江苏省扬州市高级中学2021-2022学年高一下学期期末模拟考试——数学试卷

高一数学期末模拟检测（一）

（2022.06）

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．已知△ABC是边长为2的正三角形，则•的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．2 D．﹣2

2．设函数，则“函数在上存在零点”是的（    ）

A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件     C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件

3．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量，若，则角C的大小为（       ）

A． B． C． D．

4．设是虚数单位，复数，复数，则在复平面上对应的点在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，点E为A1C的中点，AB＝AA1＝2，且AD＝2，则异面直线AE与所成角BC的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

6．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？”其意思为：今有直角三角形ABC，勾AC（短直角边）长3步，股BC（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形CDEF（D，E，F分别在边CB，BA，AC上）边长为多少？在求得正方形CDEF的边后，可进一步求得∠BAD的正切值为（　　）

A． B． C． D．

（第6题图）                             （第7题图）

7．为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为（       ）

A．42.5分钟           B．45.5分钟             C．47.5分钟        D．50分钟

8．有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（  ）

A．甲与丙相互独立   B．丙与丁相互独立    C．甲与丁相互独立  D．乙与丙相互独立

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9．已知事件A，B，且，则（       ）

A．如果，那么

B．如果A与B互斥，那么

C．如果A与B相互独立，那么

D．如果A与B相互独立，那么

10．2022年北京冬奥会成功举办.中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领相关户外用品行业市场增长.下面是2015年至2021年中国雪场滑雪人次（万/人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中错误的是（       ）

A．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降

B．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加

C．2016年与2021年，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等

D．2016年至2021年，中国雪场滑雪人次增长率为12.6%

11．已知平面向量，，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C．向量与的夹角为60° D．向量在上的投影向量为2

12．如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（       ）

A．平面截正方体所得截面面积为       

B．点F的轨迹长度为            

C．存在点F，使得         

D．平面与平面所成二面角的正弦值为

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．复数的共轭复数的模为　 　   ．

14．已知向量＝（sinθ，1），＝（2cosθ，﹣1），且，则cos2θ＝　     

15．已知边长为2的正三角形△ABC，现沿高线AD翻折而形成四面体ABCD，且使得二面角B﹣AD﹣C的平面角为60°，则点D到面ABC的距离为 　   　

16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若是锐角三角形，且，则的取值范围是_____________.

四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．在平面直角坐标系中，已知向量．

(1)求；

(2)若，，求实数的值．

18．已知，．

(1)求的值；   (2)若，，求的值．

19．如图在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是矩形，点E，F分别是棱PC和PD的中点.

（1）求证：EF∥平面PAB；

（2）若AP=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明AF⊥平面PCD.

20.某网络营销部门随机抽查了某市100名网友在2020年11月11日的网购金额，所得数据如下表：

已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为．

（1）求，，，的值，并补全频率分布直方图（如图）；

（2）该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这100名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在和的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？

21．已知函数f（x）＝2cosxsin（x﹣）+．

（1）若x∈[﹣，]，若函数y＝f（x）﹣m有两个零点，求实数m的取值范围；

（2）若在圆内接四边形ABCD中，AB＝2，AD＝CD＝3，f（）＝，求BC的值．

22．如图在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为菱形，平面BCC1B1⊥平面ABC，直线BB1与平面ABC所成线面角为60°，且BC＝8，AC＝10，cos∠CAB＝．

（1）求证：平面AB1C⊥平面ABC1；

（2）设P为线段A1B1上一点，求三棱锥A﹣PBC的体积．

参考答案

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1-5 ABBBC   6-8  BCC

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

9  ABD

10．ACD

11． BCD

12． AC

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．复数的共轭复数的模为　 　   ．

14．﹣．

15． 　　

16．

四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．

(1)

，

所以

(2)

，

因为，

所以，

解得：

18．

解：因为，，

又，所以，

所以.

(2)

解：因为，

，

又因为，所以，

由（1）知，，

所以．

因为，，则，所以．

19．

证明：（1）因为点E，F分别是棱PC和PD的中点.，所以，

又，所以，

而平面，平面，所以平面；

（2），是的中点，所以，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD，，平面ABCD，

所以平面，平面，所以，

，平面，

所以平面．

20.

（1）由题意知，解之得，

得，

补全频率分布直方图：

（2）由分层抽样知，在内的12个人中，抽（人），

将这三人记为甲，乙，丙，在内的8个人中，抽（人），

将这两人记为丁，戊，记“两人来自不同群体”记为事件A，

则从这五个人中随机抽两人共有10个基本事件，即（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），

其中A包含的事件有6个，故，

所以2人来自不同群体的概率是．

21．

解：（1）函数f（x）＝2cosxsin（x﹣）+＝2cosx（sinx﹣）+＝＝＝sin（2x﹣）+．

由于，

所以，

当时，

故f（x）＝sin（2x﹣）+时，函数y＝f（x）﹣m有两个零点，即f（x）＝m有两个交点．

（2）由于f（A）＝sin（2A﹣）+＝，

整理得sin（A﹣）＝，解得A＝或π（π舍去），

故A＝．

如图所示：

在△ABD中，AB＝2，AD＝3，利用余弦定理：＝19，解得BD＝．

在△BCD中，CD＝3，BD＝，，设BC＝x，

利用余弦定理：，

整理得：x2﹣3x﹣10＝0，解得x＝5或﹣2（负值舍去），

故BC＝5

22．

（1）证明：连接BC1，与B1C相交于点O，

在△ABC中，由余弦定理知，cos∠CAB＝＝＝，

化简得，AB2﹣12AB+36＝0，∴AB＝6，

∴AB2+BC2＝AC2，即AB⊥BC，

又平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1∩平面ABC＝BC，

∴AB⊥平面BCC1B1，

∴AB⊥B1C，

∵菱形BCC1B1，∴BC1⊥B1C，

又AB∩BC1＝B，AB、BC1⊂平面ABC1，

∴B1C⊥平面ABC1，

∵B1C⊂平面AB1C，

∴平面AB1C⊥平面ABC1．

（2）解：由三棱柱的性质知，A1B1∥AB，

∵A1B1⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，

∴点P到平面ABC的距离等于点B1到平面ABC的距离，

∵平面BCC1B1⊥平面ABC，直线BB1与平面ABC所成线面角为60°，且BC＝8，

∴点B1到平面ABC的距离d＝BB1•sin60°＝8×＝4，

∴三棱锥A﹣PBC的体积V＝VP﹣ABC＝d•AB•BC＝×4××6×8＝32