2024年新高考数学一轮复习 第七章 第二节 第一课时 空间点、线、面的位置关系

课时跟踪检测（四十七） 空间点、线、面的位置关系

一、全员必做题

1．(多选)下列叙述正确的是( )

A．若P∈α∩β，且α∩β＝l，则P∈l

B．若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面

C．三点A，B，C确定一个平面

D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α

解析：选ABD选项A，点P是两平面的公共点，显然在交线上，故正确；选项B，由基本事实的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由基本事实2，直线上有两点在一个平面内，则这条直线在平面内．

2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是( )

A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面

B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行

C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直

D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行

解析：选Am，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．

3．在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则( )

A．AE＝CF，AC与EF是共面直线

B．AE≠CF，AC与EF是共面直线

C．AE＝CF，AC与EF是异面直线

D．AE≠CF，AC与EF是异面直线

解析：选D如图，由已知得，AE＝＝＝，CF＝＝＝，∴AE≠CF，在△ABC中，O是BC的中点，F是AB的中点，∴OF∥AC，∴AC与OF是共面直线，若AC与EF是共面直线，则O，F，A，C，E在同一平面，显然矛盾，故AC与EF是异面直线．故选D.

4.如图，圆台OO1的上底面半径为O1A1＝1，下底面半径为OA＝2，母线长AA1＝2，过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线OO1与A1C所成角的大小为( )

A．30°　　　B．45°　　　　　C．60°　　　　　D．90°

解析：选B在直角梯形OO1A1A中，∵B为OA的中点，OA＝2，∴O1A1＝OB＝AB＝1，连接A1B，易知四边形OO1A1B为矩形，∴OO1∥A1B，∴∠BA1C为异面直线OO1与A1C所成的角，在Rt△AA1B中，AA1＝2，AB＝1，∴A1B＝；连接OC，在Rt△OBC中，由OB＝1，OC＝2得BC＝；在Rt△A1BC中，BC＝A1B，∴∠BA1C＝45°.

5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点．设AM与平面BB1D1D的交点为O，则( )

A．三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1

B．三点D1，O，B不共线，且OB＝2OD1

C．三点D1，O，B共线，且OB＝OD1

D．三点D1，O，B不共线，且OB＝OD1

解析：选A在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AD1，BC1，如图，C1D1∥CD∥AB，连接BD1，平面ABC1D1∩平面BB1D1D＝BD1，因为M为棱D1C1的中点，则M∈平面ABC1D1，而A∈平面ABC1D1，即AM⊂平面ABC1D1，又O∈AM，则O∈平面ABC1D1，因为AM与平面BB1D1D的交点为O，则O∈平面BB1D1D，于是得O∈BD1，即D1，O，B三点共线，显然D1M∥AB且D1M＝D1C1＝AB，于是得OD1＝BO，即OB＝2OD1，所以三点D1，O，B共线，且OB＝2OD1.

6.(2023·开封模拟)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1，则异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为( )

A.  B.

C.  D.

解析：选C延长AC至D使得CD＝AC，则CD与A1C1平行且相等，四边形CDC1A1是平行四边形，所以A1C∥C1D，所以∠BC1D是异面直线A1C与BC1所成的角或其补角，正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，CC1⊥BC，同理CC1⊥CD，设AB＝1，则A1C＝BC1＝C1D＝，∠BCD＝120°，CD＝AC＝CB，∠CBD＝∠CDB＝30°，BD＝2×1×cos 30°＝，cos∠BC1D＝＝＝，所以异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为.故选C.

7．已知△ABC的两边AC，BC分别交平面α于点M，N，设直线AB与平面α交于点O，则点O与直线MN的位置关系是________．

解析：∵O在直线AB上，AB⊂平面ABC，∴O∈平面ABC.又∵O∈α，∴O在平面ABC与α的交线上．又平面ABC∩平面α＝MN，∴O∈MN.

答案：O∈MN

8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的个数是____．

①直线AC1在平面CC1B1B上；

②由点A，O，C可以确定一个平面；

③直线OO1与点D不能确定一个平面；

④由点A，C1，B1确定的平面与由点A，C1，D确定的平面是同一平面．

解析：因为直线AC1与平面CC1B1B相交于点C1，所以①错误；因为点A，O，C三点共线，所以可以确定无数个平面，②错误；因为点D不在直线OO1上，所以直线OO1与点D能确定一个平面，③错误；因为直线AD∥B1C1，所以点A，D，B1，C1四点共面，故④正确．故正确的命题只有一个．

答案：1

9．在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号)

①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；

②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；

③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；

④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．

解析：对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；对于③，直线l与平面内的任意直线垂直时，得到l⊥α，所以③正确；对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．

答案：①②④

10．已知长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为6π，若AB＝1，BC＝2，则直线A1B与直线AD1所成角的余弦值为________．

解析：设长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球半径为r，则4πr2＝6π，可得r＝，则(2r)2＝AB2＋BC2＋BB，∴BB1＝1，连接AC，CD1，如图所示．因为BC∥A1D1且BC＝A1D1，故四边形A1BCD1为平行四边形，则CD1∥A1B，故直线A1B与直线AD1所成角为∠AD1C或其补角，由勾股定理可得AC＝＝，AD1＝＝，CD1＝＝，由余弦定理可得cos∠AD1C＝＝，因此，直线A1B与直线AD1所成角的余弦值为.

答案：

11.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥FA，BE＝FA，又G，H分别为FA，FD的中点．

(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH∥AD，GH＝AD.又BC∥AD，BC＝AD，故GH∥BC，GH＝BC.所以四边形BCHG是平行四边形．

(2)C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE∥FA，BE＝FA，G是FA的中点知，BE∥GF，BE＝GF，则四边形BGFE是平行四边形，所以EF∥BG，EF＝BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面．

12.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．

(1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角的大小．

解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾，故直线EF与BD是异面直线．

(2)如图，取CD的中点G，连接EG，FG，

则AC∥FG，EG∥BD.

所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角．

又因为AC⊥BD，则FG⊥EG，

在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.

二、重点选做题

1．(2023·赣州一模)在正四棱锥P-ABCD中，点E是棱PD的中点．若直线PB与直线CE所成角的正切值为，则的值为( )

A．1       B.         C．2  D．2

解析：选C如图，取正方形ABCD的中心O，连接BD，OE，OP，OC，因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OC，又因为四边形ABCD为正方形，所以OC⊥BD，因为PO∩BD＝O，所以OC⊥平面PBD，所以OC⊥OE，△OEC为直角三角形，因为OE∥PB，所以直线PB与直线CE所成的角即为直线OE与直线CE所成的角，即tan∠OEC＝，所以＝，即＝，所以＝，所以＝2，故选C.

2．一封闭的正方体容器ABCD-A1B1C1D1，P，Q，R分别是AB，BC和C1D1的中点，由于某种原因，P，Q，R处各有一个小洞，当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时，容器中水的上表面形状是( )

A．三角形  B．四边形

C．五边形  D．六边形

解析：选D如图，设过P，Q，R三点的平面为平面α.分别取A1D1，A1A，CC1的中点F，E，M，连接RF，FE，EP，PQ，QM，MR，EM，QF，RP.由正方体的性质知RF∥PQ，所以F∈平面α.又RP∥MQ，所以M∈平面α.又EF∥RP，所以E∈平面α.所以六边形RFEPQM为容器中水的上表面的形状．故选D.

3．(多选)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为E，且圆E是正方形ABCD的内切圆．F为圆E上一点，G为棱BB1上一点(不可与B，B1重合)，H为棱A1B1的中点，则( )

A．HF∈[2,2]

B．△B1EG面积的取值范围为(0，]

C．EH和FG是异面直线

D．EG和FH可能是共面直线

解析：选AD当F为AB中点时，HF最小为2，当F为CD中点时，HF最大为2，故A正确；由S△B1EG＝×BE×B1G＝B1G∈(0，)，故B错误；由图，当F在圆上运动的过程中，定直线EH和FG可能相交，故不一定为异面直线，故C错误；由题设知EG⊂平面EBB1，而F在圆上运动过程中FH和平面EBB1可能相交，故EG和FH可能相交，则EG和FH可能是共面直线，故D正确．故选A、D.

4．如图1，在边长为4的正三角形ABC中，D，F分别为AB，AC的中点，E为AD的中点．将△BCD与△AEF分别沿CD，EF同侧折起，使得二面角A-EF-D与二面角B-CD-E的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．

(1)在多面体中，求证：A，B，D，E四点共面；

(2)求多面体的体积．

解：(1)证明：因为二面角A-EF-D的大小等于90°，所以平面AEF⊥平面DEFC，

又AE⊥EF，AE⊂平面AEF，平面AEF∩平面DEFC＝EF，所以AE⊥平面DEFC，

同理，可得BD⊥平面DEFC，

所以AE∥BD，故A，B，D，E四点共面．

(2)因为AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，

所以AE是四棱锥A-CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，

又AE＝DE＝1，CD＝2，EF＝，BD＝2，

所以V多面体＝VA-CDEF＋VA-BCD＝S梯形CDEF·AE＋S△BCD·DE＝.