2021-2022学年江苏省南京市金陵中学河西分校高一下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年江苏省南京市金陵中学河西分校高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，则在复平面内对应的点为（       ）

A．（2，1） B．（1，2） C． D．

【答案】D

【分析】等式两边同除，再化简即可的出答案.

【详解】因为，

所以在复平面内对应的点为.

故选：D.

【点睛】本题考查复数的基本运算与几何意义，属于基础题.熟练掌握分式复数的化简是本题的关键.

2．已知向量，，若，则实数（       ）

A．0 B． C．1 D．3

【答案】B

【分析】根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得的值.

【详解】因为向量，，且，

所以，即，

所以有，解得，

故选：B.

【点睛】方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下：

（1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式；

（2）根据向量数量积运算法则进行化简；

（3）利用向量数量积坐标公式求得结果.

3．在△ABC中，a＝3，b＝6，，则B等于（       ）

A．无解 B． C．或 D．或

【答案】A

【分析】利用正弦定理求得，进而求得正确答案.

【详解】由正弦定理得，所以无解.

故选：A

4．如图，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（       ）

A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC是等边三角形

C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形

【答案】C

【分析】画出原图，利用原图与直观图之间的转化比例求解.

【详解】解：将其还原成原图，如图，

设，则可得，，

从而，

所以，即，

故是等腰直角三角形.

故选：C.

5．每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图.若点G、H、M、N分别是正八面体的棱的中点，则下列结论正确的是（       ）

A．平面 B．与是异面直线

C．平面 D．与是相交直线

【答案】C

【分析】作出辅助线，得到四边形是平行四边形，排除BD，进而证明出GH与BC不垂直，故与平面不垂直，平面，得到正确答案.

【详解】连接，BD，则它们相交且相互平分，故四边形为平行四边形，则∥.又G、H、M、N分别是正八面体的棱的中点，所以，且，∴，且所以四边形是平行四边形，排除B、D选项，易证平面平面，又平面，∴平面，C正确；因为EH⊥BC，MH⊥BC，，所以BC⊥平面EMH，而GH平面EMH，而GH，所以GH与BC不垂直，故与平面不垂直，A错误；

故选：C

6．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由同角三角函数的平方关系、二倍角公式可得，再由降幂公式、诱导公式可得，即可得解.

【详解】由两边平方得：，

所以即，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系、诱导公式及二倍角公式的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

7．已知向量，满足，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量夹角公式计算即可.

【详解】由

又，，

所以

故选：A

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosA＝c﹣a，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为（       ）

A． B． C．4 D．6

【答案】A

【分析】由正弦定理,三角函数恒等变换可得sinAcosB＝sinA，可求cosB，设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，根据cos∠ADB＝﹣cos∠CDB利用余弦定理可得4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得ac≤6，进而可求解．

【详解】在△ABC中，bcosA＝c﹣a，

由正弦定理可得sinBcosA＝sinC﹣sinA，

可得sinBcosA＝sin（A+B）﹣sinA＝sinAcosB+cosAsinB﹣sinA，

即sinAcosB＝sinA，

由于sinA≠0，

所以，由B∈（0，π），可得B＝，

设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，

在△ADB，△BDC，△ABC中分别利用余弦定理，可得cos∠ADB＝，cos∠CDB＝，cos∠ABC＝，

由于cos∠ADB＝﹣cos∠CDB，可得6x2＝a2+2c2﹣12，

再根据cos∠ABC＝，可得a2+c2﹣9x2＝ac，

所以4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得4c2+a2≥4ac，

所以ac≤6，当且仅当a＝2，c＝时等号成立，

所以△ABC的面积S＝acsin∠ABC＝ac≤．

故选：A．

【点睛】本题考查解三角形，关键点是熟练掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了运算求解能力和逻辑思维能力.

二、多选题

9．下列各式的值等于的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】利用二倍角公式及特殊角的三角函数值即可得到答案

【详解】，故错误

，故正确

，故正确

，故错误

综上所述，故选

【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，着重考查了倍角公式的应用，属于基础题

10．已知复数满足，且复数对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（       ）

A．复数的虚部为 B．

C． D．复数的共轭复数为

【答案】BC

【分析】设，由其对应的点在第一象限和复数模长运算可构造方程求得，由此可得；根据复数虚部和共轭复数的定义、复数的运算法则依次验算各个选项即可.

【详解】设，

对应的点在第一象限，，，

，，解得：，，；

对于A，的虚部为，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，，，，C正确；

对于D，，D错误.

故选：BC.

11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是（       ）

A．AC⊥BD1 B．A1P的最小值为

C．A1P⊥平面ACD1 D．异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是

【答案】ABD

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得；

【详解】

如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，所以，所以，故A正确；

因为是线段上一动点，所以，所以，所以，当且仅当时，故B正确；

设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，因为，即，因为平面，所以平面，故C错误；

设直线与所成的角为，因为，当在线段的端点处时，，在线段的中点时，，所以，故D正确；

故选：ABD

12．在中，角的对边分别为，若，则下列结论中错误的是（       ）

A．可能是直角三角形 B．角可能是钝角

C．必有 D．可能有

【答案】BC

【解析】首先根据三角恒等变形得到或，再逐一判断选项.

【详解】依题意得，整理得，即，所以或.因此当时，是直角三角形，故A选项正确；

而当时，由正弦定理可得，因此选项D正确；选项C错误；无论是还是，均可得角为锐角，故B错误.故选BC.

故选：BC

【点睛】本题考查三角恒等变形，判断三角形形状和性质，意在考查转化与化归的思想，本题的关键是正确化简为或，属于中档题型.

三、填空题

13．在中，bc＝20，，的外接圆的半径为3，则a＝______．

【答案】

【分析】由三角形面积公式及正弦定理可求解.

【详解】由，有,

再由正弦定理有，即.

故答案为：

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的项点A、B分别在x轴非负半轴和y轴非负半轴上，顶点C在第一象限内，AB＝2，BC＝1，设∠DAx＝θ，若，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】分别过点、作、轴的垂线，设点、，根据锐角三角函数的定义可得出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算和二倍角的正弦公式可求出的取值范围.

【详解】过点分别作、轴的垂线，垂足点分别为、，

过点分别作、轴的垂线，垂足点分别为、（如图所示）

则，

因为顶点C在第一象限内，所以，

设点、，

则，，

，；

则，，

则

，

因为，所以，

则，则

因此，的取值范围是.

故答案为：.

15．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BC、BC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为______．

【答案】

【分析】利用两平行线确定一个平面，作出平面截正方体的截面，进而求其面积即可.

【详解】取的中点，连接，，如图，

由正方体的几何特征可知：

，，且

所以四边形为矩形，

其面积 即为截面面积，

故答案为：.

16．在中，内角所对的边为，满足，则的最大值为_________．

【答案】

【分析】利用两角和的正弦公式、正弦定理化简已知等式可得，根据余弦定理和基本不等式可得，结合即可得出结果.

【详解】因为，

得，

，

，

由正弦定理，得，所以

又，所以

整理得，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

又，所以C的最大值为.

故答案为：

四、解答题

17．若复数z＝（m2＋m－6）＋（m2－m－2）i（，i是虚数单位）．

(1)若z是纯虚数，求m的值；

(2)z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．

【答案】(1)-3

(2)

【分析】（1）由纯虚数的定义建立方程，求解即可；

（2）由第二象限的点的特征建立不等式组，求解即可.

【详解】(1)解：因为z是纯虚数，所以，解得

所以m的值为-3；

(2)解：因为z在复平面内对应的点在第二象限，

所以，解得，

所以m的取值范围为．

18．如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且PA＝AD．

(1)求证：AF//平面PEC；

(2)求证：AF⊥平面PCD．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得平面.

（2）结合线面垂直的判定定理来证得平面.

【详解】(1)设是的中点，由于是的中点，

所以，

由于是的中点，四边形是矩形，

所以，

所以，

所以四边形是平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面.

(2)由于PA⊥平面ABCD，平面ABCD，

所以，

因为，，、平面，

所以平面，

因为平面，

所以，

因为是的中点，

所以，

因为，、平面，

所以平面.

19．已知向量，，且.

（1）求的值；

（2）若，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由共线向量的坐标表示列出等式，利用两角和的余弦公式化简等式即可得解；（2）由的值求出，再利用两角和的正切公式求出，根据的范围即可求得.

【详解】（1）因为，所以，

，

，即.

（2）由得，

又因为，

所以，则，，

因为，所以，

因为，所以，所以.

【点睛】本题考查两角和与差的余弦、正切公式，已知三角函数值求角，涉及向量共线的坐标表示，属于中档题.

20．在平行四边形中，分别是线段的中点

(1)令，，试用向量表示；

(2)若，，，求的值；

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用平面向量线性运算可直接得到结果；

（2）由（1）可得，由平面向量数量积的定义和运算律即可求得结果.

【详解】(1)；

.

(2)由（1）知：，则，

又，

.

21．在①3asinC＝4ccosA；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，        ，．

(1)求sinA；

(2)如图，M为边AC上一点，MC＝MB，，求△ABC的面积．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求出即可；

（2）根据两角互补其余弦值之和为，利用余弦定理建立等式求出的长，再利用面积公式求的面积即可.

【详解】(1)若选择条件①，在中，由正弦定理得.

即

又，

若选择条件②，，

，即.

又，，

则

.

(2)设，易知

在中，由余弦定理得 ，解得.

在中，，，

则

22．阅读下面材料：

sin3θ＝sin（2θ＋θ）

＝sin2θcosθ＋cos2θsinθ

，

解答下列问题：

(1)用cosθ表示cos3θ；

(2)若函数，其中，，f（x）＜0有解，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式以及同角三角函数基本关系化简，即可得出结果；

（2）利用诱导公式和的公式把函数化为关于的一元二次函数，再利用换元法和参变分离法得到方程在上有解，再利用函数的值域求出实数的取值范围．

【详解】(1)解：

，

即；

(2)解：

，

令，则，

所以在有解，

参变分离可得在上有解，

令，设，

则，故，

所以在上是增函数，

所以的值域为，

即实数的取值范围为．