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2025高考数学一轮复习-7.1-基本立体图形、简单几何体的表面积与体积【课件】
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这是一份2025高考数学一轮复习-7.1-基本立体图形、简单几何体的表面积与体积【课件】，共60页。PPT课件主要包含了知识诊断基础夯实，平行且相等，平行四边形，三角形，等腰三角形，直观图，斜二测画法，°或135°，平行于，πrl等内容，欢迎下载使用。
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
(1)多面体的结构特征
1.空间几何体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
(1)画法：常用____________.(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为______________________，z′轴与x′轴、y′轴所在平面______.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别________坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的______.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
解析 (1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的菱形的直观图是平行四边形，但邻边不一定相等，(3)错误.(4)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )(3)菱形的直观图仍是菱形.( )(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.( )
3.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为( )
所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π.
4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
解析 对于A，如两个同底的三棱锥构成的六面体，不是三棱锥，故错误；对于B，球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，与球心不共线时，可以作球的一个大圆，故正确；对于C，一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥满足题意，故正确；对于D，作直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，故错误.
5.(多选)下列说法中正确的是( )A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.过球面上任意两点可作球的一个大圆或无数个大圆C.三棱锥的四个面都可以是直角三角形D.梯形的直观图可以是平行四边形
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级( )
6.对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：
A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
例1 (1)(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是( )A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形C.长方体是直平行六面体D.存在每个面都是直角三角形的四面体
角度1 空间几何体的结构特征
解析 A中，当顶点在底面的投影是正多边形的中心才是正棱锥，不正确；B中，当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分，B不正确；C正确；D正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形.
解析 对于A，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故A错；对于B，等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图)，故B错；对于C，若底面不是矩形，则C错；对于D，可知侧棱垂直于底面，故D正确.综上，命题ABC不正确.
(2)(多选)给出下列四个命题，不正确的是( )A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x轴上(或与x轴平行)的线段，其长度保持不变；在y轴上(或与y轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，
例2 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )
解析 圆锥顶点记为O，把圆锥侧面沿母线OP展开成如图所示的扇形，
又∠POP′为△POP′一内角，
解析 ①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；
训练1 (1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3
③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.
(2)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________.
解析 如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，即r·l＝2.
由于侧面展开图为半圆，
解析 如图(1)和(2)的实际图形和直观图所示.
D′C′＝1，A′B′＝3，则直观图A′B′C′D′的面积
解析 如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，
设底面边长为2a(a＞0)，
角度1 表面积和侧面积
解析 如图所示，∵AB，AC的夹角是60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，
∵AC与圆锥底面所成的角是30°，
解析 如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得
例5 (1)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________.
又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，
解析 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH.
(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.
则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.
∴V多面体＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC
解析 连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，
训练2 (1)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
(2)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________.
解析 ∵ED⊥平面ABCD且AD⊂平面ABCD，∴ED⊥AD.∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，而DC∩ED＝D，∴AD⊥平面CDEF.
(3)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体ABEF的体积为________.
解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
例6 (1)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________.
则垂足为BC的中点M.
解析 如图，过点S作SE⊥平面ABC于点E，记球心为O.
∵球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径R，∴OB＝R，OE＝6－R.在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即R2＝12＋(6－R)2，解得R＝4，∴外接球的表面积为S＝4πR2＝64π.
解析 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆.
例7 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.
解析 平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，
训练3 (1)如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为( )
∴内切圆半径r＝tan 30°·AE
∵BP⊥PC，AO⊥平面PBC，∴三棱锥A－PBC的外接球球心M在AO上，又球M的表面积为64π，∴r外＝4，在Rt△MOB中，
∴MO＝2，MA＝4，∴AO＝6或AO＝2，
三棱锥外接球球心的确定方法
空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解.(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解.(3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
解析 根据题意得BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，即AD，BC，BD三条线两两垂直，所以可将三棱锥A－BCD放置于长方体内，如图所示.
例1 (1)在三棱锥A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为________.
一、补形法之一——存在侧棱与底面垂直
该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为长方体体对角线的中点.即外接球的半径为体对角线长的一半.此时AC为该球的直径，所以该球的表面积S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋42)＝20π.
解析 由题意得底面BCD为等边三角形，又AB⊥平面BCD，所以可将三棱锥A－BCD放置于直棱柱的一角，如图所示，
该三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球，球心为直三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点.设直三棱柱上下底面外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，取O1O2的中点为O，连接OB，O2B，则O为外接球的球心，OB为外接球的半径，O2B为△BCD外接圆的半径，OO2＝1.
所以外接球的表面积S＝4π·OB2＝8π.
解析 考虑到三棱锥A－BCD对棱相等，可利用长方体面对角线相等，将该三棱锥放置于长方体内，三组对棱即为长方体的三组面对角线，如图所示.
该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心在长方体对角线的中点，即外接球的半径为体对角线长的一半.设此长方体的长、宽、高分别为x、y、z，
二、补形法之二——对棱相等
所以AB2＋BC2＝16＝AC2，即△ABC为直角三角形.故△ABC外接圆的圆心为斜边AC的中点.取AC的中点为O1，连接PO1，则PO1⊥AC.由平面PAC⊥平面ABC，得PO1⊥平面ABC.
三、借助三角形外心确定球心位置
该三棱锥外接球的球心在线段PO1上.设球心为O，连接OA，则OA＝OP，且均为外接球的半径.
由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角，
解析 如图，取线段BC的中点D，连接AD，SD，
由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连接OA，则球O半径R＝OA，
连接OD，在Rt△ODE中，
(3)在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝1，AB⊥BC，BC⊥CP，PA⊥AB，∠CPA＝60°，则该三棱锥外接球的体积为________.
解析 如图所示，由题意知，△ABC，△PCB，△PAB均为直角三角形，而且有Rt△PCB≌Rt△PAB，则PC＝PA.
在Rt△ABC中，其外接圆的圆心为斜边AC的中点，设其为O1，过点O1作直线l⊥平面ABC，该三棱锥外接球的球心在l上.不妨设球心为O，则OA＝OB＝OC＝OP.
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
解析 棱柱的侧面都是平行四边形，A错误；其他侧面可能是平行四边形，B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，D错误；易知C正确.
1.下列说法中，正确的是( )A.棱柱的侧面可以是三角形B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形C.正方体的所有棱长都相等D.棱柱的所有棱长都相等
2.一个菱形的边长为4 cm，一内角为60°，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为( )
解析 设底面圆的半径为R，圆柱的高为h，依题意2R＝h＝2，∴R＝1.
3.现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为( )
解析 将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面.
4.(多选)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状可能是( )A.圆面 B.矩形面C.梯形面 D.椭圆面或部分椭圆面
解析 取AB的中点O，
所以CA2＋CB2＝AB2，AD2＋BD2＝AB2，可得∠ACB＝∠ADB＝90°，
解析 如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，
6.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为( )A.64π B.48π C.36π D.32π
因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，
所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.
解析 如图，连接AD1，BC1分别延长至F，G，使得AD＝AF，BC＝BG，连接EG，FG，
∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正四棱柱，∴AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥AF，AB⊥BG，
又AB＝AD＝AF，∴四边形ABGF为正方形，
∴D1E＋CE的最小值为D1G，
8.已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为( )
10.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____________cm3.
解析 由题意，圆柱底面半径为r，球的半径为R，
11.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为________，圆柱的表面积与球的表面积之比为________.
V柱＝πr2h＝π·R2·2R＝2πR3.
S球＝4πR2，S柱＝2πr2＋2πrh＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2.
12.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g.
又长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V2＝4×6×6＝144(cm3)，所以该模型的体积V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3)，因此模型所需原材料的质量为0.9×132＝118.8(g).
A.12 B.25 C.30 D.36
13.碳70(C70)是一种碳原子族，可高效杀死癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环(正五边形面)和六元环(正六边形面)组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为( )
解析 根据题意，顶点数就是碳原子数，即为70，每个碳原子被3条棱共用，面数为37，设有正五边形x个，正六边形y个，则x＋y＝37，5x＋6y＝70×3，解得x＝12，y＝25，故正六边形个数为25，即六元环的个数为25.
解析 对于A，如图1，AB1∥DC1，易证AB1∥平面C1BD，同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，AB1，AD1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD，又AE⊂平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正确.
14.(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是( )A.AE∥平面C1BDB.四面体ACEF的体积不为定值C.三棱锥A－BEF的体积为定值D.四面体ACDF的体积为定值
点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，
解析 如图所示，连接AB1，AC1.
15.若E，F是三棱柱ABC－A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，则四棱锥A－BEFC的体积为________.
因为B1E＝CF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.又四棱锥A－BEFC的高与四棱锥A－B1EFC1的高相等，
VABC－A1B1C1＝S△A1B1C1·AA1＝m，
显然OA＝OB＝OC＝OD＝15.设H为△BCD的中心，则A，O，H三点在同一条直线上.
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
(1)多面体的结构特征
1.空间几何体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
(1)画法：常用____________.(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为______________________，z′轴与x′轴、y′轴所在平面______.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别________坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的______.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
解析 (1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的菱形的直观图是平行四边形，但邻边不一定相等，(3)错误.(4)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )(3)菱形的直观图仍是菱形.( )(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.( )
3.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为( )
所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π.
4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
解析 对于A，如两个同底的三棱锥构成的六面体，不是三棱锥，故错误；对于B，球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，与球心不共线时，可以作球的一个大圆，故正确；对于C，一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥满足题意，故正确；对于D，作直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，故错误.
5.(多选)下列说法中正确的是( )A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.过球面上任意两点可作球的一个大圆或无数个大圆C.三棱锥的四个面都可以是直角三角形D.梯形的直观图可以是平行四边形
小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级( )
6.对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：
A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
例1 (1)(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是( )A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形C.长方体是直平行六面体D.存在每个面都是直角三角形的四面体
角度1 空间几何体的结构特征
解析 A中，当顶点在底面的投影是正多边形的中心才是正棱锥，不正确；B中，当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分，B不正确；C正确；D正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形.
解析 对于A，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故A错；对于B，等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图)，故B错；对于C，若底面不是矩形，则C错；对于D，可知侧棱垂直于底面，故D正确.综上，命题ABC不正确.
(2)(多选)给出下列四个命题，不正确的是( )A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x轴上(或与x轴平行)的线段，其长度保持不变；在y轴上(或与y轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，
例2 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )
解析 圆锥顶点记为O，把圆锥侧面沿母线OP展开成如图所示的扇形，
又∠POP′为△POP′一内角，
解析 ①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；
训练1 (1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3
③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.
(2)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________.
解析 如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，即r·l＝2.
由于侧面展开图为半圆，
解析 如图(1)和(2)的实际图形和直观图所示.
D′C′＝1，A′B′＝3，则直观图A′B′C′D′的面积
解析 如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，
设底面边长为2a(a＞0)，
角度1 表面积和侧面积
解析 如图所示，∵AB，AC的夹角是60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，
∵AC与圆锥底面所成的角是30°，
解析 如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得
例5 (1)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________.
又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，
解析 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH.
(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.
则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.
∴V多面体＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC
解析 连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，
训练2 (1)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
(2)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________.
解析 ∵ED⊥平面ABCD且AD⊂平面ABCD，∴ED⊥AD.∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，而DC∩ED＝D，∴AD⊥平面CDEF.
(3)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体ABEF的体积为________.
解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
例6 (1)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________.
则垂足为BC的中点M.
解析 如图，过点S作SE⊥平面ABC于点E，记球心为O.
∵球心O到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径R，∴OB＝R，OE＝6－R.在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，即R2＝12＋(6－R)2，解得R＝4，∴外接球的表面积为S＝4πR2＝64π.
解析 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆.
例7 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.
解析 平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，
训练3 (1)如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为( )
∴内切圆半径r＝tan 30°·AE
∵BP⊥PC，AO⊥平面PBC，∴三棱锥A－PBC的外接球球心M在AO上，又球M的表面积为64π，∴r外＝4，在Rt△MOB中，
∴MO＝2，MA＝4，∴AO＝6或AO＝2，
三棱锥外接球球心的确定方法
空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解.(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解.(3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
解析 根据题意得BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，即AD，BC，BD三条线两两垂直，所以可将三棱锥A－BCD放置于长方体内，如图所示.
例1 (1)在三棱锥A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为________.
一、补形法之一——存在侧棱与底面垂直
该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为长方体体对角线的中点.即外接球的半径为体对角线长的一半.此时AC为该球的直径，所以该球的表面积S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋42)＝20π.
解析 由题意得底面BCD为等边三角形，又AB⊥平面BCD，所以可将三棱锥A－BCD放置于直棱柱的一角，如图所示，
该三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球，球心为直三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点.设直三棱柱上下底面外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，取O1O2的中点为O，连接OB，O2B，则O为外接球的球心，OB为外接球的半径，O2B为△BCD外接圆的半径，OO2＝1.
所以外接球的表面积S＝4π·OB2＝8π.
解析 考虑到三棱锥A－BCD对棱相等，可利用长方体面对角线相等，将该三棱锥放置于长方体内，三组对棱即为长方体的三组面对角线，如图所示.
该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心在长方体对角线的中点，即外接球的半径为体对角线长的一半.设此长方体的长、宽、高分别为x、y、z，
二、补形法之二——对棱相等
所以AB2＋BC2＝16＝AC2，即△ABC为直角三角形.故△ABC外接圆的圆心为斜边AC的中点.取AC的中点为O1，连接PO1，则PO1⊥AC.由平面PAC⊥平面ABC，得PO1⊥平面ABC.
三、借助三角形外心确定球心位置
该三棱锥外接球的球心在线段PO1上.设球心为O，连接OA，则OA＝OP，且均为外接球的半径.
由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角，
解析 如图，取线段BC的中点D，连接AD，SD，
由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连接OA，则球O半径R＝OA，
连接OD，在Rt△ODE中，
(3)在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝1，AB⊥BC，BC⊥CP，PA⊥AB，∠CPA＝60°，则该三棱锥外接球的体积为________.
解析 如图所示，由题意知，△ABC，△PCB，△PAB均为直角三角形，而且有Rt△PCB≌Rt△PAB，则PC＝PA.
在Rt△ABC中，其外接圆的圆心为斜边AC的中点，设其为O1，过点O1作直线l⊥平面ABC，该三棱锥外接球的球心在l上.不妨设球心为O，则OA＝OB＝OC＝OP.
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
解析 棱柱的侧面都是平行四边形，A错误；其他侧面可能是平行四边形，B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，D错误；易知C正确.
1.下列说法中，正确的是( )A.棱柱的侧面可以是三角形B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形C.正方体的所有棱长都相等D.棱柱的所有棱长都相等
2.一个菱形的边长为4 cm，一内角为60°，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为( )
解析 设底面圆的半径为R，圆柱的高为h，依题意2R＝h＝2，∴R＝1.
3.现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为( )
解析 将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面.
4.(多选)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状可能是( )A.圆面 B.矩形面C.梯形面 D.椭圆面或部分椭圆面
解析 取AB的中点O，
所以CA2＋CB2＝AB2，AD2＋BD2＝AB2，可得∠ACB＝∠ADB＝90°，
解析 如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，
6.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为( )A.64π B.48π C.36π D.32π
因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，
所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.
解析 如图，连接AD1，BC1分别延长至F，G，使得AD＝AF，BC＝BG，连接EG，FG，
∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正四棱柱，∴AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥AF，AB⊥BG，
又AB＝AD＝AF，∴四边形ABGF为正方形，
∴D1E＋CE的最小值为D1G，
8.已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为( )
10.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____________cm3.
解析 由题意，圆柱底面半径为r，球的半径为R，
11.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为________，圆柱的表面积与球的表面积之比为________.
V柱＝πr2h＝π·R2·2R＝2πR3.
S球＝4πR2，S柱＝2πr2＋2πrh＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2.
12.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g.
又长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V2＝4×6×6＝144(cm3)，所以该模型的体积V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3)，因此模型所需原材料的质量为0.9×132＝118.8(g).
A.12 B.25 C.30 D.36
13.碳70(C70)是一种碳原子族，可高效杀死癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环(正五边形面)和六元环(正六边形面)组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为( )
解析 根据题意，顶点数就是碳原子数，即为70，每个碳原子被3条棱共用，面数为37，设有正五边形x个，正六边形y个，则x＋y＝37，5x＋6y＝70×3，解得x＝12，y＝25，故正六边形个数为25，即六元环的个数为25.
解析 对于A，如图1，AB1∥DC1，易证AB1∥平面C1BD，同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，AB1，AD1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD，又AE⊂平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正确.
14.(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是( )A.AE∥平面C1BDB.四面体ACEF的体积不为定值C.三棱锥A－BEF的体积为定值D.四面体ACDF的体积为定值
点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，
解析 如图所示，连接AB1，AC1.
15.若E，F是三棱柱ABC－A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，则四棱锥A－BEFC的体积为________.
因为B1E＝CF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.又四棱锥A－BEFC的高与四棱锥A－B1EFC1的高相等，
VABC－A1B1C1＝S△A1B1C1·AA1＝m，
显然OA＝OB＝OC＝OD＝15.设H为△BCD的中心，则A，O，H三点在同一条直线上.
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