2021-2022学年江苏省南京市六校联考高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省南京市六校联考高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．

1．（5分）已知全集，2，3，4，5，，集合，3，，则　　

A．， B．，5， C． D．，2，3，

2．（5分）函数的零点为　　

A． B． C．1和3 D．和

3．（5分）函数的定义域是　　

A．，， B．， 

C． D．，，

4．（5分）已知，则的一个必要条件是　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知函数是定义在上的增函数，且，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知函数，若（a），则实数的值为　　

A．1 B． C．2 D．

7．（5分）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是　　

A．， B． C．， D．，

8．（5分）已知函数，，对，，，，使成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．

9．（5分）设集合，，，则下列关系中正确的是　　

A． B． C． D．

10．（5分）下列说法正确的是　　

A．若，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

11．（5分）已知实数满足，下列选项中正确的是　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）设函数，若（1），则实数可以为　　

A．1 B．0 C． D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）命题“，”的否定是 　　．

14．（5分）已知，都是正实数，且，则的最小值为 　　．

15．（5分）写出对应关系和值域都相同，但定义域不相同的两个函数：　　和 　　．

16．（5分）已知集合，，，用符号表示非空集合中元素的个数，定义※，若※，则实数的所有可能取值构成集合，则　　．（请用列举法表示）

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）（1）求值：；

（2）若，求的值．

18．（12分）已知集合，．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．

19．（12分）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买吨，运费为6万元次，一年的存储费用为万元．一年的总费用（万元）包含运费与存储费用．

（1）要使总费用不超过公司年预算260万元，求的取值范围．

（2）要使总费用最小，求的值．

20．（12分）已知，．

（1）利用函数单调性的定义，证明：在区间上单调递增；

（2）用分段函数的形式表示；

（3）在同一坐标系中分别画出和的图像，并写出不等式的解集．

21．（12分）已知函数．

（1）解关于的不等式；

（2）若不等式在，上有解，求实数的取值范围．

22．（12分）若函数满足在定义域内存在，使得（1）成立，则称函数具有性质；若函数对任意实数，恒有，则称函数具有性质．

（1）请从下列三个函数：①，②，③中选择一个，判断是否具有性质，并说明理由．

（2）函数具有性质，且当时，，又（1）．若不等式恒成立，求的取值范围．

2021-2022学年江苏省南京市六校联考高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．

1．（5分）已知全集，2，3，4，5，，集合，3，，则　　

A．， B．，5， C． D．，2，3，

【解答】解：全集，2，3，4，5，，集合，3，，

，5，．

故选：．

2．（5分）函数的零点为　　

A． B． C．1和3 D．和

【解答】解：令，解得或，

所以函数的零点为：1和3．

故选：．

3．（5分）函数的定义域是　　

A．，， B．， 

C． D．，，

【解答】解：函数中，

令，解得且，

所以函数的定义域是，，．

故选：．

4．（5分）已知，则的一个必要条件是　　

A． B． C． D．

【解答】解：的一个必要条件，则对应集合，

则满足条件．

故选：．

5．（5分）已知函数是定义在上的增函数，且，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为函数是定义在上的增函数，且，

则，解得，

所以实数的取值范围为．

故选：．

6．（5分）已知函数，若（a），则实数的值为　　

A．1 B． C．2 D．

【解答】解：根据题意，，

则有，

若（a），即，解可得，

故选：．

7．（5分）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是　　

A．， B． C．， D．，

【解答】解：命题“，”是假命题，

则它的否定命题“，”是真命题，

时，不等式为，显然成立；

时，应满足，解得，

所以实数的取值范围是，．

故选：．

8．（5分）已知函数，，对，，，，使成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：函数的对称轴方程为，在，上单调递减，

，；

又在，上单调递增，

，，

对，，，，使成立，

，，，

即，解得，

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．

9．（5分）设集合，，，则下列关系中正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，，

中的元素为有序数对，

故，，

故选：．

10．（5分）下列说法正确的是　　

A．若，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，则

【解答】解：对于，令，，满足，但，故错误，

对于，，，

，，

，即，故正确，

对于，令，，，，满足，，但，故错误，

对于，，，

，，

，即，故正确．

故选：．

11．（5分）已知实数满足，下列选项中正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，

，

，故选项正确，

，

，故选项错误，

，

，故选项正确，

，

，

，故选项错误，

故选：．

12．（5分）设函数，若（1），则实数可以为　　

A．1 B．0 C． D．

【解答】解：根据题意，函数，

若，（1），，不满足（1），

若，，（1），满足（1），

若，，（1），满足（1），

故的取值范围为，，

分析选项：符合，

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）命题“，”的否定是 　，　．

【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

则命题“，”的否定为：，．

故答案为：，．

14．（5分）已知，都是正实数，且，则的最小值为 　　．

【解答】解：因为，都是正实数，且，即，

所以，

当且仅当且，即，时取等号，

所以的最小值．

故答案为：．

15．（5分）写出对应关系和值域都相同，但定义域不相同的两个函数：　，　和 　　．

【解答】解：写出对应关系和值域都相同，但定义域不相同的两个函数为：

，；，．

故答案为：，；，．

16．（5分）已知集合，，，用符号表示非空集合中元素的个数，定义※，若※，则实数的所有可能取值构成集合，则　，1，　．（请用列举法表示）

【解答】解：，※，

或．

当时，或；

当时，只有一个解不为1，所以，，，，

故，1，．

故答案为：，1，．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）（1）求值：；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1）原式；

（2），则，，

，，

．

18．（12分）已知集合，．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）集合或，，

若，则，解得，

所以实数的取值范围是，；

（2）若“”是“”的充分条件，则，

因为恒成立，所以；

令或，得或；

所以实数的取值范围是，，．

19．（12分）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买吨，运费为6万元次，一年的存储费用为万元．一年的总费用（万元）包含运费与存储费用．

（1）要使总费用不超过公司年预算260万元，求的取值范围．

（2）要使总费用最小，求的值．

【解答】解：（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次都购买吨，

所以购买货物的次数为，

故，

由题意，

解得，

所以的取值范围为，；

（2）由（1）可知，，

当且仅当，即时取等号，

所以要使总费用最小，则的值为30万元．

20．（12分）已知，．

（1）利用函数单调性的定义，证明：在区间上单调递增；

（2）用分段函数的形式表示；

（3）在同一坐标系中分别画出和的图像，并写出不等式的解集．

【解答】（1）证明：设任意，可得，

，

因为，

所以，，

故，

所以函数在区间上单调递增；

解：（2）当时，

当时，，

当时，，

所以；

（3）

由图像可知，不等式解集为．

21．（12分）已知函数．

（1）解关于的不等式；

（2）若不等式在，上有解，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由，得，

即，

当时，不等式的解集为，，；

当时，不等式的解集为，，；

当时，不等式的解集为，，．

（2）因为在，上有解，

所以在，上有解，

设，当且仅当，即时，等号成立，

所以，

所以，

故实数的取值范围为．

22．（12分）若函数满足在定义域内存在，使得（1）成立，则称函数具有性质；若函数对任意实数，恒有，则称函数具有性质．

（1）请从下列三个函数：①，②，③中选择一个，判断是否具有性质，并说明理由．

（2）函数具有性质，且当时，，又（1）．若不等式恒成立，求的取值范围．

【解答】（1）函数恒具有性质，即关于的方程（1）恒有解．

若选①：

因为，

关于的方程为，可化为，此方程无解，

所以函数一定不具有性质；

若选择②：

因为，

关于的方程为，

可化为，

所以当时，方程无解，

所以函数不恒具有性质；

若选择③：

因为，

所以关于的方程可化为，即，

所以函数恒具有性质．

（2）因为函数具有性质，且当时，，

设，，，

则，

由性质可得，

，

则，

即，

所以函数为增函数，

又因为，（1），

令，可得（2）（1）（1），

同理可得（4）（2），

因为不等式恒成立，

即（4），

由函数是增函数，可得，

即，解得，

故实数的取值范围为．

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