2021-2022学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校高一（下）段考数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校高一（下）段考数学试卷

1.  复数的虚部是(    )

A.  B.  C. i D. 1

2.  下列关于向量的命题正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则

3.  已知复数，则z的共轭复数是(    )

A.  B.  C. i D.

4.  复数在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5.  已知向量，满足，，，则向量，的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  第十届中国花博会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明举办，主题是“花开中国梦”，其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，利用国际前沿的数字技术，突破物理空间局限，打造了一个万花竞放的虚拟绚丽空间，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度达280米．图1为世纪馆真实图，图2是世纪馆的简化图．世纪馆的简化图可近似看成是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，其中分别为半圆的圆心，线段与半圆分别交于C，，若米，米，，，，，则OP的长约为.(    )
 

A. 27米 B. 28米 C. 29米 D. 30米

7.  已知i为虚数单位，复数，，对应的复平面上的点分别为M，N，若M，N关于实轴对称．
求a，b的值；
若角的终边经过点N，求的值．

8.  已知，，求的值；
若，，且，，求的值．

9.  已知向量，，，且，
求与；
若，，求向量，的夹角的大小．

10.  在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知_____只需填序号
求A；
若，，求的面积．

11.  如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，
求的值；
求AD的长度．

12.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
求A；
若，求的中线AM的最小值．

13.  在中，点D在边BC上，AD为的角平分线，，
求的值；
求边AB的长．

14.  中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
求角A的大小；
若，BC边上的中线，求的面积．

15.  南京是我国著名的“火炉”城市之一，如图，南京某公园O为吸引游客，准备在门前两条夹角为即的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长为且落在小路上，要求弦长，记弓形花园的顶点为M，且，设

将OA，OB用含有的关系式表示出来；
该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，请求出喷泉M与山庄O距离的最大值，并求出此时OA，OB的长度．

16.  如图1，某小区中有条长为50米，宽为米的道路ABCD，在路的一侧可以停放汽车，已知小型汽车的停车位是一个米宽，5米长的矩形，如GHPQ，这样该段道路可以划出10个车位，随着小区居民汽车拥有量的增加，停车难成为普遍现象．经过各方协商，小区物业拟压缩绿化，拓宽道路，改变车位方向增加停车位，如图2，改建后的通行宽度保持不变，即G到AD的距离不变．
绿化被压缩的宽度BE与停车位的角度有关，记，，为停车方便，要求，写出d关于的函数表达式；
沿用的条件和记号，实际施工时，米，问改造后的停车位增加了多少个？

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】

利用虚部的定义直接求解．
本题考查复数的虚部的定义，考查运算求解能力，是基础题．

【解答】

解：复数的虚部是
故选：

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的定义，向量共线的定义，相等向量的定义，共线向量的定义，属于基础题.
根据向量的定义即可判断A错误，根据向量共线的定义即可判断B错误，C显然正确，对于选项D，当时，便得不出，即得出选项D错误．

【解答】

解：对于A：向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误；
对于B：长度相等不能得出向量相互平行，故该选项错误；
对于C：若，，显然可得出，故该选项正确；
对于D：若，，不共线，，则该选项错误．
故选：

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，共轭复数的概念，属于基础题.
根据复数的运算法则化简z，由共轭复数的概念得结果.

【解答】

解：复数，
所以它的共轭复数为，
故选：

4.【答案】A 

【解析】解：复数复平面内对应的点为，
故复数在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：
先利用复数的运算法则求出复数z，然后得到对应的点的坐标，从而可判断点所在的象限．
本题考查了复数的运算和复数的几何意义，属于基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的数量积与夹角计算问题，是基础题．
根据平面向量的夹角公式计算即可．

【解答】

解：设向量，的夹角为，则，
由，，，
所以，
所以向量，的夹角为
故选：

6.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理在解三角形实际问题中的应用，考查三角形中的几何计算，考查数学建模和数学运算的核心素养，属于中档题．
先利用几何关系求出OC，再求出的三个内角，结合正弦定理可得OP的长度．

【解答】

解：如图所示，过B点作的垂线，垂足为H，
则，
因为，所以，所以，
所以，
因为，，所以，
因为，所以，
所以，
在中，由正弦定理可得：
，
，
所以
故选：
 

7.【答案】解：由已知条件，可得，，
，N关于实轴对称，，
点N的坐标为，
，，
，，
 

【解析】本题主要考查复数与三角函数的综合应用，属于中档题．
利用复数的几何意义，即可求解．
根据已知条件，结合三角函数的定义，由求解即可．
 

8.【答案】解：，，
，
，

若，，且，，
，，
，，

 

【解析】由二倍角正切公式求，再应用和角正切公式求即可．
根据已知角的范围及三角函数值，结合同角三角函数的平方关系求、，再由及差角正弦公式求
本题考查三角函数值的求法，考查二倍角正切公式、和角正切公式、同角三角函数平方公式、两角和与差的正弦公式等基础知识，考查运算运解能力，是基础题．
 

9.【答案】解：由，得，解得，
由，得，解得，
，；
因为，，
，，，
，且，
向量，的夹角为 

【解析】本题考查向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，向量加法和数乘的坐标运算，向量夹角的余弦公式，考查计算能力，属于基础题．
根据向量平行和向量垂直时的坐标关系即可求出，，从而得出，；
进行向量加法和数乘的坐标运算即可得出，，然后即可求出、和的值，从而可求出的值，进而得出的夹角．
 

10.【答案】解：选①，因为，
由正弦定理得，
，
因为，
所以，
则，
因为，
所以，
所以，
故；
选②，，
由正弦定理可得，
因为，
所以，
由，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
故；
选③，
由正弦定理得，
又，
所以，
，
所以；
由知，，
所以，
又，
所以，
即，
所以，
所以 

【解析】根据所选条件，结合正弦定理边角关系、三角形内角的性质、三角恒等变换化简条件求角A即可；
由已知及余弦定理可得即可求bc，利用三角形面积公式求的面积．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积等知识，属于基础题．
 

11.【答案】解：在中，因为，，，
由余弦定理可得，
所以，
又由正弦定理可得，
所以，
所以
由，又为锐角，
可得，
在中，根据余弦定理可得，
所以 

【解析】在中，由已知利用余弦定理可求得AC的值，又由正弦定理可得的值，根据二倍角公式即可求解的值．
由题意利用同角三角函数基本关系式可求的值，在中，根据余弦定理即可求解AD的值．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

12.【答案】解：因为，
所以，
由正弦定理可得，
所以，
因为，
则
由题意，则，当且仅当时，等号成立；
则，即的中线AM的最小值为 

【解析】由正弦定理化简已知等式可得，利用余弦定理可求的值，结合范围，可求A的值．
由题意，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式即可求解的中线AM的最小值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量数量积的运算以及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

13.【答案】解：设，
中，由余弦定理得，，
所以，
所以；
过A作，垂足为E，设，
由角平分线性质得，，
所以，
所以，
中，，，，
中，，即，
整理得，，
解得
 

【解析】本题主要考查了余弦定理，同角平方关系，二倍角公式，还考查了角平分线性质，属于中档题．
由已知结合余弦定理先求，然后结合同角平方关系及二倍角正弦公式可求；
设，结合角平分线性质先表示BD，然后结合勾股定理可求
 

14.【答案】解：中，，
由正弦定理得，，
，
，
又，
，，
，
又，
；
，BC边上的中线，
可得，两边平方，可得，
，整理可得，解得，或舍去，
的面积为 

【解析】根据题意，利用正弦定理与三角形的内角和定理求得角A的值；
由题意可得，两边平方，利用平面向量数量积的运算可求，解得c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
本题考查了正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的应用问题，也考查了三角形内角和与面积公式的应用问题，属于中档题．
 

15.【答案】解：在中，由正弦定理可知，，
则，

，，
，
在中，由余弦定理可知，



，
，
，

当时，即时，OM取得最大值，
此时，
，
故喷泉M与山庄O距离的最大值为，此时 

【解析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
根据已知条件，结合余弦定理，以及三角函数的恒等变换，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

16.【答案】解：由题意，，，，；
又，得，，
又，得，
，；
由得，
，，解得或；
由，不合题意舍去；
由，得，，，；
图2改造后的停车位n个，由题意得，
，，又n为整数，所以n最大为15，图车位数为10个，则改造后的停车位增加了5个． 

【解析】本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了计算与推理能力，属于中档题．
由题意知，利用三角形的边角关系，求出d关于的函数表达式；
根据d关于的解析式，求出、的值，计算图2改造后的停车位个数，从而得出改造后的停车位增加了多少个．