2022-2023学年湖北省武汉市洪山区九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市洪山区九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语描述的事件是不可能事件的是(    )

A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 百步穿杨 D. 瓮中捉鳖

3.  徽章交换是现代奥林匹克运动会特有的文化活动一枚小小的徽章不仅是参与奥运盛会的证明，更是交流奥林匹克精神与世界文化的小窗口在年北京冬奥会上徽章交换依然深受欢迎下列徽章图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算结果是的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图所示，这是由个大小相同的小正方体摆成的几何体，从左面看到的几何体的形状图是(    )
 

A.  B.
C.  D.

6.  如图，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关、、中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  点，在反比例函数的图象上，下列推断正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 存在，使得

8.  如图，某容器的底面水平放置，容器上下皆为圆柱形，且大圆柱的底面半径是小圆柱的底面半径的倍，高度也是小圆柱的倍，匀速地向此容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度与时间的函数关系的图象如图所示，则灌满小圆柱时所需时间为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，是的内切圆，，过点作分别交，于，，若，，则的半径是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根所在的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  化简的结果是______．

12.  为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来自不同年级的名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的中位数是______．

13.  分式方程的解为______．

14.  如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为______
，结果保留整数．

15.  抛物线的对称轴为，经过点，顶点为，下列四个结论：
若，则；
若与异号，则抛物线与轴有两个不同的交点；
方程一定有两个不相等的实数解；
设抛物线交轴于点，不论为何值，直线始终过定点．
其中正确的是______填写序号．

16.  如图四边形中，，，，为线段的中点，连接交线段于，若，，则的长为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组请按下列步骤完成解答．
解不等式，得______；
解不等式，得______；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；

原不等式组的解集是______．

18.  本小题分
如图，，，．
求的度数；
若平分，求的度数．

19.  本小题分
近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查调查结果显示，支付方式有：微信、支付宝、现金、其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
本次一共调查了多少名购买者？
请补全条形统计图；在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角．
若该超市这一周内有名购买者，请你估计使用和两种支付方式的购买者共有多少名？

20.  本小题分
如图，是的直径，是上一点，的平分线交于，交于，连接，．
求证：；
若，，求的值．

21.  本小题分
如图，在正方形的网格中，点，，均在格点上，点为线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示．

在图中，将线段绕点逆时针旋转得到线段；连接交于，则        ；
在图中，在线段上画点，连接，使得；
在图中，分别在线段，线段上画，连接，，使得最小．

22.  本小题分
冰墩墩是年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未来．某批发市场购进一批冰墩墩玩偶出售，每件进货价为元．经市场调查，每月的销传量万件与每件的售价元满足一次函数关系，部分数据如下表：

直接写出与之间的函数表达式为______；
批发市场销售冰墩墩玩偶希望每月获利万元，且尽量给客户实惠，每件冰墩墩应该如何定价？
批发市场规定，冰墩墩的每件利润率不低于，若这批玩偶每月销售量不低于万件，最大利润为万元，求的值．

23.  本小题分
问题发现
如图，在和中，，，，连接，交于点填空：
的值为______；
的度数为______．
类比探究
如图，在和中，，，连接交的延长线于点请判断的值及的度数，并说明理由；
拓展延伸
在的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点重合时的长．
 

24.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，点在点左侧，与轴负半轴交于，且满足．
求抛物线的解析式；
如图，为轴负半轴上一点，过作直线垂直于直线，直线交抛物线于，两点点在点右侧，若，求点坐标；
如图，点为抛物线第二象限部分上一点，点，关于轴对称，连接，为线段上一点不与、重合，过点作直线为常数交轴于，交直线于，求的值用含的代数式表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的相反数是：．
故选：．
直接利用相反数的定义分析得出答案．
此题主要考查了相反数的定义，正确掌握相反数的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：“水中捞月”是不可能事件，因此选项A符合题意；
B.“守株待兔”是随机事件，因此选项B不符合题意；
C.“百步穿杨”是随机事件，因此选项C不符合题意；
D.“瓮中捉鳖”是确定事件，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据“随机事件，不可能事件、确定事件”的定义进行判断即可．
本题考查随机事件，理解随机事件、不可能事件、确定事件的定义是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，
B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意，
C、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意，
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，
故选：．
根据轴对称图形，中心对称图形的定义判断每个图形的类型即可．
本题考查轴对称图形，中心对称图形的定义，能够根据定义判断图形是否属于轴对称图形，中心对称图形是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形，
因此，只有选项的图形符合题意．
故选：．
根据从左边看得到的图形，可得答案．
本题考查了从左边看物体的形状．
 

6.【答案】 

【解析】解：画树状图得：

共有种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有种情况，
能让两个小灯泡同时发光的概率为；
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两个小灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，随到增大而减小，那么：
A、若，且、在同一个象限，则，故选项错误，不符合题意；
B、若，且、分别在三、一象限内，则，故选项错误，不符合题意；
C、若，则，故选项正确，符合题意；
D、若，则，即，另外，还可根据函数的定义：对于自变量的值，都有唯一确定的值和它相对应，所以当时，不可能．故选项错误，不符合题意．
故选：．
反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，随到增大而减小．据此可判断．
此题考查了比较反比例函数值的大小，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：设小圆柱的半径为，高度为，
则大圆柱的半径为，高度为，
，
灌满大圆柱所用时间为灌满小圆柱所用时间的倍，
由图可知，灌满小圆柱和大圆柱所用时间为，
灌满小圆柱时所需时间为，
故选：．
利用圆柱的体积公式求出大圆柱与小圆柱的容积比，进而可得灌满大圆柱所用时间与灌满小圆柱所用时间之比，由此可解．
本题考查圆柱的体积、从函数图象获取信息，解题的关键是掌握圆柱的体积公式．
 

9.【答案】 

【解析】解：设切点分别为，，，连接，，，过点作于，过点作于，

是的内切圆，
，，，，
，
，
，
，
，，，，
，
，
≌，
，
同理可得，
，
，


，
，
∽，
，
设，，则，
在中，由勾股定理，得，
解得：负根已经舍去，
，
故选：．
如图，设切点分别为，，，连接，，，过点作于，过点作于，证明≌，可得，同理可得，再证明∽，设，，则，利用勾股定理可求出，即可求解．
本题考查了切线的性质，三角形内切圆的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，关键是作辅助线，利用三角形全等和相似解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：方程，
，
它的根可视为和的交点的横坐标，

当时，前者为，后者为，在交点的左边，
当时，前者为，后者为，在交点的左边，
当时，前者为，后者为，此时在交点右边，
交点在，
故选：．
所给方程不是常见的方程，两边都除以可转化为二次函数和反比例函数，画出相应函数图象即可得到实根所在的范围．
本题主要考查函数图象交点的问题，注意方程与函数的转化．解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
根据二次根式的性质解答．
解答此题，要弄清二次根式的性质：的运用．
 

12.【答案】分 

【解析】解：由图可知，
分的人，分的人，分的人，分的人，
则这些成绩的中位数是分，
故答案为：分．
根据统计图可以写出各个分数的人数，然后即可计算出成绩的中位数．
本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义．
 

13.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图．

则，，，
在中，，
设，则，
，，
在中，
，
解得，
．
故答案为：．
过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：的对称轴为，
，
，
抛物线经过，
，即，，
若，则，
，正确．
，
，
，
与异号，
，
抛物线与轴有个不同交点，正确．
，
，
方程中，
时，方程有两个相同实数解，错误．
抛物线对称轴为直线，
把代入得，
抛物线顶点坐标为，
把代入得，
点坐标为，
设解析式为，把，代入得，
解得，
，
把代入得，
直线经过，正确．
故答案为：．
由抛物线对称轴为直线，抛物线经过可得，，与的关系，从而判断，由一元二次方程根与系数的关系判断，用含和代数式表示直线，将代入解析式求解可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，延长，交于点，则，

为线段的中点，
，
，
，即．
，
，
，
，
，
为线段的中点，，
，
，
，
，
，即，
又，
∽，
，
设，，
则，
，
，
，
，即，
解得，
，
故答案为：．
延长，交于点，根据平行线分线段成比例可证利用平行线的性质、等腰三角形的性质，通过等量代换可得，进而证明∽，根据对应边成比例可得，设，，再根据平行线分线段成比例得出，将数值代入求出的值，即可求解．
本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等，难度一般，解题的关键是通过等量代换得出，进而证明∽．
 

17.【答案】解：；
；
如图所示：

． 

【解析】解：解不等式，得：；
解不等式，得：；
把不等式和的解集在数轴上表示出来为：

原不等式组的解集为：．
故答案为：；
；
．
分别解这两个不等式，把不等式和的解集在数轴上表示出来，找到解集的公共部分即可得到原不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，体现了数形结合的思想，在数轴上找到解集的公共部分是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
，
；
平分，，
，
，
． 

【解析】先根据可得，再由可以求出的度数，最后根据得出即可得出的度数；
先根据角平分线定义可以求出的度数，再根据即可求出的度数．
本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质定理是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
 

19.【答案】解：名，
即本次一共调查了名购买者；
选择的有：人，
选择的有：人，
补全的条形统计图如右图所示，
在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角是：；
名，
答：使用和两种支付方式的购买者共有名． 

【解析】根据选择的人数和所占的百分比，可以求得本次一共调查了多少名购买者；
根据中的结果和统计图中的数据，可以计算出和的人数，从而可以将条形统计图补充完整，然后计算出在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角即可；
根据统计图中的数据，可以计算出使用和两种支付方式的购买者共有多少名．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】证明：平分，
，
，，
，
；
过点作于，连接，如图，
是的直径，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
． 

【解析】先根据角平分线的定义得到，再根据圆周角定理得到，从而得到；
过点作于，连接，如图，根据圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，利用面积法可计算出，接着根据等腰直角三角形的性质得到，，然后证明∽，则利用相似比得到的值．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了相似三角形的判定与性质．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，线段即为线段绕点逆时针旋转得到线段．

由图可知，，，，
≌，
，，
，
，
，
线段即为所求；
，，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为：；
如图，连接交于点，连接，点即为所作；

，，
，
，，
，
，
；
如图，连接交于点，取格点，连接交网格线于点，连接并延长交于点，

设小正方形的边长为，
，，
是等腰直角三角形，，
，
又，
和关于对称，
点和点关于对称，
，和关于对称，
由可知，
，
，
，
，
，
即此时最小，
点，即为所作．
如图，利用格点可得≌，由此可得点，再证∽，可得，即，再由勾股定理可得，进而可得；
连接交于点，连接，点即为所作；
连接交于点，取格点，连接交网格线于点，连接并延长交于点，点，即为所作．
本题考查作图应用与设计作图，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，充分利用格点特征是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：设与之间的函数表达式为，将，代入得：
，
解得，
与之间的函数表达式为；
故答案为：；
根据题意得：，
解得或，
尽量给客户实惠，
，
答：每件冰墩墩定价为元；
设销售冰墩墩的总利润为万元，
则，
，
，
在中，
，
抛物线开口向下，
若，当时，取最大值，
而，
不符合题意，舍去；
若，则，
当时，随的增大而增大，
时，取最大值，
即，
解得或舍去，
的值为．
用待定系数法即得；
由和尽量给客户实惠，可得每件冰墩墩定价为元；
根据冰墩墩的每件利润率不低于，若这批玩偶每月销售量不低于万件求得，再根据二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数、一次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方程．
 

23.【答案】； 
类比探究
如图，，，理由是：
中，，，
，
同理得：，
，
，
，
∽，
，，
在中，；
拓展延伸
的长为或． 

【解析】解：问题发现
如图，，
，
，，
≌，
，
，
≌，
，
，
，
在中，，
故答案为：；；
见答案
拓展延伸
点与点重合时，如图，同理得：∽，
，，
设，则，
中，，，
，，
中，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，，
；
点与点重合时，如图，同理得：，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，

，
，
，，
；
综上所述，的长为或．
证明≌，得，比值为；
由≌，得，根据三角形的内角和定理得：；
根据两边的比相等且夹角相等可得∽，则，由全等三角形的性质得的度数；
正确画图形，当点与点重合时，有两种情况：如图和，同理可得：∽，则，，可得的长．
本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：∽，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
 

24.【答案】解：，
，、，
，解得，
抛物线的解析式为；

如图，过点作轴于，过点作轴于，设与轴交于点，

设，
、，
，
，
，
，
，
，
直线的解析式为，
联立得，
解得，
点的横坐标为，点的横坐标为，
，，
轴，轴，
，
∽，
，
，
，
，解得，
点坐标为；
同理，当点在点下方时，点坐标为；
综上，点坐标为或；

设，
点，关于轴对称，抛物线的对称轴为轴，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，

同理得，
，
即的值为． 

【解析】由可得点，、的坐标，利用待定系数法即可得抛物线的解析式；
过点作轴于，过点作轴于，设与轴交于点，设，求出，可得直线的解析式为，联立得，可得点的横坐标为，点的横坐标为，则，，证明∽，根据相似三角形的性质得，由，得，即，解得，即可得点坐标为；
设，则，利用待定系数法求出直线的解析式为，则，同理得，
即可得．
本题是二次函数综合题，考查了用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定和性质，求一次函数与二次函数的交点坐标，用点的坐标表示线段的长度是解题的关键．