解答题专项一 导数及其运用学案——2024届高三数学一轮复习

高考解答题专项一  导数及其运用

第1课时　利用导数证明不等式

一、考情分析

导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一,近几年高考命题的趋势是稳中求变、变中求新、新中求活,纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后两个题目位置,对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学核心素养都有较深入的考查.

二、习题精炼精讲

考向1.“比较法”构造函数证明不等式

例1.(四川乐山十校联考)已知函数f(x)=ex-ax2+1(a为常数).

(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2,求a,b的值;

(2)讨论函数f'(x)的单调性;

(3)当a=1,x>0时,求证:f(x)≥(e-2)x+2.

对点训练1已知函数f(x)=xln x.

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)求证:f(x)<x2+x.

考向2.“拆分法”构造函数证明不等式

例2.(广东佛山高三模拟)已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R).

(1)讨论函数f(x)在x∈(0,e]的单调性;

(2)当x∈(0,e]时,求证:e2x2>(x+1)ln x+x.

对点训练2(福建建瓯芝华中学高三期中)已知函数f(x)=+aln x , g(x)=.

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)求证:a=1时,f(x)+g(x)-ln x>e.

考向3.“放缩法”构造函数证明不等式

例3.已知函数f(x)=ax-ln x-1.

(1)若f(x)≥0恒成立,求a的最小值;

(2)求证:+x+ln x-1≥0;

(3)已知k(e-x+x2)≥x-xln x恒成立,求k的取值范围.

对点训练3已知函数f(x)=ex-x2.

(1)求函数f(x)的图像在x=1处的切线方程;

(2)求证:当x>0时,≥ln x+1.

考向4.“换元法”构造函数证明不等式

例4.设函数f(x)=ax-ln x++b(a,b∈R).若函数f(x)有两个零点x1,x2,求证:x1+x2+2>2ax1x2.

对点训练4已知函数f(x)=2ax-ln x,其中a∈R.

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)记函数f(x)的导函数为f'(x),当a>0时,若x1,x2(0<x1<x2)满足f(x1)=f(x2),证明:f'(x1)+f'(x2)<0.

高考解答题专项一  导数及其运用

第2课时　利用导数研究不等式恒(能)成立问题

考向1.分离参数法求取值范围

例1.(河南平顶山第二次质检)已知函数f(x)=(m-ln x)x,x>1.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)-2x-m<0恒成立,求正整数m的最大值.

参考数据:ln 5≈1.61.

对点训练1(北京顺义二模)已知函数f(x)=ex-mx2(m∈R).

(1)已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-ex+e,求m的值;

(2)若存在x0∈[0,1],使得f(x0)≥2,求m的取值范围.

考向2.构造函数法求参数取值范围

例2.(北京二中高三月考)设函数f(x)=xln x.

(1)求证:f(x)≥x-1;

(2)若f(x)≥ax2+(a≠0)在区间(0,+∞)上恒成立,求a的最小值.

对点训练2(河南新乡模拟)已知函数f(x)=aln x+x+e-x(a<0),

(1)当a=-1时,判定f(x)有无极值,并说明理由;

(2)若f(x)≥xa对任意的x∈(1,+∞)恒成立,求a的最小值.

考向3.可化为不等式恒成立(能成立)求参数取值范围的问题

例3.(河北保定模拟)已知函数f(x)=xex,g(x)=a|x|-e(e为自然对数的底数).

(1)若x≥0,求证:当a=2e时,函数g(x)=a|x|-e与f(x)=xex的图像相切;

(2)若存在x1∈[-2,1],对任意x2∈[-2,1],都有f(x1)≥g(x2),求a的取值范围.

对点训练3(四川成都诊断测试)已知f(x)=ln x+-ln a,g(x)=kex-sin x+3.

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)已知f(x)存在极值,若对任意x1∈(0,+∞),都存在x2∈[-π,π],使得不等式f(x1)>g(x2)成立,求实数k的取值范围.

高考解答题专项一  导数及其运用

第3课时　利用导数研究函数的零点

考向1.判断、证明或讨论函数零点的个数

例1.(江西上饶二模)已知函数f(x)=2exsin x.(e是自然对数的底数)

(1)求f(x)的单调区间;

(2)记g(x)=f(x)-ax,0<a<6,试讨论g(x)在(0,π)上的零点个数.

(参考数据：≈4.8)

对点训练1(广东惠州高三调研)已知函数f(x)=ln x-x+sin x+a.

(1)求f(x)的导函数f'(x)在(0,π)内的零点个数;

(2)求证:当a∈[1,3]时,f(x)有且仅有2个不同的零点.

考向2.已知函数零点情况求参数的值(或范围)

例2.已知函数f(x)=xex-a(x+1)2(e是自然对数的底数).

(1)若a=e,求函数f(x)的极值;

(2)若函数f(x)有两个零点,求实数a的取值范围.

对点训练2(江苏南京二模)已知函数f(x)=ex-axsin x-x-1,x∈[0,π],a∈R.

(1)当a=时,求证:f(x)≥0;

(2)若函数f(x)有两个零点,求a的取值范围.

考向3.可转化为函数零点的函数问题

例3.(陕西西安三模)已知函数f(x)=2ex-x2-2(x-1)(其中e为自然对数的底数).

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若g(x)=f(x)+(a-2)ex有两个极值点,求实数a的取值范围.

对点训练3(贵州贵阳模拟)已知曲线f(x)=xex-ax3-ax2,a∈R.

(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若函数y=f(x)有三个极值点x1,x2,x3(x1<x2<x3),求实数a的取值范围,并证明:0<f(x2)<.