2021-2022学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）直线的倾斜角为　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知函数的定义域为，若，则（1）　　

A．1 B．2 C．3 D．4

3．（5分）在等差数列中，，，则　　

A．2 B．3 C．4 D．5

4．（5分）函数的极小值为　　

A． B． C．18 D．20

5．（5分）设等比数列的前项和为，且，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知正方形的四个顶点都在椭圆上，若的焦点在正方形的外面，则的离心率的取值范围是　　

A． B． C．， D．，

7．（5分）已知抛物线的焦点恰为双曲线的一顶点，的另一顶点为，与在第一象限内的交点为，若，则直线的斜率为　　

A． B． C． D．

8．（5分）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是　　

A． B． C． D．，

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知曲线．　　

A．若是圆，则 

B．若是双曲线，则 

C．若是长轴在轴上的椭圆，则 

D．若是焦点在轴上的双曲线，则其离心率的范围是

10．（5分）若动点在圆上，动点在圆上，则　　

A．两圆有3条公切线 

B．两圆公共弦所在直线方程为 

C．的最大值为 

D．两圆公共弦长为

11．（5分）已知数列的前项和，则　　

A．是等差数列 B．是等比数列 

C． D．的前20项和为320

12．（5分）函数是一个在生物学中常见的型函数，也称为型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数．记为函数的导函数，则　　

A． B．函数是单调减函数 

C．函数的最大值是 D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知函数，则的值是 　　．

14．（5分）已知圆，若圆的过点的三条弦的长，，构成等差数列，则该数列的公差的最大值是 　　．

15．（5分）已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为 　　．

16．（5分）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 　　．

四、解答题：本题6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在中，已知，， 8，，，分别为边，的中点，于点．

（1）求直线的方程；

（2）求直线的方程．

18．（12分）已知圆．

（1）过点作圆的切线，求切线的方程；

（2）若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程．

19．（12分）在数列中，，．

（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

20．（12分）已知，两地的距离是．根据交通法规，，两地之间的公路车速（单位：应满足，．假设油价是7元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，当车速为时，汽车每小时耗油，司机每小时的工资是91元．

（1）求的值；

（2）如果不考虑其他费用，当车速是多少时，这次行车的总费用最低？

21．（12分）已知双曲线的左焦点为，到的一条渐近线的距离为1，直线与交于不同的两点，，当直线经过的右焦点且垂直于轴时，．

（1）求的方程；

（2）是否存在轴上的定点，使得直线过点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知函数，．

（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；

（2）若在区间上有唯一的零点，

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）证明：．

2021-2022学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）直线的倾斜角为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由于直线的斜率，

所以，

由于，

故．

故选：．

2．（5分）已知函数的定义域为，若，则（1）　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：由导数的定义可得，

（1），

故选：．

3．（5分）在等差数列中，，，则　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：设等差数列的公差为，

由，，得，解得，

所以．

故选：．

4．（5分）函数的极小值为　　

A． B． C．18 D．20

【解答】解：，

为开口向下的抛物线，

当或时，，当时，，

当时，的极小值为，

故选：．

5．（5分）设等比数列的前项和为，且，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：设等比数列公比为，它的前项和为，，

．

则，

故选：．

6．（5分）已知正方形的四个顶点都在椭圆上，若的焦点在正方形的外面，则的离心率的取值范围是　　

A． B． C．， D．，

【解答】解：根据对称性知正方形四个顶点在直线，上，所以，

解得，即，

，解得，

，

故选：．

7．（5分）已知抛物线的焦点恰为双曲线的一顶点，的另一顶点为，与在第一象限内的交点为，若，则直线的斜率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：抛物线的焦点，，准线方程为，

由，解得，

则抛物线的方程为，，

由题意可得，

则，

所以直线的斜率为，

故选：．

8．（5分）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是　　

A． B． C． D．，

【解答】解：设点的坐标为，的重心坐标为，，

依题意知，，整理得；

对于，当，时，，不满足题意，排除选项；

对于，当，时，，不满足题意，排除选项；

对于，当，时，；

对于，当，时，；

直线的斜率为，线段的中点为，所以线段的中垂线方程为，即；

由，解得，所以的外心为，，

若点，则直线的斜率为，新的的中点，该点与点确定直线斜率为，

显然，即点不在线段的中垂线上，不满足题意，排除选项；

若点，则直线的斜率为，线段的中点，，线段中垂线方程为，即，

由，解得，即点，为的外心，并且在直线上，

边上的高所在直线方程为：，即，

边上的高所在直线方程为：，即，

由，解得，所以的垂心，，

此时，即 的垂心在直线上，选项满足题意．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知曲线．　　

A．若是圆，则 

B．若是双曲线，则 

C．若是长轴在轴上的椭圆，则 

D．若是焦点在轴上的双曲线，则其离心率的范围是

【解答】解：曲线，

中，为圆，则，可得，所以正确；

中，若为双曲线，则，解得或，所以不正确；

中，若是长轴在轴上的椭圆，则，可得，所以正确；

中，若是焦点在轴上的双曲线，则且，可得，所以离心率，所以正确；

故选：．

10．（5分）若动点在圆上，动点在圆上，则　　

A．两圆有3条公切线 

B．两圆公共弦所在直线方程为 

C．的最大值为 

D．两圆公共弦长为

【解答】解：根据题意，圆，即，其圆心为，半径，

圆，即，其圆心为，半径，

圆心距，两圆相交；

依次分析选项：

对于，两圆相交，有2条公切线，错误；

对于，联立两个圆的方程，可得，即两圆公共弦所在直线方程为，正确；

对于，的最大值为，正确；

对于，点到公共弦所在直线方程的距离，两圆公共弦长，错误；

故选：．

11．（5分）已知数列的前项和，则　　

A．是等差数列 B．是等比数列 

C． D．的前20项和为320

【解答】解：由，得；

当时，．

适合上式，是公差为2的等差数列，故正确；

为常数，是等比数列，故正确；

，，故正确；

的前20项和为，故错误．

故选：．

12．（5分）函数是一个在生物学中常见的型函数，也称为型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数．记为函数的导函数，则　　

A． B．函数是单调减函数 

C．函数的最大值是 D．

【解答】解：由函数，求导得：，

对于，，正确；

对于，，，则函数是单调增函数，不正确；

对于，，当且仅当，即时取“”， 正确；

对于，因，则，正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知函数，则的值是 　5　．

【解答】解：因为，

所以，

则．

故答案为：5．

14．（5分）已知圆，若圆的过点的三条弦的长，，构成等差数列，则该数列的公差的最大值是 　2　．

【解答】解：由，得，

圆心坐标，半径，

由圆的性质可知，过点的该圆的弦的最大值为圆的直径，等于6，

最小值为过且垂直于的弦的弦长，

，

，

即，，

公差的最大值为．

故答案为：2．

15．（5分）已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为 　　．

【解答】解：由题意的方程可得，可得，

设，则，可得，

所以，

因为，，所以当时，有最大值，

故答案为：．

16．（5分）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 　，　．

【解答】解：设，，由题可知，

，

当时，，适合题意，所以，

当时，令，则，

此时 时，，单调递减，，，， 单调递增，

，又，

，

，即，

解得，

当时，时，，，故的值有正有负，不合题意；

综上，实数的取值范围是，．

故答案为：，．

四、解答题：本题6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在中，已知，， 8，，，分别为边，的中点，于点．

（1）求直线的方程；

（2）求直线的方程．

【解答】解：（1），， 8，，，分别为边，的中点，

0，， 5，，

故直线的方程为，即．

（2）于点，故的斜率为，

故直线的方程为，即．

18．（12分）已知圆．

（1）过点作圆的切线，求切线的方程；

（2）若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程．

【解答】解：圆；

（1）点在圆上，设切线斜率为，，

故切线方程为；

（2）当直线斜率不存在时，直线满足条件，

当直线斜率存在时，设，

则圆心到直线距离，

所以，

综上，直线的方程为或．

19．（12分）在数列中，，．

（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【解答】解：（1）证明：因为，

数列 是首项为，公比为2的等比数列，

那么，即．

（2）由（1）知，

．

20．（12分）已知，两地的距离是．根据交通法规，，两地之间的公路车速（单位：应满足，．假设油价是7元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，当车速为时，汽车每小时耗油，司机每小时的工资是91元．

（1）求的值；

（2）如果不考虑其他费用，当车速是多少时，这次行车的总费用最低？

【解答】解：（1）汽车以的速度行驶时，汽车的耗油率为，

当时，，解得．

（2）若汽车的行驶速度为，

则从地到地所需用时，

则这次行车的总费用，，，

求导可得，令，解得，

当，时，，单调递减，即，

故当时，该次行车总费用最低．

21．（12分）已知双曲线的左焦点为，到的一条渐近线的距离为1，直线与交于不同的两点，，当直线经过的右焦点且垂直于轴时，．

（1）求的方程；

（2）是否存在轴上的定点，使得直线过点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由双曲线的方程可得左焦点，其中一条渐近线的方程为：，即，

则到这条渐近线的距离为：，

由题意可得，则，

所以双曲线的方程为：；

（2）由（1）可得，

设，当直线的斜率不为0时，设为，

设，，，，

联立，整理可得：，

△，且，

即，，，

因为，所以，

即，

即，整理可得：，

当时，即，不论为何值都成立，

这时存在定点，满足条件；

当直线的斜率为0时，定点，也满足，

当斜率不存在时，轴上有无数点满足，

综上所述，存在定点，满足条件．

22．（12分）已知函数，．

（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；

（2）若在区间上有唯一的零点，

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）证明：．

【解答】解：（1）当时，，

则，

故，，则曲线在点，处的切线方程为；

（2）（ⅰ）因为，

故可得，

因为，

则当时，，

则，无零点，不满足题意；

当时，若在有一个零点，

即在有一个零点，

也即在有一个零点，

又，则单调递增，

则只需，（1），解得，

综上所述，若在区间上有唯一的零点，

则；

（ⅱ）由（ⅰ）可知，若在区间上有唯一的零点，

则，

也即，

则，

令，，

则，

又，，在都是单调增函数，

故是单调增函数，

又，

故，

则在单调递增，

则，

故，即证．

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