一点，AP的延长线交直线l于点C，且AB＝BC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长．
22．（10分）三月是柑橘大量上市的季节，某果农在销售时发现：柑橘若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设柑橘售价为x元/千克（x≥5，且x为正整数）．
（1）若某日销售量为24千克，则该日柑橘的单价为 元；
（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克，设每日销售额为W元，求W关于x的函数表达式，并求W的最大值和最小值；
（3）为更好地促进果农的种植积极性，市政府加大对果农的补贴，每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直接写出所有符合题意的a的值： ．
23．（10分）【问题背景】如图1，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，求证：BA2＝BD•BC；
【尝试应用】如图2，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，点E在边AB上，点G在AB的延长线上，延长ED交CG于点F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的长度；
【拓展创新】如图3，在△ABC中，点D在边BC上（AB≠AD）且满足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足为H，若，请直接写出的值 ．
24．（12分）如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC、BC，D为抛物线上一动点（D在B、C两点之间），OD交BC于E点．
（1）若△ABC的面积为8，求m的值；
（2）在（1）的条件下，求的最大值；
（3）如图2，直线y＝kx+b与抛物线交于M、N两点（M不与A重合，M在N左边），连MA，作NH⊥x轴于H，过点H作HP∥MA交y轴于点P，PH交MN于点Q，求点Q的横坐标．
2020-2021学年湖北省武汉市江岸区七一华源中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（3分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≠﹣1 C．x≥1 D．x＞﹣1
【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的取值范围．
【解答】解：若分式在实数范围内有意义，则x+1≠0，
解得：x≠﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
3．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球
B．三角形的内角和为180°
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
【分析】一定会发生的事情称为必然事件．依据定义即可解答．
【解答】解：A．袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球是不可能事件；
B．三角形的内角和为180°是必然事件；
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件；
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件；
故选：B．
【点评】本题主要考查随机事件，关键是理解必然事件为一定会发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
4．（3分）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
【分析】根据中心对称图形的概念解答．
【解答】解：在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，
这个正方形应该添加区域②处，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．
5．（3分）下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据位似图形的概念判断即可．
【解答】解：A、图中两个图形符合位似图形的定义，是位似图形，不符合题意；
B、图中两个图形符合位似图形的定义，是位似图形，不符合题意；
C、图中两个图形符合位似图形的定义，是位似图形，不符合题意；
D、图中两个图形对应边不平行，不符合位似图形的定义，不是位似图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是位似图形的定义，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．
6．（3分）程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由大小和尚共100人，可得出方程x+y＝100，由“大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，且正好分完100个馒头”，可得出方程3x+y＝100，联立两方程即可得出结论．
【解答】解：依题意得：．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若一次性摸出两个球，则一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出一次性取出的两个小球标号的和不小于4的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中一次性取出的两个小球标号的和不小于4的结果数为5，
所以一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率＝．
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
8．（3分）如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，则下列结论中正确的有（ ）
（1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元；
（2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元；
（3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多；
（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图象知道：在通话170分钟收费一样，在通话120时A收费30元，B收费50元，其中A超过120分钟后每分钟加收0.4元，B超过200分钟加收每分钟0.4元，由此即可确定有几个正确．
【解答】解：依题意得
A：（1）当0≤x≤120，yA＝30，
（2）当x＞120，yA＝30+（x﹣120）×[（50﹣30）÷（170﹣120）]＝0.4x﹣18；
B：（1）当0≤x＜200，yB＝50，
当x＞200，yB＝50+[（70﹣50）÷（250﹣200）]（x﹣200）＝0.4x﹣30，
所以当x≤120时，A方案比B方案便宜20元，故（1）正确；
当x≥200时，B方案比A方案便宜12元，故（2）正确；
当y＝60时，A：60＝0.4x﹣18，∴x＝195，
B：60＝0.4x﹣30，∴x＝225，故（3）正确；
当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，
将yA＝40或60代入，得x＝145分或195分，故（4）错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了函数图象和性质，解题的关键是从图象中找出隐含的信息解决问题．
9．（3分）如图，在⊙O中AB为直径，C为弧AB的中点，EF∥AB，连接AC交EF于点D，若已知DF＝2DE，则CD：AD的值为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．1：2 D．1：4
【分析】连接CO交EF于H，连接AE，CF，BC，设DE＝x，DF＝2x，可得EF＝3x，由等腰直角三角形的性质可得CD的长，利用有两个角相等的三角形相似判定△ADE∽△FDC，从而可得比例式，用含x的式子表示出AD，计算CD：AD即可得出答案．
【解答】解：如图，连接CO交EF于H，连接AE，CF，BC，
∵DF＝2DE，
∴设DE＝x，DF＝2x，
∴EF＝3x，
∵C为弧AB的中点，
∴OC⊥AB，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵EF∥AB，
∴OC⊥EF，∠CDH＝45°，
∴EH＝HF＝x，
∴DH＝x＝CH，
∴CD＝x，
∵∠EAD＝∠CFD，∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△FDC，
∴，
∴，
∴AD＝2x，
∴CD：AD＝1：4．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形的判定与性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
10．（3分）如图①，△ABC中，P1、Q1分别是A1B1、A1C1上点，P1Q1∥B1C1，且平分△A1B1C1的面积；如图②，P1Q1∥P2Q2∥B2C2，且将△A2B2C2面积三等分；如图③，P1Q1∥P2Q2∥P3Q3∥B3C3，且将△A3B3C3面积四等分，…如此继续下去，在△A9B9C9中，的值为（ ）
A．3+2 B．3﹣2 C．+3 D．﹣3
【分析】由相似三角形的性质可求A9P1＝A9B9，A9P9＝A9B9，即可求解．
【解答】解：∵P1Q1∥P9Q9∥B9C9，
∴△A9P1Q1∽△A9B9C9，△A9P9Q9∽△A9B9C9，
∴＝＝（）2，＝＝（）2，
∴A9P1＝A9B9，A9P9＝A9B9，
∴B9P9＝A9B9，
∴＝3+，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：的结果是 ﹣2 ．
【分析】直接利用立方根定义计算即可．
【解答】解：的结果是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了立方根的定义，注意：负数的立方根还是负数．
12．（3分）某小组组长统计了该组10名同学每周在家帮助做家务的平均时间（单位：时），并制成了以下表格：则这10名同学在家做家务的平均时间的中位数是 1时 ．
平均做家务时间（时）
0.5
1
1.5
2
2.5
人数
3
3
2
1
1
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：这10名同学在家做家务的平均时间的中位数是＝1（时），
故答案为：1时．
【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13．（3分）计算：＝ ﹣2 ．
【分析】先变形，再根据分式的加减法则求出即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了分式的加减，能灵活运用运算法则进行化简是解此题的关键．
14．（3分）如图，将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE．若∠D＝70°，则∠AEF＝ 30° ．
【分析】由菱形的性质可得∠B＝70°，∠A＝110°，由折叠的性质可得∠B＝∠EFC＝70°，CF＝CD，由平角的性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝70°，
∴∠B＝70°，∠A＝110°，
∵将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，
∴∠B＝∠EFC＝70°，CF＝CD，
∴∠CFD＝∠D＝70°，
∴∠AFE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了翻折变换，菱形的性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为，与x轴负半轴交点在（﹣4，0）与（﹣3，0）之间，以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0．其中一定正确的（序号）是 ①②③ ．
【分析】根据对称轴即可判断①；根据抛物线与x轴的交点即可判断②；根据x＝﹣3和x＝﹣1时的函数值即可判断③；由图象可知，x＝1时y＜0，且b＝3a，即可得到a+b+c＝b+b+c＝b+c＜0，即可判断④．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∴3a﹣b＝0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以②正确；
由图象可知，当x＝﹣3时y＝9a﹣3b+c＞0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴10a﹣4b+2c＞0，
∴5a﹣2b+c＞0，所以③正确；
由图象可知，x＝1时y＜0，且b＝3a，
即a+b+c＝b+b+c＝b+c＜0，
即4b+3c＜0，故④错误；
故答案为①②③．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
16．（3分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为 6 ．
【分析】由折叠可知点P在以M为圆心，BM为半径的圆上，以B点为原点，BA所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，通过计算得出，再根据PA+2PC＝2（）＝2（PC+PE）≥2CE即可得到答案．
【解答】解：∵B、P关于MN对称，BM＝2，
∴PM＝2，
如图所示，则点P在以M为圆心，BM为半径的圆上，
在线段MA上取一个点E，使得ME＝1，
又∵MA＝6﹣2＝4，MP＝2，
∴，
，
∴，
又∵∠EMP＝∠PMA，
∴△EMP∽△PMA，
∴，
∴，
∴PA+2PC＝2（）＝2（PC+PE）≥2CE，
如图所示，当且仅当P、C、E三点共线时取得最小值2CE，
∵CE＝，
∴PA+2PC的最小值为6．
【点评】本题考查了最短路径问题，通过转化思想把转化为PE是解决此题的关键．
三、解答题（本题共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：（﹣2x2）3+4x2•x4+5x9÷x3．
【分析】先计算单项式乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝﹣8x6+4x6+5x6
＝x6．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序及相关运算法则．
18．（8分）如图，AB∥CD，∠ADC＝∠ABC．求证：∠E＝∠F．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABC＝∠DCF，再利用已知得出∠E＝∠F．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCF．
又∵∠ADC＝∠ABC
∴∠ADC＝∠DCF．
∴DE∥BF．
∴∠E＝∠F．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出∠ADC＝∠DCF是解题关键．
19．（8分）某区对即将参加中考的5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分，请根据图表信息回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 200 ．
（2）在频数分布表中，a＝ 60 ，b＝ 0.05 ，并将频数分布直方图补充完整；
（3）若视力在4.6以上（含4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？
视力
频数（人）
频率
4.0≤x＜4.3
20
0.1
4.3≤x＜4.6
40
0.2
4.6≤x＜4.9
70
0.35
4.9≤x＜5.2
a
0.3
5.2≤x＜5.5
10
b
【分析】（1）用第1组的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；
（2）用样本容量乘以0.3得到a的值，用10除以10得到b的值；
（3）用样本值后面三组的频率和乘以5000可估计全区初中毕业生中视力正常的学生数．
【解答】解：（1）20÷0.1＝200（人），
所以本次调查的样本为200名初中毕业生的视力情况，样本容量为200；
故答案为：200．
（2）a＝200×0.3＝60，b＝10÷200＝0.05；
补全图形如下：
故答案为：60，0.05；
（3）5000×（0.35+0.3+0.05）＝3500（人），
答：估计全区初中毕业生中视力正常的学生有3500人．
【点评】本题考查了频数（率）分布直方图：频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×频数组距＝频率．从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．也考查了用样本估计总体．
20．（8分）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上．
（1）在图1中，PC：PB＝ 1：2 ．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图2，在AB上找点P，使得AP：PB＝1：3；
②如图3，在△ABC中内找一点G，连接GA、GB、GC，将△ABC分成面积相等的三部分；
③如图4，在△ABC中，AB与网格线的交点为D，在AC上找点E，使DE⊥AC．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（2）①取格点M，N，连接MN交AB于点P，点P即为所求作．
②取格点T，K，连接TK交网格线于点G，连接AG，BG，CG即可．
③取格点P，Q，连接PQ交网格线于R，连接DR交AC于点E，直线DE即为所求作．
【解答】解：（1）如图1中，∵AB∥CD，
∴PC：PB＝CD：AB＝1：2，
故答案为：1：2．
（2）①如图，点P即为所求作．
②如图，点G即为所求作．
③如图，直线DE即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8分）直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB与⊙O交于点P，A为圆上一点，AP的延长线交直线l于点C，且AB＝BC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长．
【分析】（1）连接OA，如图，利用等腰三角形的性质和角的等量代换证明∠BAC+∠OAP＝90°，即∠OAB＝90°，然后根据切线的判定方法得到AB与⊙O相切；
（2）连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，根据勾股定理求出BC，PC，证明△DAP∽△CPB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可得出答案．
【解答】证明：（1）连接OA，
∵OA＝OP，
∴∠OPA＝∠OAP＝∠BPC，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵OB⊥l，
∴∠ACB+∠BPC＝90°，
∴∠BAC+∠OAP＝90°，
即OA⊥AB，
∴AB与⊙O相切；
（2）解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，
则∠APD＝90°，
∵OB＝5，OP＝3，
∴PB＝2，
∴BC＝AB＝＝4，
在Rt△PBC中，PC＝＝2，
∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，
∴△DAP∽△CPB，
∴，即，
解得，AP＝．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的判定，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．（10分）三月是柑橘大量上市的季节，某果农在销售时发现：柑橘若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设柑橘售价为x元/千克（x≥5，且x为正整数）．
（1）若某日销售量为24千克，则该日柑橘的单价为 10 元；
（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克，设每日销售额为W元，求W关于x的函数表达式，并求W的最大值和最小值；
（3）为更好地促进果农的种植积极性，市政府加大对果农的补贴，每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直接写出所有符合题意的a的值： 106，107，108 ．
【分析】（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为24千克，列方程可解答；
（2）根据题意，利用销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，根据二次函数的性质及配方法可求得答案；
（3）由题意得：340≤﹣2x2+44x+a≤350，由二次函数的对称性可知x的取值为9，10，11，12，13，从而计算可得a值．
【解答】解：（1）根据题意得：34﹣2（x﹣5）＝24，
解得：x＝10，
故答案为：10；
（2）根据题意得：
W＝x[34﹣2（x﹣5）]
＝﹣2x2+44x
＝﹣2（x2﹣22x+121﹣121）
＝﹣2（x﹣11）2+242，
由题意得：5≤x≤15，且x为正整数，
∵﹣2＜0，
∴x＝11时，W有最大值是242元，
x＝5时，W有最小值是﹣2（5﹣11）2+242＝170元；
则W关于x的函数表达式为：w＝﹣2x2+44x（5≤x≤15，且x为正整数）；
（3）由题意得：340≤﹣2x2+44x+a≤350，
∵只有5种不同的单价使日收入不少于340元，5为奇数，
∴由二次函数的对称性可知，x的取值为9，10，11，12，13；
当x＝9或13时，﹣2x2+44x＝234，
当x＝10或12时，﹣2x2+44x＝240，
当x＝11时，﹣2x2+44x＝242，
∵补贴后不超过350元，234+106＝340，242+108＝350，
∴当a＝106或107或108时符合题意．
故答案为：106，107，108．
【点评】考查二次函数的应用；得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x的取值应为整数．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、根据销售额的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．
23．（10分）【问题背景】如图1，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，求证：BA2＝BD•BC；
【尝试应用】如图2，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，点E在边AB上，点G在AB的延长线上，延长ED交CG于点F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的长度；
【拓展创新】如图3，在△ABC中，点D在边BC上（AB≠AD）且满足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足为H，若，请直接写出的值 ．
【分析】【问题背景】根据题意得出△ABC∽△DBA，然后根据相似三角形对应边成比例的性质即可得出结论；
【尝试应用】根据相似三角形的性质解答即可；
【拓展创新】根据相似三角形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】解：【问题背景】在△ABC与△DBA中，
∵∠B＝∠B，∠BAD＝∠C，
∴△ABC∽△DBA，
∴＝，
∴AB2＝BD•BC；
【尝试应用】如图，作BH∥DF，交CG于点H，
由问题背景得，△ABC∽△DBA，3AD＝2AC，
∴，
设BD＝2m，则BA＝3m，则BC＝，
∴CD＝＝，
∵DF∥BH，
∴△CDF∽△CBH，△GBH∽GEF，
∴，，
∴，解得BH＝，
∵BE＝DE，
∴，
解得BE＝8，
∴BE的长度为8；
【拓展创新】如图，延长BC到点G，使AC＝CG，连接AG，作CN⊥AG，
∵AC＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA＝，
∵∠ACB＝2∠BAD，
∴∠BAD＝∠CAG＝∠CGA，
∵DH⊥AB，CN⊥AG，
∴△AHD∽ACN，
，
设AH＝7a，则AD＝9a，AN＝，
∵AC＝CG，CN⊥AG，
∴AG＝2AN＝，
∵∠BAD＝∠CGA，
∴△ABD∽GBA，
设，
设BD＝2b，则AB＝3b，BH＝3b﹣7a，
根据勾股定理，DH2＝BD2﹣BH2＝AD2﹣AH2，
∴（2b）2﹣（3b﹣7a）2＝9a2﹣7a2，
解得b＝3a（舍去）或，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判断、相似三角形对应边比例关系的性质、角平分线的性质，比较综合，难度适中．
24．（12分）如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC、BC，D为抛物线上一动点（D在B、C两点之间），OD交BC于E点．
（1）若△ABC的面积为8，求m的值；
（2）在（1）的条件下，求的最大值；
（3）如图2，直线y＝kx+b与抛物线交于M、N两点（M不与A重合，M在N左边），连MA，作NH⊥x轴于H，过点H作HP∥MA交y轴于点P，PH交MN于点Q，求点Q的横坐标．
【分析】（1）将A、B、C三点坐标表示为线段长，OA＝m，OB＝2，OC＝2m，然后根据面积公式建立关于m的方程，解方程即可；
（2）过点D作DF∥OC，可以通过平行构造八字型的相似关系，将DE与OE的比转换为DF与OC的比，OC为定值，所以设点D坐标，表示DF线段长度，从而得到表示线段长度之比的二次函数关系式，转换成顶点式，则的最大值可求；
（3）分析条件AM∥PH可知应有等角，所以从M、Q向x轴作垂直，构造相似，利用直线解析式设M、N、Q三点坐标，将直线与抛物线解析式联立，用韦达定理表示x1+x2，x1x2，根据相似关系建立参数方程，因式分解讨论取值．
【解答】解：（1）y＝x2+（m﹣2）x﹣2m＝（x+m）（x﹣2）
令y＝0，则（x+m）（x﹣2）＝0，解得x1＝﹣m，x2＝2
∴A（﹣m，0）、B（2，0）
令x＝0，则y＝﹣2m
∴C（0，﹣2m）
∴AB＝2+m，OC＝2m
∵S△ABC＝×（2+m）×2m＝8，解得m1＝2，m2＝﹣4
∵m＞0
∴m＝2
（2）如图1，过点D作DF∥y轴交BC于F
由（1）可知：m＝2
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4
∴B（2，0）、C（0，﹣4）
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣4
设D（t，t2﹣4），则F（t，2t﹣4）
∴DF＝2t﹣4﹣（t2﹣4）＝﹣t2+2t，OC＝4
∵DF∥y轴
∴＝＝＝
当t＝1时，∵，
∴，此时D（1，﹣3）．
（3）设M（x1，kx1+b）、N（x2，kx2+b）
联立，整理得x2+（m﹣2﹣k）x﹣2m﹣b＝0
∴x1+x2＝2+k﹣m，x1x2＝﹣2m﹣b
设点Q的横坐标为n，则Q（n，kn+b）
∵MA∥PH
如图2，过点M作MK⊥x轴于K，过点Q作QL⊥x轴于L
∵△MKA∽△QLH
∴＝即，整理得kx1x2+b（x1+x2）+kmn+bm﹣bn＝0
∴k（﹣2m﹣b）+b（2+k﹣m）+kmn+bm﹣bn＝0
∴（km﹣b）（n﹣2）＝0
①当km﹣b＝0，此时直线为y＝k（x+m），过点A（﹣m，0），不符合题意
②当n﹣2＝0，此时n＝2，Q点的横坐标为2．
【点评】此题考查了因式分解，相似构造，一元二次方程根与系数之间的关系，二次函数的极值求法以及一次函数与二次函数的关系，前两问属于常规问题，难度不大，解法比较常见，第三问难度较大，条件中没有已知数值，需要学生设多个参数，用韦达定理和因式分解的方法来解决问题，难度较大．
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