2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高二（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．（5分）已知，为虚数单位），则　　
A． B．1 C． D．3
2．（5分）在等比数列中，“”是“”的　　条件
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
3．（5分）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为　　
A． B． C． D．
4．（5分）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是　　

A． B． C． D．
5．（5分）在的展开式中，记项的系数为，则，，　　
A．24 B．80 C．56 D．120
6．（5分）设，若随机变量的分布列是：

0

1




则当在内增大时　　
A．增大 B．先增大后减小
C．减小 D．先减小后增大
7．（5分）设椭圆，已知点，点为曲线上的点，若的最大值为2，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
8．（5分）已知，且，若对任意的均有，则　　
A． B． C． D．
二、多项选择题本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．
9．（5分）若直线与函数的图象有两个公共点，则可以是　　
A．2 B． C． D．
10．（5分）已知双曲线的左，右焦点分别为，，一条渐近线方程为，为上一点，则以下说法正确的是　　
A．的实轴长为8 B．的离心率为
C． D．的焦距为10
11．（5分）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件为“第1次抽到选择题”，事件为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是　　
A． B． C． D．
12．（5分）已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当，时，，则下列结论正确的是　　
A．函数是周期为4的周期函数
B．
C．当，时，
D．不等式的解集为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）若，则　 　．
14．（5分）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若数列的前项和，则的值为 　　．
15．（5分）设，，则的最小值为 　　．
16．（5分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若对任意的，都有，则实数的取值范围为 　　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）设数列的前项和为，已知，，．
（1）求数列通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（12分）在1，2，，9，这9个自然数中，任取3个数．
（Ⅰ）求这3个数中，恰有一个是偶数的概率；
（Ⅱ）记为这三个数中两数相邻的组数，（例如：若取出的数1、2、3，则有两组相邻的数1、2和2、3，此时的值是．求随机变量的分布列及其数学期望．
19．（12分）已知函数，其中，为实数．
（1）若函数的图象与轴相切于点，求，的值；
（2）若，且在区间上取到最大值，求的取值范围．
20．（12分）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由．

21．（12分）设，为实数，且，函数，其中为自然对数的底数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围．
22．（12分）已知的三个顶点在抛物线上，为抛物线的焦点，点为的中点，．
（1）若，求点的坐标；
（2）求面积的最大值．


2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．（5分）已知，为虚数单位），则　　
A． B．1 C． D．3
【分析】利用复数相等的定义求解即可．
【解答】解：因为，即，
由复数相等的定义可得，，即．
故选：．
【点评】本题考查了复数相等定义的理解和应用，属于基础题．
2．（5分）在等比数列中，“”是“”的　　条件
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【分析】利用等比数列的通项公式得到，，由，结合充要条件的定义即可求解．
【解答】解：等比数列，，
，，
，
是充要条件，
故选：．
【点评】本题考查了充要条件的判断，等比数列的通项公式，属于基础题．
3．（5分）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为　　
A． B． C． D．
【分析】根据抛物线的定义，可得，求出，即可求抛物线的焦点坐标；
【解答】解：抛物线上的一点到焦点的距离为，
，
，
抛物线的焦点坐标为：．
故选：．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积是计算，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．
4．（5分）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是　　

A． B． C． D．
【分析】根据题意，用排除法分析：由函数的奇偶性排除，计算的值，排除，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，有，则函数为偶函数，不符合题意；
对于，，有，不符合题意；
对于，，有，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性和函数值的分析，属于基础题．
5．（5分）在的展开式中，记项的系数为，则，，　　
A．24 B．80 C．56 D．120
【分析】由题意根据形定义、二项展开式的通项公式，求得要求式子的值．
【解答】解：在的展开式中，记项的系数为，
则，，，即项的系数加上项的系数，
，，，
故选：．
【点评】本题主要考查形定义、二项展开式的通项公式，属于中档题．
6．（5分）设，若随机变量的分布列是：

0

1




则当在内增大时　　
A．增大 B．先增大后减小
C．减小 D．先减小后增大
【分析】利用数学期望的计算公式先求出，然后利用方差的计算公式表示出，再利用二次函数的性质判断单调性即可．
【解答】解：由题意可得，，
所以，
所以当在内增大时，减小．
故选：．
【点评】本题考查了随机变量的分布列的应用，数学期望和方差计算公式的应用，二次函数性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
7．（5分）设椭圆，已知点，点为曲线上的点，若的最大值为2，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【分析】以为圆心，半径为2的圆的方程为，只需与的交点不超过一个即可，借助图形和判别式求解．
【解答】解：以为圆心，半径为2的圆的方程为，
联立与方程可得：，
又是椭圆的一个短轴端点，即短轴刚好为2，
当△，即时，的最大值为2，
当时，与的交点不止一个，的最大值大于2，不合题意，
．
故选：．
【点评】本题考查了椭圆与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．
8．（5分）已知，且，若对任意的均有，则　　
A． B． C． D．
【分析】分析可知，不可能同时为负，至少有一个为正，然后分①，，②，，③，讨论得答案．
【解答】解：，
，
若使对任意的均有，则，
，不可能同时为负，至少有一个为正，
①若，，显然成立；
②若，，则，此时要使在，上恒成立，则必有，则，矛盾；
③若，，则，此时要使在，上恒成立，则必有，则，符合题意；
综上，．
故选：．
【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
二、多项选择题本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．
9．（5分）若直线与函数的图象有两个公共点，则可以是　　
A．2 B． C． D．
【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得．
【解答】解：

当时，的图象如图（1）所示，
由已知得，；
当时，的图象如图（2）所示，
由已知可得，
，结合可得．
综上可知的取值范围为．
故选：．
【点评】本题考查函数图象的交点个数，数形结合是解决问题的关键，属中档题．
10．（5分）已知双曲线的左，右焦点分别为，，一条渐近线方程为，为上一点，则以下说法正确的是　　
A．的实轴长为8 B．的离心率为
C． D．的焦距为10
【分析】由双曲线的渐近线方程求得，再由隐含条件求得，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：由双曲线，得其一条渐近线方程为，
又一条渐近线方程为，，
则的实轴长为，故正确；
，的离心率为，故错误；
为上一点，则，故错误；
的焦距为，故正确．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质，是基础题．
11．（5分）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件为“第1次抽到选择题”，事件为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式、互斥事件的概率公式求解即可．
【解答】解：由题意，事件为“第1次抽到选择题”，事件为“第2次抽到选择题”，
对于，，故选项正确；
对于，，故选项正确；
对于，，故选项正确；
对于，，，
所以，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了概率问题的求解，涉及了古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式、互斥事件的概率公式的应用，属于中档题．
12．（5分）已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当，时，，则下列结论正确的是　　
A．函数是周期为4的周期函数
B．
C．当，时，
D．不等式的解集为
【分析】先根据题意得到函数为奇函数，且是周期为4的周期函数，进而利用函数的性质对选项逐一判断即可．
【解答】解：对于选项，由函数为偶函数得函数的对称轴为，
故得，又，所以，从而得，所以函数是周期为4的周期函数，故选项正确；
对于选项，又奇函数当，时，，
故得，解得，所以当，时，，
所以（1），故选项正确；
对于选项，当，时，，，
所以，故选项不正确；
对于选项，根据函数的周期性，只需考虑不等式在一个周期，上解的情况即可．
当，时，由，解得，故得；
当，时，由，解得，故得，
综上可得不等式在一个周期，上的解集为，所以不等式在定义域上的解集为，故选项正确．
综上正确．
故选：．
【点评】本题考查了命题真假的判断，主要考查了函数的综合应用，涉及了函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，知识点考查的面广，对学生掌握知识的广度有较高的要求，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．（5分）若，则　　．
【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．
【解答】解：，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查导数的运算法则的应用，考查计算能力．
14．（5分）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若数列的前项和，则的值为 　6　．
【分析】由的前项和，由是公差为的等差数列，设首项为；求出等差数列的前项和的表达式；是公比为的等比数列，设首项为，讨论当为1和不为1时的前项和的表达式，由题意可得，由对应项的系数相等可得，的值，进而求出的值．
【解答】解：因为的前项和，
又因为是公差为的等差数列，设首项为；是公比为的等比数列，设首项为，
所以的通项公式，所以其前项和，
当中，当公比时，其前项和，
所以的前项和，显然没有出现，所以，
则的前项和为，
所以，
由两边对应项相等可得，，，，
解得，，，，
所以．
故答案为：6．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的求和公式，以及恒等式的性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
15．（5分）设，，则的最小值为 　4　．
【分析】由基本不等式得，，注意等号要同时取得即可．
【解答】解：（当且仅当时，等号成立），
（当且仅当时，等号成立），
故（当且仅当且，即，时，等号成立），
故的最小值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，注意等号要同时取得才能得到最值，属于中档题．
16．（5分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若对任意的，都有，则实数的取值范围为 　，　．
【分析】根据题意，由函数的解析式和奇函数的性质作出函数的草图，的图象可以由的图象向右平移的单位得到，由此可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，当时，，
有；
又由为奇函数，其草图如图：
其图象与轴3个交点、，，
的图象可以由的图象向右平移的单位得到，
若对任意的，都有，则有，解可得：，
即的取值范围为，；
故答案为：，．

【点评】本题考查分段函数的图象，涉及函数的奇偶性和函数图象的平移变换，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）设数列的前项和为，已知，，．
（1）求数列通项公式；
（2）求数列的前项和．
【分析】（1）当时，根据可计算出、，再根据可得，两式相减可知是等比数列，最后由等比数列的通项公式即可写出．
（2）令，又是等比数列，所以利用分组求和法即可求出数列的前项和．
【解答】解：（1）由，得①；又当时，②，由①②解得、．
当时，有，所以，即，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以．
（2）令，则，所以的前项和为，
即．
【点评】本题主要考查数列的递推公式与分组求和法，考查推理与运算求解能力，属于基础题．
18．（12分）在1，2，，9，这9个自然数中，任取3个数．
（Ⅰ）求这3个数中，恰有一个是偶数的概率；
（Ⅱ）记为这三个数中两数相邻的组数，（例如：若取出的数1、2、3，则有两组相邻的数1、2和2、3，此时的值是．求随机变量的分布列及其数学期望．
【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是从9个数字中选3个，而满足条件的事件是3个数恰有一个是偶数，即有一个偶数和两个奇数．根据概率公式得到结果．
（2）随机变量为这三个数中两数相邻的组数，则的取值为0，1，2，当变量为0时表示不包含相邻的数，结合变量对应的事件写出概率和分布列，算出期望．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的所有事件是，
而满足条件的事件是3个数恰有一个是偶数共有
记“这3个数恰有一个是偶数”为事件，
；

随机变量为这三个数中两数相邻的组数，
则的取值为0，1，2，
当变量为0时表示不包含相邻的数，
，
的分布列为

0
1
2




的数学期望为．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．
19．（12分）已知函数，其中，为实数．
（1）若函数的图象与轴相切于点，求，的值；
（2）若，且在区间上取到最大值，求的取值范围．
【分析】（1）根据导数的几何意义可得，解方程组可得答案；
（2）根据导数符号与函数单调性之间的关系，分类讨论函数的单调性，进而讨论最值在何时取得即可．
【解答】解：（1），
因为函数的图象与轴相切于点，
所以，即，解得．
（2）当时，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
则（1）为在上的最大值，满足题意；
当时，
恒成立，所以在上单调递增，
因此在上没有最大值，不满足题意；
当时，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
若在上取到最大值，
则必有（1）（2），解得，又，于是．
综上所述，的取值范围为．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于中档题．
20．（12分）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由，平面平面，知平面，有，由勾股定理的逆定理可证，再根据线面垂直的判定定理，得证；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，设直线与平面所成角为，由，，得解；
（3）设，，，求得平面向量的法向量，由平面，知平面的一个法向量为，0，，再由，，即可得解．
【解答】（1）证明：正方形，，
平面平面，且平面平面，
平面，
，，
，
又，，即，
，，
，、平面，
平面．

（2）解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，，0，，，4，，，2，，
，0，，，0，，，4，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，1，，
设直线与平面所成角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
（3）解：设，，，则，，，
，2，，，，，
设平面向量的法向量为，，，则，即，
令，则，，，1，，
由（1）知，平面，
平面的一个法向量为，0，，
二面角的余弦值为，
，，即，
化简得，，
解得或（舍负），
，即．
【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系，线面角和二面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量处理线面角和二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）设，为实数，且，函数，其中为自然对数的底数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围．
【分析】（1）对函数求导，然后分及讨论导函数与0的关系，即可得到单调性情况；
（2）分析可知，，即对任意均成立，令（b），对（b）求导，再研究其单调性及取值情况即可．
【解答】解：（1）函数的定义域为，，
当时，，在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）由（1）可知，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，
函数有两个不同的零点，
必有，即，即对任意均成立，
令（b），则（b），
（b）在上单调递增，在上单调递减，
若，则，不合题意；
若，则（b）在，上单调递减，则，即，
整理得，又在上单调递增，
，
又当时，，且，
存在，，使得，
由函数的单调性及零点存在性定理可知，当时，函数有两个不同的零点．
故实数的取值范围为，．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
22．（12分）已知的三个顶点在抛物线上，为抛物线的焦点，点为的中点，．
（1）若，求点的坐标；
（2）求面积的最大值．

【分析】（1）根据抛物线的定义，利用条件，建立方程关系即可求点的坐标；
（2）设直线的方程为，，，，，联立方程求得的中点的坐标为，由．得，，，由△，得．
，利用导数即可求解．
【解答】解：（1）由题意知焦点，准线方程为，
设，，由抛物线的定义可知，解得，
，．
，，
．，，
，．
（2）设直线的方程为，，，，，
由，得，
于是△，，，
即的中点的坐标为
由．得，，，
，，
，，
，由△，得．
又，
点到直线的距离
，
设，，
则，解得，，
于是在是增函数，在，上是减函数，在上是增函数，
，（2），
所以面积的最大值为．

【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线和抛物线的位置关系，三角形面积公式，平面向量等基础知识，同时也考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，属于难题．
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日期：2021/12/1 14:10:49；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394