2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知，，若，则的值为　　

A． B． C． D．2

2．（5分）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（5分）在中，角，，的对边分别为，，．若，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）在中，角，，的对边分别为，，．“”是“是以为直角的直角三角形”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）钝角三角形的面积是，，，则　　

A．5 B． C．2 D．1

6．（5分）下列命题是真命题的是　　

A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 

B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 

C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 

D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分

7．（5分）克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知，，，，则　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）设复数，满足，则　　

A． B． 

C．若，则 D．若，则

10．（5分）如图，在三棱柱中，，分别为棱和上的点（不包括端点），且，则下列结论正确的是　　

A．，，，四点共面 B．平面 

C．平面与平面不相交 D．，，三点共线

11．（5分）已知是边长为2的等边三角形，若向量，，满足，，则　　

A． B． C． D．

12．（5分）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个多项式使得，，，，，使得，这些多项式称为切比雪夫．．多项式．则　　

A． B．当时， 

C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）如图，正八边形，其外接圆半径为1．则　　．

14．（5分）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 　　．

15．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，，则的外接圆直径为 　　；若点在边上，且，为的外心，则的长为 　　．

16．（5分）设函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，，，若，则　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知复数，且为纯虚数．

（1）设复数，求；

（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围．

18．（12分）已知向量，，，，设函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）若，，且，求的值．

19．（12分）如图，在平行四边形中，，垂足为．

（1）若，求的长；

（2）设，，，，求实数和的值．

20．（12分）在①；②；③的面积三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．

已知的内角、、的对边分别为，，，______，是边上的一点，，且，，求线段的长．

21．（12分）在平面四边形中，，，，．

（1）求；

（2）求的长．

22．（12分）如图，为了检测某工业园区的空气质量，在点处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在点处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点和点处，再分别安装一套监测设备，且满足，，且为正三角形．

（1）若，求面积；

（2）设，试用表示的面积，并求最大值．

2021-2022学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知，，若，则的值为　　

A． B． C． D．2

【解答】解：，

，

则，

故选：．

2．（5分）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：由题意知，

，

，

复数在复平面内所对应的点位于第四象限，

故选：．

3．（5分）在中，角，，的对边分别为，，．若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

由正弦定理可得：，

可得，

由于为三角形内角，，

可得：，

，

，

故选：．

4．（5分）在中，角，，的对边分别为，，．“”是“是以为直角的直角三角形”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：根据正弦弦定理，由，得，

即，又，，所以，或，

所以或，

所以是以为直角的直角三角形或是以、为底角的等腰三角形，

所以“”是“是以为直角的直角三角形”的必要不充分条件．

故选：．

5．（5分）钝角三角形的面积是，，，则　　

A．5 B． C．2 D．1

【解答】解：钝角三角形的面积是，，，

，即，

当为钝角时，，

利用余弦定理得：，即，

当为锐角时，，

利用余弦定理得：，即，

此时，即为直角三角形，不合题意，舍去，

则．

故选：．

6．（5分）下列命题是真命题的是　　

A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 

B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 

C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 

D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分

【解答】解：．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；

．若四点不共面，则其中任意三点不共线，所以该选项正确；

．空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，如三棱锥，相交于同一点的三条直线，，不在同一平面内，所以该选项错误；

．三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误．

故选：．

7．（5分）克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，　　

A． B． C． D．

【解答】解：由制作弦表原理，，可知，

，

，当且仅四边形的当对角互补时取等号，

，

，

在三角形中，，

在三角形中，，，，

，

，

故选：．

8．（5分）已知，，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，，，

，，

解得，，

，且，，

，．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）设复数，满足，则　　

A． B． 

C．若，则 D．若，则

【解答】解：设复数，，，，，，

，

，

，，

，，因此不正确，正确．

，，

，

则．因此正确．

，对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

，

，即．因此正确．

故选：．

10．（5分）如图，在三棱柱中，，分别为棱和上的点（不包括端点），且，则下列结论正确的是　　

A．，，，四点共面 B．平面 

C．平面与平面不相交 D．，，三点共线

【解答】解：对于，因为，所以，共面，所以正确；

对于，，平面，所以平面，故正确，

对于，，平面，平面，

所以平面平面，故正确；

对于，与相交，则平面与平面相交，故不正确．

故选：．

11．（5分）已知是边长为2的等边三角形，若向量，，满足，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：对选项，，选项正确；

对选项，，选项错误；

对选项，，，选项正确；

对选项，，选项错误．

故选：．

12．（5分）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个多项式使得，，，，，使得，这些多项式称为切比雪夫．．多项式．则　　

A． B．当时， 

C． D．

【解答】解：因为，

所以，即，故选项正确；

令，则，则，则或，即选项错误；

令，则，可得，由知或，所以选项错误；

因为，所以，

由可得，

而，故，即，

所以（负根舍去），即选项正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）如图，正八边形，其外接圆半径为1．则　　．

【解答】解：建立平面直角坐标系如图：

可得，，，

则．

故答案为：．

14．（5分）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为 　　．

【解答】解：如图，沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如下图所示：

则即为的周长的最小值，且，

在中，由勾股定理得：．

故答案为：．

15．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，，则的外接圆直径为 　　；若点在边上，且，为的外心，则的长为 　　．

【解答】解：由正弦定理及，得，

因为，所以，

又，所以，

由正弦定理知，，

所以的外接圆直径为，

因为，所以，

又，所以，

因为，，所以，

因为，所以，

所以．

故答案为：；1．

16．（5分）设函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，，，若，则　　．

【解答】解：因为，

则有或，，，

解得或，，，

又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，，，

所以，，，

故，，

所以，即，

则，解得，

故．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知复数，且为纯虚数．

（1）设复数，求；

（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围．

【解答】解：，

，

，

又为纯虚数，

，解得，

，

（1），

则．

（2），

则，

复数在复平面对应的点在第一象限，

，解得，

故的取值范围为．

18．（12分）已知向量，，，，设函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）若，，且，求的值．

【解答】解：（1），

函数的最小正周期为．

（2）（a），，

，，，，，

．

19．（12分）如图，在平行四边形中，，垂足为．

（1）若，求的长；

（2）设，，，，求实数和的值．

【解答】解：（1），；

（2），又，，三点共线，，

又，，

化简得：，联立，解得：，．

20．（12分）在①；②；③的面积三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．

已知的内角、、的对边分别为，，，______，是边上的一点，，且，，求线段的长．

【解答】解：若选①，可得，

可得，

因为为三角形内角，，

可得，

因为，

所以，

可得，

所以由余弦定理可得，可得，

在中，由正弦定理，可得，，

所以，

在中，由正弦定理，可得，解得．

若选②，由余弦定理可得，整理可得，

可得，

因为，

所以，

可得，

所以由余弦定理可得，可得，

在中，由正弦定理，可得，，

所以，

在中，由正弦定理，可得，解得．

若选③的面积，

可得，可得，可得，

因为，

所以，

可得，

所以由余弦定理可得，可得，

在中，由正弦定理，可得，，

所以，

在中，由正弦定理，可得，解得．

21．（12分）在平面四边形中，，，，．

（1）求；

（2）求的长．

【解答】解：（1）在中，由余弦定理知，，

所以，即，

所以，解得，

由余弦定理知，，

因为，

所以．

（2）在中，由正弦定理知，，所以，

在中，由正弦定理知，，所以，

因为四边形，所以，

又，，所以，

所以，

所以，

故，解得．

22．（12分）如图，为了检测某工业园区的空气质量，在点处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在点处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点和点处，再分别安装一套监测设备，且满足，，且为正三角形．

（1）若，求面积；

（2）设，试用表示的面积，并求最大值．

【解答】解：（1）由余弦定理得，

解得或（舍去），

因为正，所以，；

（2）设正的边长为，，

在中由正弦定理有，，

，，，

，

，故当时，面积最大，最大面积为．

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