2022-2023学年湖北省武汉市蔡甸区求新联盟九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市蔡甸区求新联盟九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻表示电流的函数解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则的值为(    )
 

A.
B.
C.
D.

6.  甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会米接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知：如图，在中，，则下列等式成立的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  明代算法统宗有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒位客人；薄酒三瓶，可以醉倒位客人，如今位客人醉倒了，他们总共饮瓶酒试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒瓶，薄酒瓶根据题意，可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  有一块三角形铁片，，，，现要按图中方式把它加工成一个正方形加工中的损耗忽略不计，则正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  厦门在形式上助手数学社团的同学做了估算的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数、、可以相等，且它们满足：，；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以，，为三条边长能构成锐角三角形”为事件；
第三步：计算事件发生的概率，及收集的本校有效数据中事件出现的频率；
第四步：估算出的值．
为了计算事件的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
如果一次试验中，结果落在区域中每一个点都是等可能的，用表示“试验结果落在区域中一个小区域中”这个事件，那么事件发生的概率为；
若，，三个数据能构成锐角三角形，则需满足．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的份数据中能和“”构成锐角三角形的数据有份，则可以估计的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  计算的结果是______．

12.  名同学分钟踢毽子比赛成绩如下单位：个，，，，，，，这组数的中位数是______．

13.  计算：______．

14.  如图，为了测量某条河的宽度，现在河的一岸边任意取一点，又在河的另一岸边取两点、，测得，，量得长为米，则河宽度为______ 米结果保留根号．

15.  如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点、的横坐标分别为，与轴负半轴交于点，在下面五个结论中：
；；当时，；若，且，则；使为等腰三角形的值可以有三个．
其中正确的结论是______只填序号

16.  如图，在中，，，为边上一动点点除外，以为一边作正方形，连接，则的面积是        ，面积的最大值为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于，，，，且，．
求证：；
．

18.  本小题分
某校在一次体育模拟测试中，随机抽查了八年级部分学生的体育成绩，根据成绩分成如下六组：：，：，：，：，：，：，并制作出如下不完整的统计图，根据统计图解决下列问题：
补全频数分布直方图，并求出的值；
测试成绩不低于分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
在的条件下，若我校八年级有名学生，估计有多少人在这次体育模拟测试中获得优秀？
 

19.  本小题分
如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与，分别相交于点，．
求证：是的切线．
若正方形的边长为，求的半径．

20.  本小题分
如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
如图，作的高线；
直接写出的值______ ；
在边上取点，使得；
如图，在的条件下，在边上取一点，使的值最小．
 

21.  本小题分
如图，下面是某同学在平面直角坐标系中设计的一动画示意图，点、在轴上，在上方有五个水平台阶各拐角均为，每个台阶的高、宽分别是和，台阶到轴的距离为从点处向右上方沿抛物线发出一个带光的点．
点恰好落在台阶上，求此时落点的坐标；
当点落到台阶上后立即向右弹起，又形成了另一条与原抛物线形状相同的新抛物线，且最大高度为，求新抛物线的表达式；
如果摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点，若沿抛物线下落的点必须落在筐里，需将筐沿轴向左移动，直接写出的取值范围．

22.  本小题分
【问题呈现】如图，和都是等边三角形，连接，求证：．
【类比探究】如图，和都是等腰直角三角形，连接，请直接写出的值．
【拓展提升】如图，和都是直角三角形，，且连接，求的值；延长交于点，交于点求的值．
 

23.  本小题分
如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点．

求二次函数的解析式及顶点的坐标；
过定点的直线：与二次函数图象相交于，两点．
若，求的值；
证明：无论为何值，恒为直角三角形；
当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义，可以得到的相反数是，本题得以解决．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图所示，该几何体的俯视图是：
．
故选：．
根据俯视图是从物体的上面观察得到的视图，进而得出答案．
此题主要考查了几何体的三视图；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【解答】
解：、，故A符合题意；
B、与不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：设用电阻表示电流的函数解析式为，
过，
，
，
故选：．
根据函数图象可用电阻表示电流的函数解析式为，再把代入可得的值，进而可得函数解析式．
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及基本作图方法，正确得出是等边三角形是解题关键．
根据作图的方法得出是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案．
【解答】
解：连接，
由题意可得：，
则是等边三角形，
故．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意画树状图是要做到不重不漏．
根据题意画出树状图，找出符合题意的情况数，再利用概率公式求解即可．
【解答】
解：根据题意，画树状图得：

一共有种跑步顺序，而恰好由甲将接力棒交给乙的有种，
恰好由甲将接力棒交给乙的概率是：．
故选A  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角形相似的判定方法，有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形的对应边的比相等．
先根据相似三角形的判定定理求出∽，再根据其对应边成比例解答即可．
【解答】
解：在中，，，
∽，
．
故选C．  

8.【答案】 

【解析】解：设有好酒瓶，薄酒瓶，
根据“总共饮瓶酒”可得：
根据“好酒一瓶，可以醉倒位客人；薄酒三瓶，可以醉倒位客人，如今位客人醉倒了”，可得：

综上：，
故选：．
根据题意，列方程求解即可．
此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，垂足为，交于．

，，，

，
．
，
，，
∽，
．
设，则有：，
解得，
正方形的边长为，
故选：．
过点作，垂足为，交于，三角形的面积公式求出的长度，由相似三角形的判定定理得出∽，设边长，根据相似三角形的对应边成比例求出的长度可得．
本题主要考查了把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据第一步，，，
可以用图中正方形区域表示，
，
再根据“以，，为三条边长能构成锐角三角形”
则需满足，
可以用图中区域表示，
面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，
，
设“以，，为三条边长能构成锐角三角形”为事件，
根据概率计算方法可以得到：，
又共搜集上来的份数据中能和“”构成锐角三角形的数据有份，
，
解得，
故选：．
根据“以，，为三条边长能构成锐角三角形”则需满足，可以用图中区域表示，再根据几何概率的计算方法得到满足题意的概率，最后通过共搜集上来的份数据中能和“”构成锐角三角形的数据有份的条件得到用，表示上述方法计算的概率，即可求解．
本题考查了利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据算术平方根的定义解答即可．
此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．
 

12.【答案】 

【解析】解：个数据按从小到大排列：，，，，，，，
所以这组数的中位数是．
故答案为：．
先把这组数据从小到大的顺序排列起来，在这组数据中最居中的那个数就是中位数或最中间两个数据的平均数，解答即可．
本题考查了学生对中位数的意义的掌握与理解，考查了学生分析观察解决问题的能力．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式


．
故答案为：．
原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

，，
，
设，
则，
解得：，
答：河的宽度为．
过点作于点，利用特殊角三角函数即可得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：图象与轴的交点，的横坐标分别为，，
，
对称轴，
即．
故错误；
点坐标为，
，而，
，即．
故正确；
由，顶点是函数的最小值，时，得
，两边都减，得
，
故正确；
，得
，
且，则，故正确；
要使为等腰三角形，则必须保证或或，
当时，
，为直角三角形，
又的长即为，
，
由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，
，
，解得；
同理当时，
，为直角三角形，
又的长即为，
，
由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，
，
，解得；
同理当时
在中，，
在中，
，
，此方程无解．
经解方程组可知只有两个值满足条件，故错误，
故答案为：．
根据对称轴，可得答案；
根据点坐标，可得答案；
根据顶点是函数的最值，可得答案；
根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案；
分类讨论：时，当时，根据点坐标，对称轴，可得方程组，根据解方程组，可得答案；，根据勾股定理你，可得答案．
本题考查了二次函数综合题，利用了对称轴公式，顶点是函数的最值，函数值相等两点关于对称轴对称，等腰三角形的判定，要分类讨论，以防遗漏．
 

16.【答案】   

【解析】解：过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，作于点．

，，
，
，
；
，，
∽，
，
即，
，
设，则，
，，，
≌，
，
，
即当时，面积的最大值为．
故答案为：；．
过点作于点，作于点，作于点由，，得到，根据勾股定理得出就可以计算的面积，再证∽，求得，设，则，易证≌，，所以，当时，面积的最大值为．
本题考查了正方形性质、三角形相似的判定和性质、三角形全等的判定和性质、二次函数的极值等，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

17.【答案】证明：已知，
同位角相等，两直线平行；
已证，
两直线平行，同位角相等，
已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等． 

【解析】点拨
由直接可得结论；
根据，，可得，从而，即得．
本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是掌握平行线性质与判定定理．
 

18.【答案】解：本次抽查的学生有：人，
组学生有：人，
补全的频数分布直方图如右图所示，
，
即的值是；
，
即本次测试的优秀率是；
人，
答：成绩优秀的学生约有人． 

【解析】根据组的频数和所对的圆心角的度数，可以计算出本次调查的人数，再根据频数分布直方图中的数据，可以得到组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整，根据直方图中的数据，可以计算出的值；
根据直方图中的数据，可以计算出本次测试的优秀率是多少；
根据中的结果，可以计算出成绩优秀的学生约有多少人．
本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，掌握题意，利用数形结合的思想解答是关键．
 

19.【答案】证明：连接，过点作，垂足为，

与相切于，
，
正方形中，平分，
又，

与相切．
解：设的半径为，则．
正方形的边长为，
，．
在中，
，
，
解之，得． 

【解析】连接，过点作，垂足为，根据正方形性质推出，根据角平分线性质推出即可；
若正方形的边长为，则对角线的长为，可用的半径表示出、、的长，然后根据的长度求出的半径．
本题考查了正方形性质、切线的判定、等膘直角三角形的性质、锐角三角函数等知识点的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，高线即为所求；

，
，
，
，
，
．
的值为；
故答案为：；
如图，点即为所求；
如图，点即为所求．

根据三角形的高的定义即可作的高线；
根据等面积法求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可得的值；
根据正切的定义即可在边上取点，使得；
根据两点之间线段最短，使和能在一条直线上，作的垂线，再作的平行线，交于点，使得垂直平分，连接交于点，即可使的值最小．
本题考查了作图应用与设计作图，轴对称最短路线问题，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解决本题的关键是根据题意准确画图．
 

21.【答案】解：由题意，台阶的纵坐标为，
当时， ，
解得舍去或，
落点的坐标为；
由题意抛物线，经过，最高点的纵坐标为，
则，
解得：或，
当时，顶点坐标为，不符合题意，舍去，
新抛物线的解析式为；
令，解得或舍，
若沿抛物线下落的点必须落在筐里，则，
解得：． 

【解析】由题意台阶的纵坐标为，代入求出的值即可；
由题意抛物线，经过，最高点的纵坐标为，构建方程组求出，，可得结论；
先令线，求出此时的值，再根据点必须落入框中，可得出关于的不等式组，解之即可．
本题考查了二次函数应用，解题关键是熟练利用待定系数法求出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解．
 

22.【答案】证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
≌，
；

解：和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
∽，
；

解：，，
∽，
，，
，
∽，
；

由得：∽，
，
，
，
． 

【解析】证明≌，从而得出结论；
证明∽，进而得出结果；
先证明∽，再证得∽，进而得出结果；
在的基础上得出，进而，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
 

23.【答案】解：，，
，，
根据旋转的性质可得：，
，
把、分别代入解析式得：
，
解得：，
二次函数的解析式为，
，
顶点坐标为；
解：设，，
直线：过定点，抛物线的顶点坐标为，
，
，
，
联立得：
，
，，
，
．
证明：过点作轴，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为、，

设，
，在二次函数图象上，
，．
，
，
，，
，
，
，
由可知：，，
，
，
，
，
，
，
，即，
无论为何值，恒为直角三角形．
解：恒为直角三角形，，
外接圆圆心是线段的中点；
设线段的中点，
，，，．
，
的中点为，
，
化简得：，
抛物线的表达式为． 

【解析】根据旋转变换的性质求出，利用待定系数法求出二次函数的解析式，利用配方法把一般式化为顶点式，求出顶点的坐标；
设，，根据题意求出，根据三角形的面积公式得到，根据一元二次方程根与系数的关系解答即可；
根据正切的定义得到，，进而证明，据此证明结论；
用表示出的中点坐标，计算即可．
本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、直角三角形的判定、正切的概念、一元二次方程根与系数的关系，特殊三角形的外接圆的圆心，灵活运用二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．