2021-2022学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校高一（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知复数满足，则在复平面内对应的点为　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知向量，，若，则实数　　

A．0 B． C．1 D．3

3．（5分）在中，，，，则　　

A． B． C． 或 D．或

4．（5分）如图，△是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是　　

A．是钝角三角形 

B．是等腰三角形，但不是直角三角形 

C．是等腰直角三角形 

D．是等边三角形

5．（5分）每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图．若点、、、分别是正八面体的棱、、、的中点，则下列结论正确的是　　

A．平面 B．与是异面直线 

C．平面 D．与是相交直线

6．（5分）已知，则等于　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知向量，满足，，，则，　　

A． B． C． D．

8．（5分）在中，角，，的对边分别是，，，，点在上，，，则的面积的最大值为　　

A． B． C．4 D．6

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（5分）下列各式的值等于的是　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）已知复数满足，且复数对应的点在第一象限，则下列结论正确的是　　

A．复数的虚部为 B． 

C． D．复数的共轭复数为

11．（5分）如图，正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列结论正确的是　　

A． 

B．的最小值为 

C．平面 

D．异面直线与所成角的取值范围是，

12．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，则下列结论中错误的是　　

A．可能是直角三角形 B．角可能是钝角 

C．必有 D．可能有

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13．（5分）在中，，，的外接圆的半径为3，则　　．

14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴非负半轴和轴非负半轴上，顶点在第一象限内，，，设，若，则的值为 　　．

15．（5分）正方体的棱长为1，、分别为、的中点，则平面截正方体所得的截面面积为 　　．

16．（5分）已知、、分别是内角、、的对边，满足，则的最大值为　　．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）若复数，是虚数单位）．

（1）若是纯虚数，求的值；

（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．

18．（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，分别，的中点，且．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面．

19．（12分）已知向量，，且．

（1）求的值；

（2）若，，且，求的值．

20．（12分）在平行四边形中，，分别是线段，的中点．

（1）令，，试用向量，表示，；

（2）若，，，求的值．

21．（12分）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．

在中，角，，的对边分别为，，，已知______，．

（1）求；

（2）如图，为边上一点，．，求的面积．

22．（12分）阅读下面材料：

，

解答下列问题：

（1）用表示；

（2）若函数，其中，，有解，求的取值范围．

2021-2022学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知复数满足，则在复平面内对应的点为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，

得，

在复平面内对应的点为．

故选：．

2．（5分）已知向量，，若，则实数　　

A．0 B． C．1 D．3

【解答】解：根据题意，向量，，则，

若，则，

则，

故选：．

3．（5分）在中，，，，则　　

A． B． C． 或 D．或

【解答】解：由正弦定理可得，所以，，

由于，则，因此，或，

故选：．

4．（5分）如图，△是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是　　

A．是钝角三角形 

B．是等腰三角形，但不是直角三角形 

C．是等腰直角三角形 

D．是等边三角形

【解答】解：由斜二测画法的直观图知，，

所以原图形中，，

所以点在以为直径的圆上，

所以是等腰直角三角形．

故选：．

5．（5分）每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图．若点、、、分别是正八面体的棱、、、的中点，则下列结论正确的是　　

A．平面 B．与是异面直线 

C．平面 D．与是相交直线

【解答】解：连接、、，则它们相交且相互平分，

四边形为平行四边形，，

，，，分别为正八面体的棱，，，的中点，

，，且，，

，且，

四边形是平行四边形，故排除；

由题意得平面平面，

又平面，平面，故正确；

，，，平面，

平面，而，与不垂直，

故与平面不垂直，故错误．

故选：．

6．（5分）已知，则等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，两边平方得：，

所以，即，

所以．

故选：．

7．（5分）已知向量，满足，，，则，　　

A． B． C． D．

【解答】解：向量，满足，，，

可得，

，

，．

故选：．

8．（5分）在中，角，，的对边分别是，，，，点在上，，，则的面积的最大值为　　

A． B． C．4 D．6

【解答】解：在中，，

由正弦定理可得，可得，

即，

由于，

所以，由，可得，

设，则，，

在，，中分别利用余弦定理，可得，，，

由于，可得，

再根据，可得，

所以，根据基本不等式可得，

所以，当且仅当，时等号成立，

所以的面积．

故选：．

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（5分）下列各式的值等于的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：；

；

；

．

故选：．

10．（5分）已知复数满足，且复数对应的点在第一象限，则下列结论正确的是　　

A．复数的虚部为 B． 

C． D．复数的共轭复数为

【解答】解：设，

由，得，解得或（舍去）．

，复数的虚部为，故错误；

，故正确；

，故正确；

，故错误．

故选：．

11．（5分）如图，正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列结论正确的是　　

A． 

B．的最小值为 

C．平面 

D．异面直线与所成角的取值范围是，

【解答】解：建立空间直角坐标系，如图，

则，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，

，1，，，，，，1，，，0，，

，，故正确；

是线段上一动点，，

，1，，0，，1，，

，

当且仅当时，，故正确；

设平面的法向量为，，，

则，令，则，，1，，

，，

平面，平面，故错误；

设直线与所成角为，

，当在线段的端点处时，，

在线段的中点时，，，，故正确．

故选：．

12．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，则下列结论中错误的是　　

A．可能是直角三角形 B．角可能是钝角 

C．必有 D．可能有

【解答】解：，

，

若时，此时，满足，

当时，

，

，

，

，

故一定不能为钝角，，

故错误，

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13．（5分）在中，，，的外接圆的半径为3，则　　．

【解答】解：中，，，

，即，

的外接圆半径，

由正弦定理，得：．

故答案为：．

14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴非负半轴和轴非负半轴上，顶点在第一象限内，，，设，若，则的值为 　　．

【解答】解：过点分别作、轴的垂线，垂足点分别为，，

过点分别作、轴的垂线，垂足点分别为、（如图所示）

则，

因为顶点在第一象限内，所以，

设点，、，，

则，，

，；

则，，

则

，

因为，

所以原式，

因此，的值为，

故答案为：．

15．（5分）正方体的棱长为1，、分别为、的中点，则平面截正方体所得的截面面积为 　　．

【解答】解：如图，把截面补形为四边形，

连接，则，可得等腰梯形为平面截正方体所得的截面图形，

由正方体的棱长为1，得，，

，则到的距离为，

四边形，

故答案为：．

16．（5分）已知、、分别是内角、、的对边，满足，则的最大值为　　．

【解答】解：因为，

可得，

可得，

可得，

由正弦定理可得，

可得，整理可得，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

由，可得，，即的最大值为．

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）若复数，是虚数单位）．

（1）若是纯虚数，求的值；

（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．

【解答】解：（1）是纯虚数，，解得，，

的值为；

（2）在复平面内对应的点在第二象限，，

解得，，

的取值范围是．

18．（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，分别，的中点，且．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面．

【解答】证明：（1）设是的中点，由于是的中点，

所以，

由于是的中点，四边形是矩形，

所以，

所以，，

所以四边形是平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面．

（2）由于平面，平面，

所以，

因为，，、平面，

所以平面，

因为平面，

所以，

因为，是的中点，

所以，

因为，、平面，

所以平面．

19．（12分）已知向量，，且．

（1）求的值；

（2）若，，且，求的值．

【解答】解：（1）因为，

所以，

所以，

所以，即．

（2）因为，，

所以，

因为，

所以，

所以，

因为，

所以，

因为，且，

所以，

因为，所以．

因为，所以．

20．（12分）在平行四边形中，，分别是线段，的中点．

（1）令，，试用向量，表示，；

（2）若，，，求的值．

【解答】解：，

．

（2）由（1）知，．

所以，

又，

所以

．

21．（12分）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．

在中，角，，的对边分别为，，，已知______，．

（1）求；

（2）如图，为边上一点，．，求的面积．

【解答】解：若选择条件①，则：

（1）在中，由正弦定理可得，

因为，

所以，可得，

所以，

因为，

所以．

（2）设，易知，

在中，由余弦定理可得，解得，

所以，在中，，，，

所以，所以，

所以．

若选择②，则：

（1）因为，

所以，

由正弦定理可得，

因为，

所以，，

因为，

可得，则，

所以．

（2）同选择①．

22．（12分）阅读下面材料：

，

解答下列问题：

（1）用表示；

（2）若函数，其中，，有解，求的取值范围．

【解答】解：（1），

即；

（2），

令，则，，

所以在，有解，

参变分离可得在，上有解，

令，设，

则，

故，

所以在，上是增函数，

所以的值域为，，

即实数的取值范围为，．

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