初中数学人教版七年级下册9.1.2 不等式的性质第2课时教学设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【复习导入】

1、上节课我们学习了不等式的性质，请你说说不等式的性质有哪些呢？

不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．

即，如果a＞b，那么a±c＞b±c．

不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

即，如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc．

不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

即，如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．

2、想一想，我们知道解方程的依据是等式的性质，同样解不等式的时候，依据就是不等式的性质. 那对比方程的求解过程，你知道如何解不等式吗？

学生回忆、思考并回答.

通过复习不等式的性质，进一步加深对不等式的性质的理解，为本节课学习利用不等式的性质解决问题做了充分准备．

环节二 探究新知

【探究】

1、通过例1中4个简单的不等式探究如何利用不等式的性质解不等式，可类比方程的解法进行求解，同时让学生说一说解方程和解不等式的相同点和不同点.

例1利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：

(1)x – 7＞26；(2)3x＜2x＋1；

(3)x＞50； (4) – 4x＞3．

分析：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x＞a或x＜a(a为常数)的形式．

解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以  x－7＋7＞26＋7，

x＞33．在数轴上表示如下图：

(2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以3x – 2x＜2x + 1 – 2x，

x＜1．在数轴上表示如下图：

(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变，所以x＞50，

x＞75．在数轴上表示如下图：

根据不等式的性质 3，不等式两边除以 – 4，不等号的方向改变，所以＜，x＜– ．

总结：不等式的解集的表示方法主要有两种：

(1)用式子形式(如x＞2)，即用最简单形式的不等式x＞a 或 x＜a(a为常数)表示；

(2)数轴，用数轴表示不等式的解集时应确定两点：一是确定“边界点”，若解集包含“边界点”，则用实心圆点；若解集不包含“边界点”，则用空心圆圈；二是确定“方向”，大于“边界点”向右画，小于“边界点”向左画.

这两种形式分别是用“数”和“形”表示不等式的解集．

2、探究“≥”与“＞”、“≤”与“＜”的意思有什么区别？

在表示两个数量大小关系时，我们会经常用到像a≥b或a≤b这样的式子，如一天内的温度变化t≥19℃且t≤28℃.

提出问题：符号“≥”与“＞”的意思有什么区别？

“≥”是“不等号”与“等号”的合写形式，读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”.也就是 “≥”比“＞”多了一层相等的含义.

同理，“≤”是“不等号”与“等号”的合写形式，读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”.即，“≤”比“＜”多了一层相等的含义.

追问：“≥”与“≤”是否具有与前面所说的不等式类似的性质呢？

通常我们把用符号“≥”和“≤”表示大小关系的式子，也称为不等式，它们同样具有类似前面所说的不等式的性质.

3、借助实际生活中的问题，进一步了解巩固含有“≥、≤”的不等式的解法和应用.

例2某长方体形状的容器长 5 cm，宽3 cm，高   10 cm．容器内原有水的高度为 3 cm，现准备向它继续注水．用V(单位：cm³ )表示新注入水的体积，写出V的取值范围．

解：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即V＋3×5×3≤3×5×10，V≤105．

又由于新注入水的体积 V 不是负数，因此，V 的取值范围是：V≥0并且V≤105．

这样的解集如何在数轴上表示呢？

在表示 0 和 105的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个数.

总结：解决实际问题时，不等式的解决要符合实际意义.

学生尝试用学过的知识思考，并回答.

学生小组交流，汇总并举手发言.

学生思考、并回答.

小组合作，分组讨论，然后进行交流、总结并回答.

在认识不等式性质的基础上，通过4个简单的例题，巩固对不等式性质的理解，体会其在解不等式中的作用.

以一个问题串的形式引导学生自主构建对“不等符号(≥和≤)”的认识，培养学生自主学习的能力.

解决此实际问题，一是让学生体会“≥、≤”这两个符号的意义，二是它的解集在数轴上对应的是包含两端点的范围，这里并没有把解集写成连写的形式，只是为后面学习一元一次不等式组的解集分散难点.

环节三 应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例1用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集：

(1)c的4倍大于或等于8；(2)c的一半小于或等于3；(3)d与5的和不小于0；(4)d与5的差不大于–2 .

注意：大于或等于、不小于都用“≥”表示；不大于、小于或等于都用 “≤”表示. 

例2  用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.8 cm/s，人跑开的速度是每秒4 m，为了使点导火索的战士在爆破时能够跑到100 m以外(不含100 m)的安全区域，这个导火索的长度应大于多少厘米？请将解集在数轴上表示出来.

解析：设导火索要xm长，根据导火索燃烧的速度为0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点导火索的战士在爆破时能跑到离爆破点100m的安全地区，可列不等式求解．

解：设导火索的长度是xcm，

根据题意得：＞.

解得：x＞20.

在数轴上表示x的取值范围如图所示：

学生思考、计算并回答.

巩固、加深学生用不等式的性质解不等式的理解和认识.

环节四 巩固新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：

解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边减5，不等号的方向不变，

(2)根据不等式的性质1，不等式两边减3x，不等号的方向不变，

(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘7，不等号的方向不变，

(4)根据不等式的性质3，不等式两边除以–8，不等号的方向改变，

2.用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集：

(1)x的3倍大于或等于1；(2)x与3的和不小于6；(3)y与1的差不大于0；(4)y的小于或等于–2.

3.在某次的知识竞赛中共有 20 道题．对于每一道题，答对了得 10 分，答错了或不答扣 5 分，至少要答对几道题，其得分不少于 80 分？

学生自主练习

学生通过练习，可以更好地理解利用不等式的性质解不等式，同时进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生尝试归纳总结本节所学内容及收获.

回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.

环节六

布置作业

教科书第120页习题第2、5、8题.

学生课后自主完成.

加深认识，深化提高.