2023届高考一轮复习讲义（文科）第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　集合的概念与运算学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第一章　集合与常用逻辑用语 第1讲　集合的概念与运算学案，共11页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。


一、知识梳理
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
[注意] N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
2．集合间的基本关系
3.集合的基本运算
常用结论
(1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅.
(3)A∪A＝A，A∪∅＝A.
(4)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
二、习题改编
1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤eq \r(2 018)}，a＝2eq \r(2)，则( )
A．a∈P B．{a}∈P
C．{a}⊆P D．a∉P
解析：选D.因为a＝2eq \r(2)不是自然数，而集合P是不大于eq \r(2 018)的自然数构成的集合，所以a∉P.故选D.
2．(必修1P12B组T1改编)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________．
解析：由已知得M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，所以M∪N的子集有26＝64(个)．
答案：64
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．( )
(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.( )
(3)若AB，则A⊆B且A≠B.( )
(4)N*NZ.( )
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)(1)忽视集合的互异性致错；
(2)集合运算中端点取值致错；
(3)忘记空集的情况导致出错．
1．已知集合U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝________．
解析：因为A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，所以∁UA＝{－1}．
答案：{－1}
2．已知集合A＝{x|(x－1)(x－3)<0}，B＝{x|2解析：由已知得A＝{x|12}．
答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)
3．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
解析：易得M＝{a}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝±1.
答案：0或1或－1
集合的基本概念(师生共研)
(1)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A且y∈A且x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．10
(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
【解析】 (1)由x∈A，y∈A，x－y∈A，得x－y＝1或x－y＝2或x－y＝3或x－y＝4，所以集合B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，所以集合B中有10个元素．
(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.
当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，
此时集合A中有重复元素3，
所以m＝1不符合题意，舍去；
当2m2＋m＝3时，解得m＝－eq \f(3,2)或m＝1(舍去)，
当m＝－eq \f(3,2)时，m＋2＝eq \f(1,2)≠3，符合题意．所以m＝－eq \f(3,2).
【答案】 (1)D (2)－eq \f(3,2)
eq \a\vs4\al()
与集合中元素有关问题的求解策略
1．已知集合A＝{x|x∈Z，且eq \f(3,2－x)∈Z}，则集合A中的元素个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C.因为eq \f(3,2－x)∈Z，
所以2－x的取值有－3，－1，1，3，
又因为x∈Z，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C.因为{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，则eq \f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
3．设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；
当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；
当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；
当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，
所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.
集合间的基本关系(师生共研)
(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m【解析】 (1)由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因为A⊆C⊆B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．
(2)当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.
当m>0时，因为A＝{x|－1当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－m≥－1，,m≤3，,－m综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．
【答案】 (1)D (2)(－∞，1]
eq \a\vs4\al()
[提醒] 题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．
1．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－eq \r(5)A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R
C．B⊆A D．A⊆B
解析：选B.因为A＝{x|x>2或x<0}，因此A∪B＝{x|x>2或x<0}∪{x|－eq \r(5)2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为( )
A．7 B．8
C．15 D．16
解析：选A.法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．
法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．
3．设集合A＝{x|1A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}
解析：选D.由A∩B＝A，可得A⊆B，又A＝{x|1 集合的基本运算(多维探究)
角度一 集合的运算
(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝( )
A．{1，6} B．{1，7}
C．{6，7} D．{1，6，7}
(2)(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U＝R，集合A＝{x|－3A．{x|x≤－3或x≥1} B．{x|x<－1或x≥3}
C．{x|x≤3} D．{x|x≤－3}
【解析】 (1)依题意得∁UA＝{1，6，7}，故B∩∁UA＝{6，7}．故选C.
(2)因为B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3－3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}．故选D.
【答案】 (1)C (2)D
eq \a\vs4\al()
集合基本运算的求解策略
角度二 利用集合的运算求参数
(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．－12
C．a≥－1 D．a>－1
(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
【解析】
(1)因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.
(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.
【答案】 (1)D (2)D
eq \a\vs4\al()
根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．
1．(2019·高考天津卷)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( )
A．{2} B．{2，3}
C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}
解析：选D.通解：因为A∩C＝{1，2}，B＝{2，3，4}，所以(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．故选D.
优解：因为B＝{2，3，4}，所以(A∩C)∪B中一定含有2，3，4三个元素，故排除A，B，C，选D.
2．(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1≥0}，则下图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{－1} B．{0}
C．{－1，0} D．{－1，0，1}
解析：选B.阴影部分对应的集合为A∩∁RB，B＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≤－1或x≥1}，则∁RB＝{x|－13．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)
C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：选D.因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m≤－2.
4．已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则下列结论正确的是( )
A．M∩N＝N B．M∩(∁UN)＝∅
C．M∪N＝U D．M⊆(∁UN)
解析：选A.由题意知M＝{x|x<1}，N＝{x|0核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题
以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．
定义集合的商集运算为eq \f(A,B)＝{x|x＝eq \f(m,n)，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|x＝eq \f(k,2)－1，k∈A}，则集合eq \f(B,A)∪B中的元素个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
【解析】 由题意知，B＝{0，1，2}，eq \f(B,A)＝{0，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,6)，1，eq \f(1,3)}，则eq \f(B,A)∪B＝{0，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,6)，1，eq \f(1,3)，2}，共有7个元素，故选B.
【答案】 B
eq \a\vs4\al()
解决集合创新型问题的方法
(1)要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中．
(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．
1．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．
解析：由题意可知－2x＝x2＋x，
所以x＝0或x＝－3.
而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．
当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，
所以A∩B＝{0，6}．
答案：{0，6}
2．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0解析：由已知A＝{x|0又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，
结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．
答案：{0}∪[2，＋∞)
[基础题组练]
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>1}，则∁UA＝( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－1，1) D．[－1，1]
解析：选D.因为全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>1}，所以∁UA＝{x|－1≤x≤1}，故选D.
2．(2020·辽宁辽阳期末)设集合A＝{x∈Z|x>4}，B＝{x|x2<100}，则A∩B的元素个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C.因为B＝{x|－103．已知集合A＝{0}，B＝{－1，0，1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C.由题意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0，1}，{0，－1，1}，即符合条件的集合C共有4个．故选C.
4.已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A．(－2，1)
B．[－1，0]∪[1，2)
C．(－2，－1)∪[0，1]
D．[0，1]
解析：选C.因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.
5．(2020·江苏南京联合调研改编)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，则A∩B＝______，∁UA＝______．
解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，所以A∩B＝{3}，则∁UA＝{2，5}．
答案：{3} {2，5}
6．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________．
解析：由于A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，结合数轴，∁U(A∪B)＝{x|0答案：{x|07．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝(－∞，5]，则a的值是________．
解析：因为集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝(－∞，5]，所以a＝5.
答案：5
8．已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．
(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)当B⊆∁RA时，求实数m的取值范围．
解：(1)因为m＝1时，B＝{x|1≤x＜4}，
所以A∪B＝{x|－1(2)∁RA＝{x|x≤－1或x>3}．
当B＝∅时，即m≥1＋3m，解得m≤－eq \f(1,2)；
当B≠∅时，要使B⊆∁RA成立，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<1＋3m，,1＋3m≤－1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<1＋3m，,m>3，))解得m>3.
综上可知，实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪(3，＋∞)．
[综合题组练]
1．已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y|y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(x)，x∈R))，则下列选项正确的是( )
A．M＝N B．N⊆M
C．M＝∁RN D．∁RN⃘M
解析：选C.由题意得M＝{y|y≤0}，N＝{y|y>0}，所以∁RN＝{y|y≤0}，M＝∁RN.故C正确，A，B，D错误．
2．(创新型)如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|2x－x2≥0}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A⊗B＝( )
A．{x|0C．{x|x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}
解析：选D.因为A＝{x|2x－x2≥0}＝[0，2]，B＝{y|y＝3x，x>0}＝(1，＋∞)，所以A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1，2]，由题图知A⊗B＝[0，1]∪(2，＋∞)，故选D.
3．(2020·济南外国语学校月考)集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R.若M∩(∁UN)＝∅，则a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选B.由集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，可得M＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，∁UN＝eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(a,2))).要使M∩(∁UN)＝∅，则－eq \f(a,2)≤－eq \f(1,2)，解得a≥1，故选B.
4．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．
解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]，
因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，
即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB(或BA)
集合相等
集合A，B中元素相同
A＝B
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}