江苏省南京市溧水二高、秦淮中学、天印中学2021届高三上学期期中联考数学试题 Word版含答案

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南京市三校2020-2021学年度第一学期高三期中三校联考
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡指定的位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合M＝[1，3)，N＝(2，5]，则M∩N＝ (B)
A．[1，5] B．(2，3) C．[1，2) D．(3，5]

2．已知i是虚数单位，设复数a＋bi＝，其中a，b∈R，则a＋b的值为 (D)
A． B．－ C． D．－

3．从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有 (B)
A．20种 B．50种 C．80种 D．100种

4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”你的计算结果是 (D)
A．80里 B．86里 C．90里 D．96里

5．若正数a是一个不等于1的常数，则函数y＝logax与函数y＝xa(x＞0)在同一个坐标系中的图象可能是 (C)
B
D
y
x
y
y
y
O
O
x
O
x
x
O
A
P(0,m)
C








6．设a＝0.32.1，b＝2.10.3，c＝log0.32.1，d＝log2.10.3，则a，b，c，d的大小关系为 (C)
A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c

7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2＝9及圆C内的一点P(1，2)，圆C的过点P的直径为MN，若线段AB是圆C的所有过点P的弦中最短的弦，则(－)·的值为 (B)
A．8 B．16 C．4 D．4

8．设f(x)是定义在R上的函数，g(x)＝f(x＋1)．若函数g(x)满足下列条件：①g(x)是偶函数；②g(x)在区间[0，＋∞)上是增函数；③g(x)有一个零点为2，则不等式(x＋1)f(x)＞0的解集是 (A)
A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．在平面直角坐标系xOy中，为了使方程x2＋my2－2＝0表示准线垂直于x轴的圆锥曲线，实数m的取值范围可以是 (AB)
A．(1，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，＋∞) D．(0，＋∞)

10．若将函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象上所有的点向右平移个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，最后得到函数y＝sin(x＋)的图象，则实数φ的值可能是 (AC)
A． B． C．－ D．－

11．设a＞0，b＞0，且a＋2b＝4，则下列结论正确的是 (CD)
A．＋的最小值为 B．＋的最小值为2
C．＋的最小值为 D．＋≥1

12．设常数a∈R，n∈N*，对于二项式(1＋a)n的展开式，下列结论中，正确的是 (BCD)
A．若a＜，则各项系数随着项数增加而减小 B．若各项系数随着项数增加而增大，则a＞n
C．若a＝－2，n＝10，则第7项的系数最大 D．若a＝－，n＝7，则所有奇数项系数和为239

三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．
13．在平面直角坐标系xOy中，过抛物线C：y2＝mx的焦点F作斜率为1的直线，与抛物线C交于A，B两点．若弦AB的长为6，则实数m的值为．

14．今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算(即本年利息计入次年本金生息)，借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是元．(四舍五入，精确到整数)

B
A
C
(第15题)
30°
α
15．数学家研究发现，对于任意的x∈R，sinx＝x－＋－＋…＋(－1)n－1＋…(n∈N*)，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x，可以用这个展开式来求sinx的近似值．
如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B的仰角∠BAC＝30o，气球的视角α＝2o，则该气球的高BC约为米．（精确到1米）

A
B
C
D
E
F
G
H
(第16题）
16．如图所示，多面体ABCDEFGH中对角面CDEF是边长为6的正方形，ABDC，HGDE，且AB，GH到平面CDEF的距离都是3，则该多面体的体积为．


四、解答题：本题共6小题；共70分．将解答写在答题卡中相应的空白处．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）设函数f(x)＝4cos2x－4sinxcosx＋1．
(1)求f(x)的最小正周期和值域；
(2)在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c．若f(A)＝1，a＝1，求△ABC周长的取值范围．
解：(1)因为 f(x)＝4×－2sin2x＋1
＝2cos2x－2sin2x＋2＋1
＝4cos(2x＋)＋2＋1． ……………………………………………2分
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π． ……………………………………………3分
因为－1≤cos(2x＋)≤1，所以
－3＋2≤4cos(2x＋)＋2＋1≤5＋2．
所以，函数f(x)的值域为区间[－3＋2，5＋2]． ………………………………4分
(2)由f(A)＝1，得cos(2A＋)＝－．
因为A为锐角，所以＜2A＋＜，所以2A＋＝，即A＝．……………5分
因为A＋B＋C＝π，所以C＝－B．
由正弦定理＝＝，得b＝sinB，c＝sinC＝sin sin(－B)，
所以 a＋b＋c＝1＋[sinB＋sin(－B)]＝1＋(sinB＋cosB＋sinB)
＝1＋(sinB＋cosB)＝1＋2sin(B＋) ． …………………7分
因为△ABC为锐角三角形，所以0＜B＜，0＜C＜，
即解得＜B＜ ． ………………………………………………8分
所以＜B＋＜，所以 ＜sin(B＋)≤1，即＋1＜1＋2sin(B＋)≤3．
所以△ABC周长的取值范围为区间(＋1，3]．…………………………………10分

18．(本小题满分12分)阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①an＋1＝an＋1，②an＋1＝an＋2，③Sn＝2an－1中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）
设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，对任意的n∈N*，都有；等比数列{bn}中，对任意的n∈N*，都有bn＞0，2bn＋2＝bn＋1＋3bn，且b1＝1，问：是否存在k∈N*，使得：对任意的n∈N*，都有anbk≤akbn？若存在，试求出k的值；若不存在，试说明理由．
解 设等比数列{bn}的公比为q．
因为对任意的n∈N*，都有2bn＋2＝bn＋1＋3bn，
所以2q2＝q＋3，解得q＝－1或． ……………………………………………2分
因为对任意的n∈N*，都有bn＞0，所以q＞0，从而q＝．
又b1＝1，所以bn＝． ……………………………………………5分
显然，对任意的n∈N*，bn＞0．
所以，存在k∈N*，使得：对任意的n∈N*，都有anbk≤akbn，即≤．
记cn＝，n∈N*．下面分别就选择①②③作为条件进行研究．
①因为对任意的n∈N*，都有an＋1＝an＋1，即an＋1－2＝(an－2)．
又a1＝1，即a1－2＝－1≠0，所以an－2≠0，从而＝，
所以数列{an－2}是等比数列，公比为，得an－2＝－，即an＝2－．………8分
所以cn＝＝，从而＝．
由≤1Û2n≥2Û n≥1，得：c1＝c2，当n≥1时，cn＋1＜cn，………………………10分
所以，当n＝1或2时，cn取得最大值，即取得最大值．
所以对任意的n∈N*，都有≤＝，即anb1≤a1bn，anb2≤a2bn，
所以存在k＝1，2，使得：对任意的n∈N*，都有anbk≤akbn．……………………………12分
②因为对任意的n∈N*，都有an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2，
所以数列{an}是等差数列，公差为2．
又a1＝1，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1． ……………………………………………8分
所以cn＝＝(2n－1)＞0，从而＝．
由≤1Û2n≥5Û n≥，得：当n≤2时，cn＋1＞cn；当n≥3时，cn＋1＜cn，……10分
所以，当n＝3时，cn取得最大值，即取得最大值．
所以对任意的n∈N*，都有≤，即anb3≤a3bn．
所以存在k＝3，使得：对任意的n∈N*，都有anbk≤akbn．……………………………12分
③因为对任意的n∈N*，都有Sn＝2an－1，所以Sn＋1＝2an＋1－1，
从而an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－1－（2an－1）＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an．
又a1＝1＞0，所以an＞0，且＝2，
从而数列{an}是等比数列，公比为2，得an＝2n－1．………………………………………8分
所以cn＝＝＞0，从而＝＜1，所以cn＋1＜cn，………………………………10分
所以，当n＝1时，cn取得最大值，即取得最大值．
所以对任意的n∈N*，都有≤，即anb1≤a1bn．
所以存在k＝1，使得：对任意的n∈N*，都有anbk≤akbn．………………………………12分
P
B
C
D
A
M
（第19题）

19．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长
为1的正方形，PA^底面ABCD，点M是侧棱PC的中点，AM^平面PBD．
(1)求PA的长；
(2)求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．
解 方法一：设PA＝a．在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是边长为
1的正方形，PA^底面ABCD，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别
为x，y，z轴建立空间直角坐标系A－xyz，………………………………2分
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，a)．
P
B
C
D
A
M
x
y
z
因为M是侧棱PC的中点，所以M的坐标为(，，)，
所以＝(，，)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，a)．
(1)因为AM^平面PBD，即^平面PBD，
所以 ·＝·＝0．
所以 －＋＝0，解得a＝1．
所以 PA＝1． ………………………………6分
(2)设平面AMD的法向量为n＝（x，y，z）．
因为＝(0，1，0)，＝(，，)，
由得即
取z＝1，得x＝－1，从而得到平面AMD的一个法向量n＝(－1，0，1)．…………8分
又＝(－1，－1，1)，所以cos＜n，＞＝＝＝．……………10分
设PC与平面AMD所成角的为θ，则sinθ＝| cos＜n，＞|＝．
因此，PC与平面AMD所成角的正弦值为．…………………………………………12分
方法二：(1)设PA＝a．连结AC，交BD于点O．连结PO，与AM交于点G．在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AC＝BD＝，O是AC的中点，所以AO＝．
P
B
M
A
G
D
O
C
N
因为PA^底面ABCD，ACÌ平面ABCD，所以PA^AC．
所以PC＝＝，PO＝＝．
因为M是侧棱PC的中点，所以AM＝PC＝．
因为AM^平面PBD，POÌ平面PBD，所以AM^PO，即AG^OG．
又AM，PO分别是△PAC的两条中线，所以G是△PAC的重心．
所以 AG＝AM＝，OG＝PO＝．
在△AOG中，由AG2＋OG2＝AO2，得
(a2＋2)＋(a2＋)＝，
解得 a＝1．
即 PA＝1． …………………………6分
(2)取侧棱PB的中点N，连结MN，AN．
由(1)知，PA＝AB，所以AN⊥PB．
由M是侧棱PC的中点，得MN∥BC．
因为BC∥AD，所以MN∥AD，即M，N，A，D四点共面． ………………………8分
因为PA^底面ABCD，ADÌ平面ABCD，所以PA^AD．
又在正方形ABCD中，有AD^AB，
而ABÌ平面PAB，，PAÌ平面PAB，且AB∩PA＝A，所以AD^平面PAB．
又PBÌ平面PAB，所以AD^平面PB．
因为ANÌ平面AMD，ADÌ平面AMD，且AN∩AD＝A，
所以PB^平面AMD，即PN^平面AMD．
所以∠PMN就是PB与平面AMD所成的角． …………………………10分
因为PA^底面ABCD，ABÌ平面ABCD，所以PA^AB．
因为PA＝AB＝1，所以PB＝，即PN＝．
由(1)知PM＝PC＝．
所以sin∠PMN＝＝．
因此，PC与平面AMD所成角的正弦值为． ……………………………12分

20．（本小题满分12分）在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．

未感冒
感冒
使用血清
17
3
未使用血清
14
6

(1)从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X，试写出X的分布律；
(2)有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？你的结论是什么？请说明理由．
附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A，类B）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：

Ⅱ
类1
类2
Ⅰ
类A
a
b
类B
c
d
有 χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
临界值表（部分）为
P(χ2≥k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.445
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解 （1）因为使用血清的人中感冒的人数为3，未使用血清的人中感冒的人数为6，一共9人，从这9人中选4人，其中使用血清的人数为X，则随机变量X的可能值为0，1，2，3．
因为 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，……………………………………4分
……………………………………6分
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P




（2）将题中所给的2×2列联表进行整理，得

未感冒
感冒
总数
使用血清
17
3
20
未使用血清
14
6
20
总数
31
9
40
提出假设H0：是否使用该种血清与感冒没有关系． ……………………………………8分
根据χ2公式，求得χ2＝≈1.2903．……………………………………9分
因为当H0成立时，“χ2≥0.708”的概率约为0.40，“χ2≥1.323”的概率约为0.25，所以有60%的把握认为：是否使用该种血清与感冒有关系，即“使用该种血清能预防感冒”，得到这个结论的把握不到75%． ……………………………………10分
由于得到这个结论的把握低于90%，因此，我的结论是：没有充分的证据显示使用该种血清能预防感冒，也不能说使用该种血清不能预防感冒． ……………………………………12分
注：（1）概率错一个扣1分，没有写成分布列（或表）扣1分；（2）结论分两个方面，少一个扣1分．

21．（本小题满分12分）设M是定义在R上且满足下列条件的函数f(x)构成的集合：
①方程f(x)－x＝0有实数解；
②函数f(x)的导数f '(x)满足0＜f '(x)＜1．
(1)试判断函数f(x)＝＋是否集合M的元素，并说明理由；
(2)若集合M中的元素f(x)具有下面的性质：对于任意的区间[m，n]，都存在x0∈[m，n]，使得等式f(n)－f(m)＝(n－m)f '(x0)成立，证明：方程f(x)－x＝0有唯一实数解．
(3)设x1是方程f(x)－x＝0的实数解，求证：对于函数f(x)任意的x2，x3∈R，当|x2－x1|＜1，|x3－x1|＜1时，有|f(x3)－f(x2)|＜2．
解：(1)函数f(x)＝＋是集合M中的元素．理由如下：
①方程f(x)－x＝0，即－＝0．
显然x＝0是方程－＝0的实数解，因此，方程f(x)－x＝0有实数解． ……………2分
②由于f '(x)＝＋，又－1≤cosx≤1，即≤＋≤，所以0＜f '(x)＜1．
综上，函数f(x)＝＋是集合M中的元素． ……………………………4分
(2)（反证法）由条件①知方程f(x)－x＝0有实数解． ……………………………5分
假设方程f(x)－x＝0有两个不相等的实数解α，β，不妨设α＜β，则f(α)＝α，f(β)＝β．
由函数f(x)的性质知，存在x0∈[α，β]，使得f(β)－f(α)＝(β－α)f '(x0)，即β－α＝(β－α)f '(x0)．
又由条件②知0＜f '(x0)＜1，所以β－α＝0，即α＝β，这与α＜β矛盾．
因此，方程f(x)－x＝0有唯一实数解． ………………………………………8分
(3)对任意的x2，x3∈R，当|x2－x1|＜1，且|x3－x1|＜1时，
不妨设x2≤x3，则x1－1＜x2≤x3＜x1＋1．
因为0＜f '(x)＜1，所以f(x)在R上是增函数，所以f(x2)≤f(x3)． ………………………10分
令g(x)＝f(x)－x，则g'(x)＝f '(x)－1＜0，所以g(x)＝f(x)－x是R上的减函数，
所以g(x2)≥g(x3)，即f(x2)－x2≥f(x3)－x3，
所以0≤f(x3)－f(x2)≤x3－x2＜(x1＋1)－(x1－1)＝2． ………………………11分
因此，对任意的x2，x3∈R，当|x2－x1|＜1，且|x3－x1|＜1时，有|f(x3)－f(x2)|＜2．………12分

22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E与双曲线C：－＝1有共同的中心和准线，且双曲线C的一条渐近线被椭圆E截得的弦长为4．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若过点P(0，m)存在两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点，求实数m的取值范围．
(1)解：因为椭圆E与双曲线C：－＝1有共同的中心和准线，所以设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
令c＝，由题知＝，得a2＝3c，b2＝3c－c2． …………………2分
由双曲线C的方程－＝1得双曲线C的渐近线的方程为y＝±x．
根据对称性，不妨设椭圆E与渐近线y＝x的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去y，整理得x2＝．
所以 |x1－x2|＝2，
所以 AB＝＝|x1－x2|＝4．
由 4＝4，
得 c2－11c＋8＝0，
解得 c＝或，
所以椭圆E的方程为＋＝1或＋＝1． ………………………………………………4分
(2)方法一：对于椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，设过点P(0，m)的两条互相垂直的直线中一条的斜率为k，方程为y＝kx＋m．
x
y
O
P(0，m)
由消去y，整理得
(＋)x2＋＋－1＝0．
由 △＝()2－4(＋)×(－1)＝4(＋－)≥0，
得 k2≥．① …………………………………………6分
当k≠0时，同理得(－)2≥，即≥．②………………………………………7分
当≤0，即|m|≤a时，满足①②的k存在，所以|m|≤a满足条件． …………………8分
当＞0，即|m|＞a时，满足①②的k存在Û0＜≤1，即a＜|m|≤．……9分
当k＝0时，≤0，即|m|≤a，满足条件． ………………10分
综上，|m|≤，即m的取值范围是区间[－，]． ………………11分
若椭圆C的方程为＋＝1，则实数m的取值范围是区间[－，]；
若椭圆C的方程为＋＝1，则实数m的取值范围是区间[－，]． …………12分
方法二：对于椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，设过点P(0，m)的两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点，如果其中的一条斜率为0，那么另一条一定垂直于x轴；反之亦然．由平面几何知识知道：m∈[－a，a]满足条件． ……………………………7分
当|m|＞a时，设其中一条的斜率k，显然k＝0不满足条件，所以k≠0，那么另一条的斜率为－．
x
y
O
P(0，m)
设其中一条直线的方程为y＝kx＋m．
由消去y，整理得
(＋)x2＋＋－1＝0．
由 △＝()2－4(＋)×(－1)＝4(＋－)≥0，
得 k2≥．① …………………………………………8分
同理，得(－)2≥，即≥．② ………………………………………9分
因为＞0，所以，满足①②的k存在Û0＜≤1，即a＜|m|≤．………10分
综上，|m|≤，即m的取值范围是区间[－，]． ………………11分
若椭圆C的方程为＋＝1，则实数m的取值范围是区间[－，]；
若椭圆C的方程为＋＝1，则实数m的取值范围是区间[－，]． …………12分
方法三 对于椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，由于点P(0，m)在椭圆E的长轴所在的y轴上，所以，当点P在椭圆E的长轴上，即|m|≤a时，显然满足条件． ………………………7分
当点P不在椭圆E的长轴上，即|m|＞a时，根据椭圆的几何性质可以知道，当椭圆E的过点P(0，m)的两条切线（线段）所成的角大于或等于直角时，过点P存在两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点． ………………………8分
当椭圆存在过点P的两条互相垂直的切线时，PQ与y轴的夹角为45°，从而与x轴的夹角也为45°． ……………………9分
设一条切线的方程为y＝x＋m．
x
y
O
P(0，m)
由消去y，整理得
(＋)x2＋＋－1＝0．
由 △＝()2－4(＋)×(－1)＝0，
得 ＋－＝0，
解得 m＝±． ………………………10分
由椭圆的平面几何性质知道，当a＜|m|≤时，满足条件．
综上，m的取值范围是区间[－，]． …………………………………11分
若椭圆C的方程为＋＝1，则实数m的取值范围是区间[－，]；
若椭圆C的方程为＋＝1，则实数m的取值范围是区间[－，]．…………12分
注：第（2）题没有分类讨论，酌情给分，但得分不能超过3分．