2021-2022年江苏省南京市浦口区高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2021-2022年江苏省南京市浦口区高一数学下学期期中试卷及答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．sin7°cs37°﹣sin83°sin37°的值为（ B ）
A．﹣B．﹣C．D．
2．设z＝，则|z|＝（ C ）
A．2B．C．D．1
3．已知＝（1，1），＝（x，1），⊥（+），则x＝（ D ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
4．随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长．浦口区的张先生计划在住的小区内开一家菜鸟驿站，为了确定驿站规模的大小，他统计了隔壁小区的菜鸟驿站和快宝驿站一周的日收件量（单位：件），得到折线图如下，则下列说法不正确的是（ D ）
A．菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于快宝驿站一周的日收件量的极差
B．菜鸟驿站星期三的日收件量小于快宝驿站星期六的日收件量
C．菜鸟驿站日收件量的平均值大于快宝驿站的日收件量的平均值
D．菜鸟驿站和快宝驿站的日收件量的方差分别记为，，则＞
5．在△ABC中，，b＝1，∠B＝30°，则∠A＝（ C ）
A．30°B．60°C．60°或120°D．120°
6．已知，则的值是（ A ）
A．B．C．D．
7．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26.5°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（ D ）
A．
B．
C．
D．
8．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣1）＝f（x+1），且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，若函数g（x）＝f（x）﹣lga（x+2）（a＞1）在区间（﹣1，3）恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（ C ）
A．（1，3）B．（3，5）C．（3，5]D．（1，5]
二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ CD ）
A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
B．若，则z的虚部为﹣2i
C．若点Z的坐标为（﹣1，l），则对应的点在第三象限
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（ AD ）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．若a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC为钝角三角形
C．若acsA＝bcsB，则△ABC一定是等腰三角形
D．若，则符合条件的三角形不存在
（多选）11．若不共线向量、满足，则下列结论中正确的是（ AC ）
A．向量、的夹角恒为锐角
B．2||2•
C．
D．|2|＜|2|
（多选）12．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2bcsB，且b≠c，则（ ACD ）
A．A＝2B
B．角B的取值范围是
C．csA的取值范围是
D．的取值范围是
三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1+1，10x2+1，…，10xn+1的方差为 1 ．
14．已知是单位向量，与的夹角是，且|+|＝，则||＝ 2 ．
15．在菱形ABCD中，，P为菱形ABCD所在平面内的一点，则的最小值为 ﹣1 ．
16．已知函数．当时，关于x的方程[f（x）]2﹣（2m+1）f（x）+m2+m＝0恰有三个不同的实数根，则m的取值范围是 [﹣1，0] ．
四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i，当实数m为何值时
（1）z是实数；
（2）z是纯虚数；
（3）z对应的点在第二象限．
解：（1）由题意可得：m2﹣m﹣2＝0，
解得：m＝﹣1或2；
（2）由题意可得：m2+m﹣6＝0，且m2﹣m﹣2≠0，
∴m＝2或﹣3，且m≠﹣1且m≠2，
∴m＝﹣3；
（3）由题意可得：，
解得：﹣3＜m＜﹣1．
18．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知acsC+ccsA＝2bcsB．
（1）求角B的大小；
（2）b＝2，求△ABC周长的取值范围．
解：（1）∵acsC+ccsA＝2bcsB，
由正弦定理，得sinAcsC+sinCcsA＝2sinBcsB，
∴sin（A+C）＝sinB＝2sinBcsB，
∵sinB＞0，∴，得；
（2）根据（1）中所求，，又b＝2，
由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accsB＝（a+c）2﹣3ac＝4，
则（a+c）2﹣4＝3ac，即a+c≤4，
当且仅当a＝c时取得等号，又a+c＞b＝2，∴4＜a+c+b≤6，
△ABC周长的取值范围为（4，6]．
19．南京市某报社发起过建党100周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取60篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在[15，65]之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：
（1）求频率分布直方图中m的值；
（2）为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这60篇文章中抽出20篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在[15，35）的作者中选出参加座谈会的人数；
（3）根据频率分布直方图，求这60位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和80百分位数（结果保留一位小数）．
解：（1）频率分布直方图知：10×（0.01+0.015+m+0.03+0.01）＝1，
∴m＝0.035．
（2）按分层抽样抽出的20篇最佳文章的作者，
年龄落在[15，25）的有2人，
年龄落在[25，35）的有3人，共5人．
（3）样本平均数岁，
参赛作者年龄的第80百分位数为．
20．如图，在边长为4的正△ABC中，E为AB的中点，D为BC中点，＝3，令＝，＝．
（1）试用、表示向量；
（2）延长线段EF交AC于P，求的值．
解：（1）
＝＝；
（2）设，
，
由与 共线，可知存在k使得，即，
即，则，解得，即，
＝，
所以
＝．
21．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5 nmile，与小岛D相距为．∠BAD为钝角，且．
（1）求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
（2）记∠BDC为α，∠CBD为β，求sin（2α+β）的值．
解：（1）∵sinA＝，且A为钝角，∴csA＝，
在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•csA，
∴，即AD2+8AD﹣20＝0，
解得：AD＝3或AD＝﹣10（舍去）．
∴小岛A与小岛D之间的距离为2 nmile．
∵A、B、C、D四点共圆，∴A与C互补，则sinC＝，
csC＝cs（180°﹣A）＝﹣csA＝．
在△BDC中，由余弦定理得：CD2+CB2﹣2CD•CB•csC＝BD2，
∴，得CD2﹣8CD﹣20＝0，
解得CD＝﹣2（舍去）或CD＝10．
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD•sinA+CB•CD•sinC
＝×5×2×+×5×10×＝3+15＝18（平方nmile）；
（2）在△BDC中，由正弦定理得：，
即，解得sinα＝．
∵DC2+DB2＞BC2，∴α为锐角，则csα＝，
又∵sin（α+β）＝sin（180°﹣C）＝sinC＝，
cs（α+β）＝cs（180°﹣C）＝﹣csC＝﹣，
∴sin（2α+β）＝sin[α+（α+β）]＝sinαcs（α+β）+csαsin（α+β）
＝＝．
22．已知平面向量＝（1，x），＝（|x2﹣1|，x+k），函数f（x）＝•，x∈R．
（1）若k＝1，求方程f（x）＝0的实数解；
（2）若f（x）在（0，2）上有两个零点x1、x2，求实数k的取值范围，并证明：+＜4．
解：（1）f（x）＝＝|x2﹣1|+x2+kx，x∈R，
若k＝1，则f（x）＝|x2﹣1|+x2+x，得方程|x2﹣1|+x2+x＝0，
当x≤﹣1或x≥1时，解方程2x2+x﹣1＝0，得x＝﹣1或x＝（舍），
当﹣1＜x＜1时，解方程x+1＝0，得x＝﹣1（舍），
综上所述，x＝﹣1；
（2）证明：当x∈（0，2）时，，
当x∈（0，1]时，f（x）是单调函数，f（x）至多只有一个零点，
当x∈（1，2）时，假设f（x）有两个零点x1、x2，则x1x2＝﹣＜0，出现矛盾，
因此必有0＜x1≤1＜x2＜2，
由f（x1）＝0，得k＝﹣，所以k≤﹣1，
由f（x2）＝0，得k＝﹣2x2，
显然函数y＝﹣2x在（1，2）上递减，故﹣＜k＜﹣1，
故实数k的取值范围是﹣＜k＜﹣1，
又由k＝﹣以及k＝﹣2x2，消去k，整理得2x1x22﹣x1﹣x2＝0，
即+＝2x2，
由于x2＜2，故+＜4．