第1讲 集合的概念与运算 导学案 -2024届高考数学一轮复习

第一讲 集合的概念与运算

一、学习目标

1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.

2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.

3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.

4.在具体情境中,了解全集与空集的含义.

5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.

6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.

7.能使用Venn图表达集合的关系及运算.

二、基本知识回顾

1.集合的相关概念

(1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性.

(2)元素与集合的两种关系:属于,记为　　 　; 不属于,记为　　 　. 

(3)集合的三种表示方法:　　　　、　　 　　、图示法. 

(4)五个特定的集合:

2.集合间的基本关系

【微点拨】

1.若集合A是集合B的真子集,则集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中.任何一个集合是它本身的子集.

2.当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊈B(或B⊉A),读作“A不含于B”(或“B不包含A”).

3.空集是不含任何元素的集合,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

【微思考】若一个集合A有n个元素,则集合A有几个子集,几个真子集?            　 

3.集合的基本运算

【微点拨】

1.求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”,集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素,剩下的元素构成的集合即为∁UA.

2.集合运算的基本性质

(1)并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A.

(2)交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A.

(3)补集的性质:A∩(∁UA)=∅;A∪(∁UA)=U;∁U(∁UA)=A;

∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).

【微思考】从A∩B=A可以得到集合A,B有什么关系?从A∪B=A可以得到集合A,B有什么关系?       　       

【常用结论】

1.如图所示,用图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B,A∩(∁UB),B∩(∁UA),∁U(A∪B).

2.若card表示有限集合中元素的个数,则card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).

三、习题精讲精炼

考点一 集合的含义与表示

【典例突破】

例1.(1)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为(　　)

A.9  B.8  C.5  D.4

(2)(2021·河北石家庄二模)已知集合A=,B={0,1-b,1}(a,b∈R),若A=B,则a+2b=(　　)

A.-2  B.2  C.-1  D.1

【对点训练】

(1)已知集合A={x∈N|1<x<log2k},若集合A中至少有3个元素,则k的取值范围为(　　)

A.(8,+∞)    B.[8,+∞)    C.(16,+∞)    D.[16,+∞)

(2)( 2021·广西南宁二中月考)定义:当x∈Z,y∈Z时,P(x,y)成为“格点”,则集合{(x,y)|x2+y2≤2}对应的图形中“格点”的个数为(　　)

A.7  B.8    C.9  D.10

考点二 集合间的基本关系

【典例突破】

例2.(1)( 2021·浙江诸暨模拟)已知集合满足{1,2}⊆A,且A⊆{1,2,3},则集合A可以是(　　)

A.{3}   B.{1,3}       C.{2,3}  D.{1,2}

(2)( 2021·山东潍坊四县市联考)已知集合A={x∈N|x2-x-6<0},以下可为A的子集的是(　　)

A.{x|-2<x<3}     B.{x|0<x<3}   C.{0,1,2}  D.{-1,1,2}

(3)( 2021·山西临汾三模)已知A={x|x2+6x+8≤0},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)      C.(-2,+∞)      D.[-2,+∞)

对点训练2(1)已知集合A=,B={x|≤2,x∈Z},则满足条件A⊆C,且C⊆B的集合C的个数为(　　)

A.1  B.2   C.4  D.8

(2)集合M=,N=,则两集合M,N的关系为(　　)

A.M∩N=⌀ B.M=N    C.M⊆N D.N⊆M

考点三 集合的基本运算(多考向探究)

考向1.集合的运算

【典例突破】

例3.(1)( 2021·全国乙,文1)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则∁U(M∪N)=(　　)

A.{5}  B.{1,2}     C.{3,4} D.{1,2,3,4}

(2)( 2021·西藏拉萨二模)已知集合A={x|x(x-3)≤0},B={-1,2,3,5},则集合A∩B=(　　)

A.⌀  B.{2}    C.{2,3} D.{-1,0,1,2,3,5}

(3)( 2021·河南新乡一模)已知集合A={x|3-x>1},B={x|3-3x>0},则(　　)

A.A∩B={x|x>1}    B.A∪B={x|x>2}    C.A∪B=R    D.A∩(∁RB)={x|1≤x<2}

对点训练3(1)( 2021·全国乙,理2)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}, T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=(　　)

A.⌀  B.S  C.T  D.Z

(2)( 2021·福建泉州一模)已知集合A={(x,y)|x+y=8,x,y∈N+},

B={(x,y)|y>x+1},则A∩B中元素的个数为(　　)

A.2  B.3  C.4   D.5

(3)( 2021·湖北武汉模拟)已知全集U={x∈N|0<x<8},A∩(∁UB)={1,2}, ∁U(A∪B)={5,6},B∩(∁UA)={4,7},则A集合为(　　)

A.{1,2,4}      B.{1,2,7}      C.{1,2,3} D.{1,2,4,7}

考向2.利用集合的运算求参数

【典例突破】

例4.(1) 2021·(山东聊城三模)已知集合A={1,2},B={a,a2+3},若A∩B={1},则实数a的值为(　　)

A.0  B.1     C.2  D.3

(2)已知集合A={x|x2-x-12>0},B={x|x≥m}.若A∩B={x|x>4},则实数m的取值范围是(　　)

A.(-4,3) B.[-3,4]   C.(-3,4)   D.(-∞,4]

(3)已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},若A∩B=B,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,1)  B.(-∞,1]   C.(2,+∞) D.[2,+∞)

对点训练4(1)( 2021·江西上饶高三联考)设集合A={x∈Z|0<x<5},B={x|a<x<5},若A∩B={2,3,4},则a的取值范围是(　　)

A.(1,2)  B.(1,2]   C.[1,2)  D.[1,2]

(2)( 2021·海南海口高考调研)设集合A={x|x2-9≤0},B={x|3x+a≥0},且A∩B={x|1≤x≤3},则a=(　　)

A.-1  B.-3    C.1  D.3

考点四 集合的新定义问题

【典例突破】

例5.(云南曲靖模拟)设A,B是非空集合,定义:A×B={x|x∈A∪B,且x∉A∩B}.已知A={x|y=              },B={x|x>1},则A×B等于(　　)

A.[0,1]∪(2,+∞)  B.[0,1)∪(2,+∞)

C.[0,1]    D.[0,2]

对点训练5  (2021·福建厦门二中高三月考)若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合个数为　　　             　　.