2023年广东省汕头市金平区中考数学一模试卷（含解析）

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2023年广东省汕头市金平区中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若代数式有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某天全国约有人在“学习强国”平台上学习，数字用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成，其中黑皮的正五边形有块，白皮的正六边形有块如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  小红有两顶帽子，分别为粉色和黑色，有两条围巾，分别为粉色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为粉色帽子和粉色围巾的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图中，平分，，，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为下列结论：；；；当是等边三角形时，抛物线解析式为其中正确有个．(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  ______ ．

12.  如图，平面镜与平面镜平行，光线由水平方向射来，传播路线为，已知，则 ______
 

13.  不等式组的解集是______ ．

14.  如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程千米随时间分变化的函数图象，以下说法：乙比甲提前分钟到达；甲、乙相遇时，乙走了千米；乙出发分钟后追上甲其中正确的是______ 填序号
 

15.  如图，为的直径，点为中点，弦经过点，且点为上一动点，连接于点若，在点运动过程中，线段的长度的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：其中，．

17.  本小题分
某校对八年级名学生本学期参加艺术学习活动的情况进行评价，其中班学生本学期参观美术馆的次数以及艺术评价等级和艺术赋分的统计情况，如下表所示：

班学生总数为______ 人，表格中的值为______ ．
班学生艺术赋分的平均分是多少？
根据统计结果，估计八年级名学生艺术评价等级为级的人数是多少？

18.  本小题分
如图，在中，．
用尺规作图法作的垂直平分线，分别交、于点和点，保留作图痕迹，不要求写作法；
在的条件下，连接，当时，求的度数．

19.  本小题分
育才中学准备购买甲、乙两种分类垃圾桶，经市场调研得知：甲种垃圾桶每组的单价比乙种垃圾桶每组的单价多元，且用元购买乙种垃圾桶的组数量是用元购买甲种垃圾桶的组数量的倍．
求甲、乙两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；
该学校计划用不超过元的资金购买甲、乙两种垃圾桶共组，则最多可以购买甲种垃圾桶多少组？

20.  本小题分
如图，直线与双曲线交于、两点．
求直线的解析式；
点为线段上的一个动点不与、重合，作轴于点，求面积的最大值．

21.  本小题分
如图，点，分别在矩形边、上，将和分别沿直线、折叠，使点，分别落在对角线上的点，处．
求证：≌；
若，，求的面积．

22.  本小题分
如图，为的直径，点、点在上，，交延长线于点，连接，且．
证明：∽；
证明：为的切线；
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
点在第一象限抛物线上一点，连接、，若，求点的坐标；
已知点为轴上一动点，点为第三象限抛物线上一动点，若为等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
故选：．
利用绝对值的定义求解即可．
本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 

3.【答案】 

【解析】解：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：黑皮是正五边形，
一块黑色皮块的内角和．
故选：．
根据多边形的内角和公式可解答．
本题考查了多边形的内角和公式，确定黑色皮块是正五边形是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中恰好为粉色帽子和粉色围巾的只有种结果，
所以恰好为粉色帽子和粉色围巾的概率为，
故选：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：和不能合并，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
根据完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则进行计算，再得出选项即可．
本题考查了完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则等知识点，能熟记掌握完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示：
平分，，，
，
，
的面积，
故选：．
过点作于点，根据角平分线性质得出，再根据三角形的面积公式求解即可．
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，
，，
点的坐标为，
，
在中，，
菱形的周长为，
故选：．
四边形是菱形，，则，，在中，，即可得到答案．
此题考查了菱形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：的交点是，，
抛物线的对称轴为：，
，
，即，故错误；
在二次函数的图象上，
，
，
，故错误；
，
抛物线开口向上，
，故错误；
当是等边三角形时，如图：

则，
又，，
，
代入二次函数解析式得：，
又、，
即，
，
，
抛物线解析式为，
故正确；
综上所述：正确的结论是，共一个，
故选：．
根据的交点是，，可知对称轴为，从而可判断；根据的结论及可得与的关系，从而判断；将、代入化简即可判断；当是等边三角形时，可知代入二次函数解析式，结合，判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键，本题属于中档题，有些难度．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
代入特殊角三角函数值，化简零次幂，然后再计算．
本题考查实数的混合运算，理解，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，根据光的反射规律可知，，

，
，
，
故答案为：．
根据光的反射规律可知得到，，根据平行线的性质得到，即可得解．
此题考查了平行线的性质，垂线的定义，掌握平面镜光的反射规律、熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集是．
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再求出两个不等式解集的公共解集．
本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：乙在分时到达，甲在分时到达，
所以乙比甲提前了分钟到达，
故正确；
设乙出发分钟后追上甲，则有：，
解得，
故正确；
由知：乙遇到甲时，所走的距离为：，
故正确．
所以正确的结论有三个：，
故答案为：．
观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进行解答．
本题考查了从函数图象获取信息，关键是理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，通常根据路程、速度、时间三者之间的关系求解．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，取中点，连接，，，
点为中点，，
，
，
是等边三角形，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
的最小值是．
故答案为：．
连接，取中点，连接，，，由线段垂直平分线的性质推出是等边三角形，得到，由圆周角定理得到，由圆的半径长是，求出的长，由三角形中位线定理求出的长，由直角三角形的性质，求出的长，由，即可解决问题．
本题考查三角形中位线定理，圆周角定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，关键是求出，的长，由，求出的最小值．
 

16.【答案】解：


．
当，时，
原式


． 

【解析】利用完全平方公式和平方差公式进行展开，再合并同类项，最后把，代入化简结果计算即可．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：人；人；
班学生总数为人，表格中人；
故答案为：，；
解：设班学生艺术赋分的平均分是，
，
甲班学生艺术赋分的平均分是  分．
由题可知，级占 ，
估计全校  名学生艺术评价等级为级的人数是 人．
用等级的人数除以所占的百分比，求出总数即可；用总人数减去其它等级的人数，求出的值；
利用总分数除以总人数，求出平均分即可；
利用全校人数乘以等级所占的比例，进行计算即可．
本题考查统计图，平均数，以及利用样本估计总量．从统计图表中，有效的获取信息，利用频数除以频数所占百分比求出总数，是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图所示，即为所求；


如图：

，
．
垂直平分，
．
．
，
．
．
． 

【解析】分别以点和点为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，连接两个交点，与相交于点，于相交于点，即为所求；
根据等边对等角可得，再根据垂直平分线的性质得出，则，最后列出方程求解即可．
本题主要考查了尺规作图基本作图、垂直平分线、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到两端距离相等，等腰三角形等边对等角．
 

19.【答案】解：设乙种垃圾桶每组的单价为元，则甲种垃圾桶每组的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲种垃圾桶每组的单价为元，乙种垃圾桶每组的单价为元．
设购买甲种垃圾桶组，在购买乙种垃圾桶组，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：最多可以购买甲种垃圾桶组． 

【解析】设乙种垃圾桶每组的单价为元，则甲种垃圾桶每组的单价为元，再根据用元购买乙种垃圾桶的组数量是用元购买甲种垃圾桶的组数量的倍列出方程求解即可；
设购买甲种垃圾桶组，在购买乙种垃圾桶组，再根据购买资金不超过元列出不等式求解即可．
本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键．
 

20.【答案】解：、在双曲线上，
，
，，
、．
设直线解析式为，
，解得：，
直线的解析式为：；
点为线段上的一个动点，直线的解析式为，
可设．
轴于点，
，
，
当时，有最大值，最大值为． 

【解析】将、代入，即可求出、，再利用待定系数法求解即可；
设，则，又可求出，进而可利用三角形面积公式求，最后根据二次函数的性质求解即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识．熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
 

21.【答案】证明：在矩形中，，，．
．
由折叠可知：，，
．
≌；
解：在矩形中，，，，
．
由翻折可知：，
，
在中，，
根据勾股定理得：，
，
解得，
． 

【解析】由折叠的性质得出可知：，，由矩形的性质得出，，，，证出，由证明≌即可；
由勾股定理求出，再由勾股定理得出方程，解方程求出即可得出．
此题考查了矩形的折叠问题，勾股定理、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形内接于，
．
．
．
为的直径，
．
，
．
．
∽；

证明：连接，

，
．
由得，∽，
．
又，
．
．
，
．
为的切线；

解：，
．
又，
．
，
．
连接，．
为的直径，
．
在中，，
． 

【解析】根据圆内接四边形性质可证，再由为的直径得到，进而得到，即可求证；
连接，证明，即可解答，
易证，从而求出，连接，即可求解．
本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线与轴交于，两点，
，
抛物线的解析式为；
作，交延长线于点，交轴于点．

，，
，．
，
．
，
．
．
∽．
．
设，
，．
，，
，．
．
．
解得舍去，．
；
点为轴上一动点，点为第三象限抛物线上一动点，
等腰直角三角形共有四种情况，
如图，当，时，过点作轴于点，轴于点，设交轴于点，

，，，
．
又，，
≌．
．
设，
则，
解得：舍去，，
．
如图，当，时，过点作轴于点，

，，
．
又，，
≌．
，．
，
．
．
设，
则，，
，
解得：舍去，，
．
如图，当，时，过点作轴于点，

，，
．
又，，
≌．
，．
，
．
．
设，
则，，
，
解得：舍去，，
．
如图，当，时，过点作轴于点，
，，
．
又，，
≌．
．
点的横坐标是．
把代入得：，
．
故点的坐标为、、或． 

【解析】根据抛物线与轴交于，两点，写出交点式解析式，整理即可得出答案；
作，交延长线于点，交轴于点，证明∽，设，列出方程求解即可；
根据点为轴上一动点，点为第三象限抛物线上一动点，对等腰直角三角形进行分类讨论，画出四种不同情况的图形，分别进行计算即可得出答案．
本题是二次函数的综合题，综合考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，以及分类讨论思想和数形结合思想，灵活运用所学知识，根据题意画出图形，分类讨论求出存在的点的坐标是解题的关键和难点．