2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习47基本立体图形简单几何体的表面积与体积（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习47基本立体图形简单几何体的表面积与体积（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为9eq \r(3)π，则该圆锥的表面积为( )
A．27π B．20eq \r(3)π C．18eq \r(2)π D．16π
2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )
A．eq \f(1＋2π,2π)B．eq \f(1＋4π,4π)
C．eq \f(1＋2π,π)D．eq \f(1＋4π,2π)
3．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，底面边长为eq \r(6)，则该正三棱锥的体积为( )
A．eq \f(\r(6),6)B．eq \f(\r(3),2)C．1D．eq \r(3)
4．[2024·河北沧州模拟]已知圆台O′O的上、下底面直径分别为1和2，高为eq \f(\r(3),2)，则圆台O′O的侧面展开图(扇环)的圆心角为( )
A．πB．eq \f(π,3)C．eq \f(2π,3)D．eq \f(5π,6)
5．[2024·福建漳州模拟]陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶点，B，C分别是圆柱上、下底面圆的圆心，且AC＝3AB.若该陀螺的体积是eq \f(56π,3)，底面圆的半径为2，则其表面积为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(16＋2\r(2)))πB．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(16＋4\r(2)))π
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20＋4\r(2)))πD．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20＋2\r(2)))π
6．[2024·河北衡水模拟]已知一个圆台的上、下底面面积之比为1∶4，其轴截面面积为9，母线长为上底面圆的半径的eq \r(10)倍，则这个圆台的体积为( )
A．3πB．5πC．7πD．9π
7．(素养提升)《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”．意思是一个长方体沿对角面斜解(图1)，得到一模一样的两个堑堵(图2)，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图2)，得一个四棱锥称为阳马(图3)，一个三棱锥称为鳖臑(图4).若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1，V2，V3，则下列等式错误的是( )
A．V1＋V2＋V3＝VB．V1＝2V2
C．V2＝2V3D．V2－V3＝eq \f(V,6)
8．(素养提升)[2023·全国甲卷]甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若eq \f(S甲,S乙)＝2，则eq \f(V甲,V乙)＝( )
A．eq \r(5)B.2eq \r(2)
C.eq \r(10)D.eq \f(5\r(10),4)
二、多项选择题
9．已知四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图为直角梯形A′B′C′D′，如图所示，A′B′＝1，A′D′＝2，B′C′＝3，A′B′⊥B′C′，A′D′∥B′C′，则( )
A．AB＝3B．AB＝2eq \r(2)
C．DC＝2eq \r(5)D．DC＝2eq \r(3)
10．如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为eq \f(m,n)，则( )
A.三棱锥的直度的最大值为1
B．直度为eq \f(3,4)的三棱锥只有一种
C．四棱锥的直度的最大值为1
D．四棱锥的直度的最大值为eq \f(4,5)
11．(素养提升)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值近似为eq \f(\r(6),6)，侧棱长近似为eq \r(21)米，则下列结论正确的是( )
A．正四棱锥的底面边长近似为3米
B．正四棱锥的高近似为eq \r(3)米
C．正四棱锥的侧面积近似为48eq \r(3)平方米
D．正四棱锥的体积近似为12eq \r(3)立方米
三、填空题
12．[2020·新高考Ⅱ卷]已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A­NMD1的体积为________．
13．已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱和圆锥的表面积分别为S1，S2，则eq \f(S1,S2)＝________．
14．[2023·新高考Ⅱ卷]底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________．
优生选做题
15．[2024·河北衡水模拟]沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的eq \f(2,3) (细管长度忽略不计)，假设该沙漏每秒钟漏0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，以下结论不正确的是(π≈3.14)( )
A．沙漏中的细沙体积为eq \f(1024π,81)cm3
B．沙漏的体积是128πcm3
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm
D．该沙漏的一个沙时大约是1985秒
16．[2024·黑龙江牡丹江模拟]如图，已知圆锥的母线长为2，高为eq \r(3)，O为底面圆心，且eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)，E为线段PA上靠近点P的四等分点，则在此圆锥的侧面上，从E到C的最短路径长度为__________．
课后定时检测案47 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
1．解析：设圆锥底面半径为r，母线长为l，则2πr＝πl，所以l＝2r，所以圆锥的高为eq \r(l2－r2)＝eq \r(3)r，
所以eq \f(1,3)×πr2·eq \r(3)r＝9eq \r(3)π，解得r＝3，故其表面积S＝πr2＋πrl＝9π＋18π＝27π.故选A.
答案：A
2．解析：设正方形边长为a，圆柱底面半径为r，易知圆柱高为a，2πr＝a，r＝eq \f(a,2π)，
全面积为S＝2πr2＋a2＝2π×(eq \f(a,2π))2＋a2＝(eq \f(1,2π)＋1)a2，而侧面积为S′＝a2，
所以全面积与侧面积之比eq \f(S,S′)＝eq \f(1,2π)＋1＝eq \f(1＋2π,2π).故选A.
答案：A
3．解析：正三棱锥的底面边长均相等，所以侧面均为等腰直角三角形，即三条侧棱两两垂直，所以侧棱长为eq \r(3)，
所以体积V＝eq \f(1,3)×(eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \r(3))×eq \r(3)＝eq \f(\r(3),2).故选B.
答案：B
4．解析：设圆台上、下底面半径分别为r1，r2，母线长为l，侧面展开图(扇环)的圆心角为α，
由题意r1＝eq \f(1,2)，r2＝1，l＝eq \r(（1－\f(1,2)）2＋（\f(\r(3),2)）2)＝1，
如图，eq \(AB,\s\up8(︵))＝αr＝2πr1＝π①
eq \(CD,\s\up8(︵))＝α(r＋l)＝α(r＋1)＝2πr2＝2π②
联立①②可得r＝1，从而α＝π.故选A.
答案：A
5．解析：设AB＝a，则BC＝2a，
∴陀螺的体积V＝eq \f(1,3)π×4a＋π×4×2a＝eq \f(56π,3)，解得a＝2，则圆锥母线长为eq \r(a2＋22)＝2eq \r(2)，
∴陀螺的表面积S＝4π＋4π×4＋π×2×2eq \r(2)＝(20＋4eq \r(2))π.故选C.
答案：C
6．解析：如图，设圆台上、下底面圆心分别为C，A，
半径分别为CD，AB，
由题意得CD∶AB＝1∶2，即AB＝2CD，
因为圆台的轴截面面积为9.
所以eq \f(1,2)(2AB＋2CD)AC＝9，所以AC·CD＝3，
过点D作DE⊥AB于点E，
所以BD＝eq \r(AC2＋（AB－CD）2)＝eq \r(AC2＋CD2)，
因为母线长为上底面圆的半径的eq \r(10)倍，
所以10CD2＝AC2＋CD2，即AC＝3CD.
所以AC＝3，CD＝1，所以AB＝2，
所以圆台的体积V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h＝eq \f(1,3)(π＋4π＋eq \r(π×4π))×3＝7π.故选C.
答案：C
7．解析：由题设，V＝2V1，V1＝V2＋V3，则V1＋V2＋V3＝V，A对；
如下图，连接BD，将阳马一分为二，又VA­BDE＝VA­BCD＝VD­ABC＝V3，
所以V2＝2V3，V1＝3V3＝eq \f(3,2)V2，则V＝6V3，故V2－V3＝V3＝eq \f(V,6)，所以B错，C、D对．故选B.
答案：B
8．解析：设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，则eq \f(S甲,S乙)＝eq \f(πr1l,πr2l)＝eq \f(r1,r2)＝2，
所以r1＝2r2，
又eq \f(2πr1,l)＋eq \f(2πr2,l)＝2π，则eq \f(r1＋r2,l)＝1，
所以r1＝eq \f(2,3)l，r2＝eq \f(1,3)l，
所以甲圆锥的高h1＝eq \r(l2－\f(4,9)l2)＝eq \f(\r(5),3)l，
乙圆锥的高h2＝eq \r(l2－\f(1,9)l2)＝eq \f(2\r(2),3)l，
所以eq \f(V甲,V乙)＝eq \f(\f(1,3)πr eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) h1,\f(1,3)πr eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) h2)＝eq \f(\f(4,9)l2×\f(\r(5),3)l,\f(1,9)l2×\f(2\r(2),3)l)＝eq \r(10).故选C.
答案：C
9．解析：根据斜二测画法可还原四边形ABCD的平面图，过点D作DH⊥BC，垂足为H，如图所示，
对于A，B，OA＝2OA′＝2eq \r(2)A′B′＝2eq \r(2)，OB＝O′B′＝A′B′＝1，
∴AB＝eq \r(OA2＋OB2)＝eq \r(8＋1)＝3，A正确，B错误；
对于C，D，∵BC＝B′C′＝3，AD＝A′D′＝2，∴HC＝BC＋OB－AD＝3＋1－2＝2，又DH＝OA＝2eq \r(2)，∴DC＝eq \r(DH2＋HC2)＝eq \r(8＋4)＝2eq \r(3)，C错误，D正确．故选AD.
答案：AD
10．解析：如图，借助于正方体模型，图1中三棱锥D­ABC的四个面都是直角三角形，
其直度为1，A正确；
图1中三棱锥E­BCD，三个平面CED，CBD，BCE都是直角三角形，
平面BDE为正三角形，其直度为eq \f(3,4)；
图2中三棱锥D­ABC，三个平面ABD，CBD，ABC都是直角三角形，
平面ACD为正三角形，其直度为eq \f(3,4)，故直度为eq \f(3,4)的三棱锥不止一种，B错误；
四棱锥共有5个面，底面为四边形，故其直度不可能为1，C错误；
图3中的四棱锥P­ABCD的四个侧面都是直角三角形，底面为正方形，故四棱锥的直度的最大值为eq \f(4,5)，D正确．故选AD.
答案：AD
11．解析：如图，在正四棱锥S­ABCD中，O为正方形ABCD的中心，则SO⊥平面ABCD，
则∠SAO为侧棱与底面所成的角，且tan∠SAO＝eq \f(\r(6),6).
设底面边长为2a，所以OA＝eq \r(2)a，OS＝OA·tan∠SAO＝eq \f(\r(3),3)a.
在Rt△SAO中，(eq \r(2)a)2＋(eq \f(\r(3),3)a)2＝21，所以a＝3，正四棱锥的底面边长为6米，高为eq \r(3)米，△BCS的高为eq \r(21－9)＝2eq \r(3)(米)，侧面积S＝eq \f(1,2)×6×2eq \r(3)×4＝24eq \r(3)平方米，体积V＝eq \f(1,3)×62×eq \r(3)＝12eq \r(3)(立方米).故选BD.
答案：BD
12．解析：因为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，
所以＝＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×2＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
13．解析：设圆柱与圆锥的半径均为r，母线为l，
故S1＝2πr2＋2πrl，S2＝πr2＋πrl，所以eq \f(S1,S2)＝2.
答案：2
14.
解析：如图所示，正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，用平行于底面的平面截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥P­A′B′C′D′后，得到正四棱台A′B′C′D′­ABCD，且A′B′＝2，AB＝4.记O′，O分别为正四棱台A′B′C′D′­ABCD上、下底面的中心，H′，H分别为A′B′，AB的中点，连接PO，PH，O′H′，OH，则PO′＝3，O′H′＝1，OH＝2.易知△PO′H′∽△POH，所以eq \f(PO′,PO)＝eq \f(O′H′,OH)，即eq \f(3,PO)＝eq \f(1,2)，解得PO＝6，所以OO′＝PO－PO′＝3，所以该正四棱台的体积V＝eq \f(1,3)×3×(22＋2×4＋42)＝28.
答案：28
15．解析：根据圆锥的截面图可知，细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r＝eq \f(2,3)×4＝eq \f(8,3)(cm)，
所以体积V＝eq \f(1,3)×πr2×eq \f(2,3)h＝eq \f(1,3)×eq \f(64π,9)×eq \f(16,3)＝eq \f(1024π,81)(cm3)，即A正确；
沙漏的体积V＝2×eq \f(1,3)×π×(eq \f(h,2))2×h＝eq \f(2π,3)×42×8＝eq \f(256π,3)(cm3)，即B错误；
设细沙流入下部后的高度为h1，根据细沙体积不变可知，
eq \f(1024π,81)＝eq \f(1,3)×π×(eq \f(h,2))2×h1，所以h1≈2.4(cm)，即C正确；
由上计算可得细沙的体积为eq \f(1024π,81)cm3，沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，所以一个沙时为eq \f(\f(1024π,81),0.02)≈eq \f(1024×3.14×50,81)≈1985(秒)，即D正确．故选B.
答案：B
16．解析：圆锥的底面半径为eq \r(22－（\r(3)）2)＝1，
由于eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝1×1×cs∠AOC＝－eq \f(1,2)<0，
所以∠AOC为钝角，且∠AOC＝eq \f(2π,3)，所以eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \f(2π,3)×1＝eq \f(2π,3).
圆锥的侧面展开图如图，
沿母线PA展开的圆锥的侧面展开图中弧AC所对的圆心角为∠APC＝eq \f(\f(2π,3),2)＝eq \f(π,3)，
连接EC，可得从E到C的最短路径长度为：
EC＝eq \r(PE2＋PC2－2PE·PC·cs∠APC)
＝eq \r(（\f(1,2)）2＋22－2×\f(1,2)×2cs\f(π,3))＝eq \f(\r(13),2).
答案：eq \f(\r(13),2)