2022高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算学案

第1讲　集合的概念与运算

1．集合与元素

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．

(2)集合与元素的关系：若a属于A，记作a∈A；若b不属于A，记作b∉A．

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．

(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R，无理数集可表示为∁RQ.

2．集合间的基本关系

子集：A中任意一个元素均为B中的元素．

符号语言：A⊆B或B⊇A.

相等：集合A与集合B中的所有元素都相同．

符号语言：A⊆B且B⊆A⇔A＝B.

真子集：A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素．符号语言：AB或BA.

空集：空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．符号语言：∅⊆A，∅B(B≠∅)．

3．集合的基本运算

交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记为A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．

并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记为A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．

补集：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为∁SA，即∁SA＝{x|x∈S且x∉A}．

常用结论

1．并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

2．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

3．补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．

常见误区

1．忽视集合中元素的互异性致误；

2．集合运算中端点取值把握不准致误；

3．忘记空集的情况致误．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(　　)

(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.(　　)

(3)若AB，则A⊆B且A≠B.(　　)

(4)N*NZ.(　　)

(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×

2．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)

A．1 B．3

C．6 D．9

解析：选C.当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.

故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．

3．(2020·新高考卷Ⅰ改编)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝________，A∩B＝________．

解析：A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝{x|1≤x＜4}，A∩B＝{x|2＜x≤3}．

答案：{x|1≤x＜4}　{x|2＜x≤3}

4．(易错题)已知集合U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝________．

解析：因为A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，所以∁UA＝{－1}．

答案：{－1}

5．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是________．

解析：由A∩B＝A，可得A⊆B，又A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以a≥2.

答案：{a|a≥2}

　　　　　　集合的含义及表示

[题组练透]

1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　)

A．5个　 B．4个

C．3个 D．无数个

解析：选C.依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素．

2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)

A．1 B．－1

C．2 D．－2

解析：选C.因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.

3．(多选)已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为(　　)

A．0 B．

C．1 D．2

解析：选BD.因为集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，

所以或

解得或

所以m＋n＝或m＋n＝2.故选BD.

4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，

则m＝1或m＝－.

当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；

当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.

答案：－

与集合中元素有关问题的求解策略

　　　　　　集合间的基本关系

(1)(2021·新高考八省联考模考)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝(　　)

A．∅　　　 B．M

C．N D．R

(2)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) 

B．[－1，2]

C．[－2，1] 

D．[2，＋∞)

【解析】　(1)因为∁RM⊆N，所以M⊇∁RN，据此可得M∪(∁RN)＝M.　

故选B.

(2)集合A＝{x|y＝}＝{x|－2≤x≤2}，因为B⊆A，所以有

所以－2≤a≤1.

【答案】　(1)B　(2)C

[提醒]　题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．　

1．(多选)已知集合M＝{x|x<2}，N＝{x|x2－x<0}，则下列正确的是(　　)

A．M∪N＝R B．N⊆M

C．N∪∁RM＝R D．M∩N＝N

解析：选BD.因为N＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}，则N⊆M，故BD正确．

2．已知集合A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(　　)

A．7 B．8

C．15 D．16

解析：选A.方法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．

方法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．

3．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．

解析：由题易得M＝{a}．因为M∩N＝N，

所以N⊆M，

所以N＝∅或N＝M，

所以a＝0或a＝±1.

答案：0或1或－1

　　　　　　集合的基本运算

角度一　集合的运算

(1)(多选)已知全集U＝R，集合M＝{x|－3≤x<4}，N＝{x|x2－2x－8≤0}，则(　　)

A．M∪N＝{x|－3≤x<4}

B．M∩N＝{x|－2≤x<4}

C．(∁UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)

D．M∩(∁UN)＝(－3，－2)

(2)(2020·高考江苏卷)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{0，2，3}，则A∩B＝__________．

【解析】　(1)由x2－2x－8≤0，得－2≤x≤4，所以N＝{x|－2≤x≤4}，则M∪N＝{x|－3≤x≤4}，A错误；M∩N＝{x|－2≤x<4}，B正确；由于∁UM＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C正确；由于∁UN＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M∩(∁UN)＝[－3，－2)，D错误．故选BC.

(2)由交集的定义可得A∩B＝{0，2}．

【答案】　(1)BC　(2){0，2}

集合基本运算的求解策略

角度二　利用集合的运算求参数

(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　)

A．－4 B．－2

C．2 D．4

(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．4

【解析】　(1)方法一：易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－}，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B.

方法二：由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；若a＝－2，则B＝{x|x≤1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；若a＝2，则B＝{x|x≤－1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，排除C；若a＝4，则B＝{x|x≤－2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|x＝－2}，不满足题意．故选B.

(2)根据集合并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.

【答案】　(1)B　(2)D

利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法

(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．

(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．

[提醒]　在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．

1．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)

A．2　　 B．3

C．4 D．6

解析：选C.由题意得，A∩B＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C.

2．(2021·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(七))若全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所示的集合为(　　)

A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}

C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}

解析：选D.∁UA＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，记所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．

3．(2021·武昌区高三调研)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|a－2<x<a}，若A∩B＝{x|－1<x<0}，则A∪B＝(　　)

A．(－1，2) B．(0，2)

C．(－2，1) D．(－2，2)

解析：选D.由x2－x－2<0得－1<x<2，即A＝{x|－1<x<2}．因为B＝{x|a－2<x<a}，A∩B＝{x|－1<x<0}，所以a＝0，所以B＝{x|－2<x<0}，所以A∪B＝(－2，2)，故选D.

核心素养系列1　数学抽象——集合的新定义问题

以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．

(1)定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　　)

A．6 B．7

C．8 D．9

(2)(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是(　　)

A．数域必含有0，1两个数

B．整数集是数域

C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域

D．数域必为无限集

【解析】　(1)由题意知，B＝{0，1，2}，＝{0，，，，1，}，则∪B＝{0，，，，1，，2}，共有7个元素，故选B.

(2)当a＝b时，a－b＝0，＝1∈P，故可知A正确；当a＝1，b＝2时，∉Z不满足条件，故可知B不正确；当M比Q多一个元素i时，则会出现1＋i∉M，所以它也不是一个数域，故可知C不正确；

根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D正确．

【答案】　(1)B　(2)AD

解决集合的新定义问题的两个关键点

(1)准确转化，即解决新定义问题时，首先要读懂题意，对题目进行恰当的转化，切忌与已有概念混淆；

(2)方法选取，即对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法等方法，并结合集合的相关性质求解．

1．若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)

A．1 B．3

C．7 D．31

解析：选B.因为x∈A，且∈A，所以－1∈A，2∈A且∈A，所以集合M的非空子集中具有伙伴关系的集合有{－1}，，，共3个．故选B.

2．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．

解析：由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，

又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，

结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．

答案：{0}∪[2，＋∞)