2021-2022学年江苏省常州市新桥高级中学等八校高一（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省常州市新桥高级中学等八校高一（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江苏省常州市新桥高级中学等八校高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题。（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应位置。）
1．（5分）已知是虚数单位，，若复数为纯虚数，则　　
A． B．2 C． D．
2．（5分）某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
党史学习时间（小时）
7
8
9
10
11
党员人数
6
10
9
8
7
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是　　
A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，9
3．（5分）在中，，，，则的形状是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．非钝角三角形
4．（5分）青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是　　
A． B． C． D．
5．（5分）已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长　　
A． B． C．29 D．
6．（5分）已知，则　　
A． B． C． D．
7．（5分）如图，矩形中，，正方形的边长为1，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．
8．（5分）如图所示设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，．则下列结论中，错误的是　　

A． B．
C． D．在上的投影向量为
二、多项选择题。（本大题共4小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置。）
9．（5分）为平面，有下列命题，其中假命题的是　　
A．若直线平行于平面内的无数条直线，则
B．若直线在平面外，则
C．若直线，直线，则
D．若直线，，则平行于平面内的无数条直线
10．（5分）关于复数为虚数单位），下列说法正确的是　　
A．
B．在复平面上对应的点位于第二象限
C．
D．
11．（5分）甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则　　
A．事件、是相互独立事件 B．事件、是互斥事件
C．（A）（B）（C） D．
12．（5分）在正四棱锥中，，，为底面正方形的中心，点，分别为，的中点，则　　
A．平面平面
B．平面平面
C．四棱锥外接球的表面积为
D．点到平面的距离为
三、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共计20分。请把答案填写在答题卡相应位置。）
13．（5分）已知一组样本数据5、6、、6、8的极差为5，若，则其方差为 　　．
14．（5分）2021年湖南新高考实行“模式”，即语文、数学、英语必选，物理与历史2选1，政治、地理、化学和生物4选2，共有12种选课模式．今年高一小明与小芳都准备选历史与政治，假设他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为 　　．
15．（5分）已知，则　　．
16．（5分）在四面体中，底面，，、、、均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于3，则该四面体外接球的表面积为 　　；该四面体体积的最大值为 　　．
四、解答题。（本大题共6小题，共计70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）已知向量，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．
18．（12分）在直三棱柱中，，，点，，分别是棱，，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：直线平面．

19．（12分）某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取名，获得了他们一周参与主题教育活动时间（单位：的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在，内的人数为92．
（1）求的值；
（2）以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中位数精确到．
（3）如果计划对参与主题教育活动时间在，内的党员干部给予奖励，且在，，，内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率．

20．（12分）已知的三个内角，，的对边分别为，，，满足．
（1）求；
（2）若，，角的角平分线交边于点，求的长．
21．（12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率．
22．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．


2021-2022学年江苏省常州市新桥高级中学等八校高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题。（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应位置。）
1．（5分）已知是虚数单位，，若复数为纯虚数，则　　
A． B．2 C． D．
【解答】解：复数为纯虚数，
则，即．
故选：．
2．（5分）某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
党史学习时间（小时）
7
8
9
10
11
党员人数
6
10
9
8
7
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是　　
A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，9
【解答】解：党员人数一共有，学习党史事件为8小时的人数最多，故学习党史时间的众数为8；
，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16，17个数分别为8，9，所以第40百分位数是．
故选：．
3．（5分）在中，，，，则的形状是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．非钝角三角形
【解答】解：，，，
为最大角，
由余弦定理得：，
又为三角形的内角，
为钝角，
则的形状是钝角三角形．
故选：．
4．（5分）青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：小华答对第一、二个问题的概率分别为，
至少答对一个问题的概率是，
故选：．
5．（5分）已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长　　
A． B． C．29 D．
【解答】解：设圆台的母线长为，
则圆台的上底面面积为，
圆台的下底面面积为，
所以圆台的底面面积为
又圆台的侧面积，
于是，即．
故选：．
6．（5分）已知，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，即，可得，
．
故选：．
7．（5分）如图，矩形中，，正方形的边长为1，且平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：矩形中，，正方形的边长为1，且平面平面
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，0，，，0，，，，，
，，，，，，
设异面直线与所成角为，
则异面直线与所成角的余弦值为：
．
故选：．

8．（5分）如图所示设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系，若，则把有序数对叫做向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，．则下列结论中，错误的是　　

A． B．
C． D．在上的投影向量为
【解答】解：由已知得：，，
结合已知得，，
故，故正确；
，故正确；
，故错误；
易知，则在上的投影向量为，故正确．
故选：．
二、多项选择题。（本大题共4小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置。）
9．（5分）为平面，有下列命题，其中假命题的是　　
A．若直线平行于平面内的无数条直线，则
B．若直线在平面外，则
C．若直线，直线，则
D．若直线，，则平行于平面内的无数条直线
【解答】解：对于，直线平行于平面内的无数条直线，则或，故错误；
对于，若直线在平面外，则或与相交，故错误；
对于，若直线，直线，则或，故错误；
对于，若直线，，则平行于平面内的无数条直线，故正确．
故选：．
10．（5分）关于复数为虚数单位），下列说法正确的是　　
A．
B．在复平面上对应的点位于第二象限
C．
D．
【解答】解：，
对于，，故正确，
对于，，在复平面上对应的点，位于第三象限，故错误，
对于，，，
，故正确，
对于，，故正确．
故选：．
11．（5分）甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则　　
A．事件、是相互独立事件 B．事件、是互斥事件
C．（A）（B）（C） D．
【解答】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，
基本事件总数，
记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，
则事件包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
（A），
事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，
则事件包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
（B），
事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，
则事件包含的基本事件有18个，分别为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
（C），
事件包含的基本事件有9个，分别为：
，，，，，，，，，
，
（A）（B），事件、是相互独立事件，故正确；
事件与能同时发生，故事件与不是互斥事件，故错误；
（A）（B）（C），故正确；
包含的基本事件有9个，分别为：
，，，，，，，，，
．故错误．
故选：．
12．（5分）在正四棱锥中，，，为底面正方形的中心，点，分别为，的中点，则　　
A．平面平面
B．平面平面
C．四棱锥外接球的表面积为
D．点到平面的距离为
【解答】解：如图所示，记与相交于，在中，，分别为，的中点，
为的中位线，，又平面，平面，平面，
同理可得平面，又，，平面，平面平面，故正确，
以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，可得，，
则，，，，0，，，0，，，0，，，，，
，0，，，，，
设，，为平面的一个法向量，
则，令，则，
平面的一个法向量为，，，
，，，，，，
设的一个法向量为，，，
则，令，，，
故的一个法向量为，，，
，故与不垂直，故错误；
设为外接球的球心，半径为，则，，
所以，解得，四棱锥外接球的表面积为，故正确，
因为是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的2倍，
设到平面的距离为，由，
，得，解得，
所以点到平面的距离为．故正确．
故选：．

三、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共计20分。请把答案填写在答题卡相应位置。）
13．（5分）已知一组样本数据5、6、、6、8的极差为5，若，则其方差为 　3.2　．
【解答】解：该数据的极差为5，，
，解得，
，
该组数据的方差是：
，
故答案为：3.2．
14．（5分）2021年湖南新高考实行“模式”，即语文、数学、英语必选，物理与历史2选1，政治、地理、化学和生物4选2，共有12种选课模式．今年高一小明与小芳都准备选历史与政治，假设他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为 　　．
【解答】解：今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则基本事件有：（地，地），（地，化），（地，生），（化，地），（化，化），（化，生），（生，地），（生，化），（生，生）共9个，
他们选课相同包含的基本事件有：（地，地），（化，化），（生，生）共有3个，
所以他们选课相同的概率为．
故答案为：．
15．（5分）已知，则　　．
【解答】解：，整理得，
所以．
所以．
故答案为：．
16．（5分）在四面体中，底面，，、、、均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于3，则该四面体外接球的表面积为 　　；该四面体体积的最大值为 　　．
【解答】解：在中，不妨设，所以四棱锥里最长的边为，
所以是外接球的直径，
所以外接球的表面积．
，又，，
所以，当且仅当即等号，
所以．
故答案为：；．
四、解答题。（本大题共6小题，共计70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）已知向量，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．
【解答】解：依题意可得，，
由，可得，，
即，
解得，即，
所以；
依题意，，，
可得，即，
所以，，
因为，，，
所以与的夹角大小是．
18．（12分）在直三棱柱中，，，点，，分别是棱，，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：直线平面．

【解答】证明：（1）如图，连接，
在直三棱柱中，且，
因点，分别是棱，的中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形，即且，
又且，
所以且，即四边形是平行四边形，
所以，
又平面，
所以平面．
（2）因，所以四边形是菱形，
所以，又点，分别是棱，的中点，即，
所以．
因为，点是棱的中点，
所以，
由直三棱柱，知底面，即，
所以平面，则，
所以直线平面．

19．（12分）某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取名，获得了他们一周参与主题教育活动时间（单位：的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在，内的人数为92．
（1）求的值；
（2）以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中位数精确到．
（3）如果计划对参与主题教育活动时间在，内的党员干部给予奖励，且在，，，内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率．

【解答】解：（1）由已知可得，．
则，得．
（2）设中位数为，则，得．
（3）按照分层抽样的方法从，内选取的人数为，
从，内选取的人数为．
记二等奖的4人分别为，，，，一等奖的1人为，
事件为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”．
从这5人中随机抽取2人的基本事件为，，，，，，，，，，共10种，
其中2人均是二等奖的情况有，，，，，，共6种，
由古典概型的概率计算公式得．
20．（12分）已知的三个内角，，的对边分别为，，，满足．
（1）求；
（2）若，，角的角平分线交边于点，求的长．
【解答】解：（1）由正弦定理及．
得．
因为，
所以，即，
所以，
由为三角形内角得；
（2）由余弦定理得，
所以，
解得或（舍，
中，为的平分线，，则，
由正弦定理得，
所以．
21．（12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率．
【解答】解：（1）设甲同学答对第一题，乙同学答对第一题，
则（A），（B），
设甲、乙二人均答对第一题，甲、乙二人恰有一人答对第一题，
则，，
二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，
与相互独立，与相互互斥，
（C）（A）（B），
（D）（A）（B）（A）（B），
由题意得：，
解得或，
，，．
（2）设甲同学答对了道题，乙同学答对 了道题，，1，2，
由题意得：
，，
，，
设甲乙二人共答对3道题，则，
（E），
甲乙两人共答对3道题的概率为．
22．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．

【解答】解：（1）证明：因为，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）方法一：
取的中点，因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，
所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，1，，
设，0，，则，
因为平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
又，
所以由，得，
令，则，，故，
因为二面角的大小为，
所以，
解得，所以，
又，所以，
故．
方法二：
过作，交于点，过作于点，连结，
由题意可知，，又平面
所以平面，又平面，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以，
则为二面角的平面角，即，
又，
所以，则，
故，
所以，
因为，
则，
所以，则，
所以，则，
所以．


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