2022-2023学年江苏省南京市临江高级中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江苏省南京市临江高级中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．10个相同的小球分成3堆，每堆至少一个，则有种分法

A． B． C． D．8

【答案】D

【分析】10个相同的小球分成3堆，只需关注三堆中小球的个数，列举求解即可.

【详解】根据题意，10个相同的小球分成3堆，每堆至少1个，就是将10个球分成3组，

可以分成，，，，，，，，

共8种分法.

故选：D

2．下列函数既是奇函数且又在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】逐一分析对应选项的奇偶性和区间上单调性即可.

【详解】由题知A选项中为非奇非偶函数，故A选项不正确，

B选项中为非奇非偶函数，故B选项不正确，

C选项中是奇函数，求导得，

当时有或，

故在上不单调递增，故C选项不正确，

D选项中是奇函数，

求导得，

又，，故恒成立，

满足在上单调递增，故D选项正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，函数单调区间的求解，属于基础题.

3．在2016年“两会”记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，则不同的提问方式有（  ）

A．420种 B．260种 C．180种 D．80种

【答案】B

【分析】应用分类加法计数，结合排列、组合数求不同分类下的提问方式，最后加总即可.

【详解】若人中有名中国记者和名国外记者，则不同的提问方式的种数是，

若人中有名中国记者和名国外记者，则不同的提问方式的种数是，

故所有的不同的提问方式的种数是.

故选：B

4．已知数列中，，且是等差数列，则（    ）

A．36 B．37 C．38 D．39

【答案】A

【分析】根据等差数列的定义写出的通项公式，再利用累加法求.

【详解】因为，所以，

又是等差数列，故首项为3，公差为2，

所以，

所以．

故选：A.

5．如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确的是（     ）

A．异面直线与所成的角为

B．二面角的正切值为

C．直线与平面所成的角为

D．四面体的外接球体积为

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角，二面角及线面角，判断ABC选项，D选项，四面体的外接球即为正方体的外接球，从而求出外接球半径和体积.

【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，

A选项，设异面直线与所成的角为，

则，

故异面直线与所成的角为，A正确；

B选项，设平面的法向量为，

则有，令得：，

则，

平面的法向量为，

设二面角的大小为，显然为锐角，则，

所以，，故二面角的正切值为，B正确；

C选项，设平面的法向量为，

则令，则，

所以，

设直线与平面所成的角为，

则，

则，C错误；

D选项，四面体的外接球即为正方体的外接球，

设外接球半径为R，则，则外接球体积为，D正确.

故选：C

6．的展开式中的系数为（  ）

A．15 B． C．5 D．

【答案】C

【详解】二项式展开式的通项为，

故展开式中的系数为．

故选：C．

7．已知在区间上不单调，实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将题意转换为导函数在区间上有零点求解即可

【详解】因为函数在区间上不单调，所以在上有零点，故，令有，故，所以

故选：D.

8．已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，则B与D之间距离为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．

【详解】过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，

∵AB＝1，BC，

∴AC＝2，

∵，

∴BE＝DF，

则AE＝CF，即EF＝2﹣1＝1，

∵平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，

∴，

∵，

∴

，

则||，

即B与D之间距离为，

故选：C．

二、多选题

9．设数列满足，，数列的前项积为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】通过迭代可以发现数列是以3为周期的周期数列，逐一判断四个选项即可

【详解】由题意知，，，，，

.

由此可知数列是以3为周期的周期数列.即

故.

故选：ABC.

10．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】令，则，原等式可化为，结合二项展开式的性质逐项判断即可.

【详解】令，则，原等式可化为，

令，则，故A项正确；

的展开式的通项为，则

，故B项错误；

令，则①，令，则②，由①+②得，

又，所以，故C项错误，D项正确．

故选：AD.

11．设是定义域为的偶函数，其导函数为，若时，图像如图所示，则可以使成立的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据函数的图像及奇偶性分析函数的取值规律及其导函数的取值规律，由此求出使成立的的取值范围.

【详解】由时，图像可得

当时，，当时，，

当时，函数单调递增，，

当时，函数单调递减，，

又是定义域为的偶函数，所以

所以当时，，当时，，

当时，函数单调递减，，

当时，函数单调递增，，

所以当时，，，此时，

当时，，，此时，

当时，，，此时，

当时，，，此时，

当时，，，此时，

当时，，，此时，

当时，，当时，

当时，，

故选：ABD.

12．已知空间三点，，，四边形ABCD为平行四边形，则下列结论正确的有（    ）

A．点C的坐标为 B．

C．点D到直线AB的距离为 D．平行四边形ABCD的面积为

【答案】BD

【分析】A选项通过直接计算；B选项直接求出，余弦定理计算即可；

C选项利用空间点到直线的距离公式计算；D选项按照面积公式计算.

【详解】A选项：设点C的坐标为，，解得，错误；

B选项：，，，正确；

C选项： ，，方向上的单位向量，则点D到直线AB的距离为，错误；

D选项：，点D到直线AB的距离为1，平行四边形ABCD的面积为，正确.

故选：BD.

三、填空题

13．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

3   2

6   5   4

10   9   8    7

……

按照以上排列的规律，第行从左向右的第1个数为          ．

【答案】

【分析】观察三角形数阵，第行结束的时候一共出现的数的个数，即为第行从左向右的第1个数，递推出所得答案即可．

【详解】第一行1个数，第二行2个数，目前一共3个数，且第二行第一个数为3，

第三行3个数，目前一个6个数，且第三行第一个数为6，

第四行4个数，目前一个10个数，且第四行第一个数为10，

依此类推第行结束的时候一共出现的数的个数，

即为第行从左向右的第1个数，

第行从左向右的第1个数为.

故答案为：.

14．如图所示，在正方体中，棱长为2，、、、、、、、、、、、分别为各棱的中点，则的不同值有      个．

【答案】3

【分析】建立空间直角坐标系，然后得到各点坐标，算出和，利用数量积即可得到答案

【详解】解：以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，，，，，，，，

所以，，，，，，，，，，，，，

所以则有3个不同的值，

故答案为：3

15．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排法共有      种

【答案】36

【分析】将丁、戊两人排好，应用组合排列分别求甲乙看作整体与丙插入队列、甲乙丙看作整体插入队列计数，最后加总.

【详解】将丁、戊两人排好有种，队列中有3空，

甲乙看作一个整体有种，再将其与丙插入3个空中的2个则种，故种；

甲乙丙看作一个整体有2种，再插入3个空中的1个则种，故种；

所以共有种.

故答案为：36

16．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是          .

【答案】

【分析】求函数导数，研究函数单调性，判断其取最大值的位置，由于函数在区间上有最大值，故最大值对应的横坐标应在区间内，由此可以得到参数的不等式，解不等式即可得到的取值范围

【详解】，

令 解得；令 ，解得或

由此可得在上时增函数，在上是减函数，在上是增函数，

故函数在处有极大值，在处有极小值，

，解得

故答案为：

四、解答题

17．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋an＝4n.

(1)求数列{an}的前100项和S100；

(2)求数列{an}的通项公式.

【答案】(1)10000

(2)an＝2n－1

【分析】（1）利用并项求和法求得.

（2）结合等差数列的通项公式求得

【详解】（1）∵a1＝1，an＋1＋an＝4n，

∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)

＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)

＝4×502＝10 000.

（2）an＋1＋an＝4n，①

an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，②

由②－①得，an＋2－an＝4，

由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3.

当n为奇数时，，

当n为偶数时，，

综上所述，.

18．已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为m．

(1)求m的值;

(2)求二项式的展开式中的常数项．

【答案】(1)12

(2)84

【分析】（1）首先排甲，再将乙安排再甲的左右两位置中的一个，最后将其余3人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得；

（2）由（1）可得，写出展开式的通项，再令，即可求出，最后代入计算可得；

【详解】（1）解：首先将甲排在中间位置，再排乙，乙排在甲左右两个位置中的一个位置，再排其余3人，

则所有不同的排法种数．

（2）解：由（1）知，，

∴的展开式的通项公式为，                 

令，解得，                                           

展开式中的常数项为．

19．已知数列{an}满足＋＋＋…＋＝n2＋n.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.

【答案】（1） an＝n·2n＋1；（2）Sn=－ .

【分析】（1）用原式减去当n≥2时的式子，即可求出an，再验证n＝1时是否符合即可；

（2）求出bn，再利用错位相减法可求和.

【详解】（1）∵＋＋＋…＋＝n2＋n，

∴当n≥2时，＋＋＋…＋＝(n－1)2＋n－1，

两式相减得＝2n(n≥2)，∴an＝n·2n＋1(n≥2).

又∵当n＝1时，＝1＋1，∴a1＝4，满足an＝n·2n＋1.

∴an＝n·2n＋1.

（2）∵bn＝＝n(－2)n，

∴Sn＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n×(－2)n，

－2Sn＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n－1)×(－2)n＋n(－2)n＋1，

∴两式相减得

3Sn＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＋…＋(－2)n－n(－2)n＋1

＝－n(－2)n＋1＝－n(－2)n＋1＝－，

∴Sn＝－.

20．如图，已知菱形ABCD的边长为3，对角线，将△沿着对角线BD翻折至△的位置，使得，在平面ABCD上方存在一点M，且平面ABCD，．

(1)求证：平面平面ABD；

(2)求点M到平面ABE的距离；

(3)求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)1；

(3).

【分析】（1）过E作EO垂直于BD于O，连接AO，由勾股定义易得，由菱形的性质有，再根据线面垂直、面面垂直的判定即可证结论.

（2）构建空间直角坐标系，确定相关点的坐标，进而求的坐标及面ABE的法向量，应用空间向量的坐标运算求点面距.

（3）由（2）求得面MBA的法向量，结合（2）中面ABE的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值，进而求其正弦值.

【详解】（1）过E作EO垂直于BD于O，连接AO，

因为，，故，同理，又，

所以，即．

因为ABCD为菱形，所以，又，

所以面ABD，又面EBD，

所以面面ABD．

（2）以O为坐标原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，．

所以，，．

面ABE的法向量为，所以，令，则．

又，则点M到面ABE的距离为．

（3）由（2）得：面ABE的一个法向量为，且，．

若面MBA的法向量为，则，令，则．

所以，故二面角的正弦值为．

21．已知函数．

（1）求在处的切线方程；

（2）求的单调区间和极值．

【答案】（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值．

【分析】（1）求出切线的斜率和切点的坐标，即得切线方程；

（2）利用导数求函数的单调区间，即得函数的极值.

【详解】1 ，，所以切线的斜率为，

因为，

所以切线方程为，即．

2，令，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为；

当时，取极小值，极小值为，无极大值．

22．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，求函数在内的零点个数．

【答案】(1)答案不唯一，具体见解析；

(2)答案不唯一，具体见解析.

【分析】(1)确定函数的定义域并求导，再对a的取值进行分类讨论即可得函数的单调性.

(2)求出函数，借助导数求出的最大值，再对a的取值进行分类讨论即可确定零点个数.

【详解】（1）函数的定义域为，求导得：，

当时，，在上单调递增，

当时，当时，，当时，，

于是得函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，当时，在上单调递增，

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）依题意，，，，

则当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，

当时，，

①当时，，函数在内无零点，

②当时，，在内有唯一零点，而，函数在内只有1个零点，

③当时，，，，

当时，则函数在上单调递增，函数在内只有1个零点，

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

若，即，函数在内只有1个零点，因此，当时，函数在内只有1个零点，

若，即，函数在内有2个零点，

综上得：当时，函数在内无零点，

当，函数在内有2个零点，

当或时，函数在内只有1个零点.

【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；

(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形

为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.