2021-2022学年江苏省镇江市高一（下）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省镇江市高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．（5分）正的边长为1，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）下列区间中，函数单调递减的是　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知，为异面直线，，，，则直线一定　　

A．同时和直线，相交 

B．至少与直线，中的一条相交 

C．至多与直线，中的一条相交 

D．与直线，中一条相交，一条平行

4．（5分）已知，是空间中两条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，则下列说法中，正确的个数是　　

（1）若，，则；

（2）若，，则；

（3）若，，则；

（4）若，，，则．

A．1 B．2 C．3 D．4

5．（5分）某人向东偏北方向走50步，记为向量；向北偏西方向走100步，记为向量；向正北方向走200步，记为向量．假设每步的步长都相等，则向量可表示为　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知，两地的距离为，，两地的距离为，且测得点对点和点的张角为，则点到的距离为　　．

A． B． C． D．

7．（5分）计算：　　

A．1 B．2 C．3 D．4

8．（5分）斜三棱柱中，侧面的面积为，侧棱到侧面的距离为，则该斜三棱柱的体积为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．

9．（5分）高空走钢丝是杂技的一种，渊源于古代百戏的走索，演员手拿一根平衡杆，在一根两头拴住的钢丝上来回走动，并表演各种动作．在表演时，假定演员手中的平衡杆是笔直的，水平地面内一定存在直线与演员手中的平衡杆所在直线　　

A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行

10．（5分）在下列对的描述中，能判定是直角三角形的是　　

A． B． 

C．，， D．为正方形的某个截面

11．（5分）　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为，两相邻侧面所成的二面角大小为，不相邻两侧面所成的二面角大小为，则　　

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）　　．

14．（5分）写出一个定义域为，周期为的偶函数　　．

15．（5分）一个正四面体的四个顶点都在一个表面积为的球面上，则该四面体的体积为 　　．

16．（5分）已知腰长为的等腰直角，现沿斜边上的高翻折，使得二面角的大小为，则点到的距离为 　　；异面直线与所成角的余弦值为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知平面直角坐标系中，向量，．

（1）若，且，求向量的坐标；

（2）若与的夹角为 ____，求实数的取值范围．

请在①锐角；②钝角两个序号中选择一个填写在空白处，将问题补充完成，并解答．

18．（12分）已知，．

（1）求的值；

（2）若，且，求角．

19．（12分）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，．

（1）求证：；

（2）若侧面为矩形，，．

①求证：平面平面；

②求直线与平面所成角的正切值．

20．（12分）用“五点法”作函数，，的图像．

（1）列出下表，根据表中信息．

①请求出，，的值；

②请写出表格中，，对应的值；

③用表格数据作为“五点”坐标，作出函数一个周期内的图像；

（2）当时，设“五点法”中的“五点”从左到右依次为，，，，，其中，点分别是图像．上的最高点与最低点，当为直角三角形，求的值．

21．（12分）某景区的平面示意图为如图的五边形，其中，为景区内的乘车观光游览路线，，，，，是步行观光旅游路线（所有路线均不考虑宽度），经测量得：，，，，，且．

（1）求的长度；

（2）景区拟规划区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域面积最大，并求此最大值．

22．（12分）如图，在四棱锥中，，，，分别为，的中点底面四边形是边长为2的菱形，且，交于点．

（1）求证：平面；

（2）二面角的平面角为，若．

①求与底面所成角的大小；

②求点到平面的距离．

2021-2022学年江苏省镇江市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．（5分）正的边长为1，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为正的边长为1，故，

则．

故选：．

2．（5分）下列区间中，函数单调递减的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：在区间上，，，函数单调递增，故排除；

在区间，上，，，函数不单调，故排除；

在区间上，，，函数单调递减，故满足条件；

在区间，上，，，函数不单调，故排除；

故选：．

3．（5分）已知，为异面直线，，，，则直线一定　　

A．同时和直线，相交 

B．至少与直线，中的一条相交 

C．至多与直线，中的一条相交 

D．与直线，中一条相交，一条平行

【解答】解：因为，，，，为异面直线，

所以不可以与，都平行，否则，平行，与，为异面直线矛盾，

故至少与直线，中的一条相交．

故选：．

4．（5分）已知，是空间中两条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，则下列说法中，正确的个数是　　

（1）若，，则；

（2）若，，则；

（3）若，，则；

（4）若，，，则．

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：对于（1）：若，，由垂直于同一直线的两个平面平行知，故正确；

对于（2）：若，，则与相交、平行或异面，故错误；

对于（3）：若，，由垂直于同一平面的直线平行知，故（3）正确；

对于（4）：若，，，则不正确，若可得，，

由（1）知，与矛盾，故（4）错误；

故选：．

5．（5分）某人向东偏北方向走50步，记为向量；向北偏西方向走100步，记为向量；向正北方向走200步，记为向量．假设每步的步长都相等，则向量可表示为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，以步为单位长度，建立平面直角坐标系，

则，，，，，，，

，，

解得，，

．

故选：．

6．（5分）已知，两地的距离为，，两地的距离为，且测得点对点和点的张角为，则点到的距离为　　．

A． B． C． D．

【解答】解：设交于，

由题意可得，

由余弦定理可得：，

可得，

由正弦定理可得，

可得，

在中，，

故选：．

7．（5分）计算：　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：因为，

所以．

故选：．

8．（5分）斜三棱柱中，侧面的面积为，侧棱到侧面的距离为，则该斜三棱柱的体积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：将斜三棱柱对称补全成平行六面体，则该斜三棱柱的体积为平行六面体体积的一半，

该斜三棱柱的体积为，

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．

9．（5分）高空走钢丝是杂技的一种，渊源于古代百戏的走索，演员手拿一根平衡杆，在一根两头拴住的钢丝上来回走动，并表演各种动作．在表演时，假定演员手中的平衡杆是笔直的，水平地面内一定存在直线与演员手中的平衡杆所在直线　　

A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行

【解答】解：根据题意可得：

对直线与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线垂直，正确；

平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交，

根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面，

若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面，

正确，、错误；

故选：．

10．（5分）在下列对的描述中，能判定是直角三角形的是　　

A． B． 

C．，， D．为正方形的某个截面

【解答】解：对于，由，得或，即或，

可得是等腰三角形或直角三角形，故错误；

对于，由，得，即，

可得是直角三角形，故正确；

对于，，，，

，，由，得是直角三角形，故正确；

正方体的截面若为三角形，则三角形是锐角三角形，故错误．

故选：．

11．（5分）　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，故正确；

由正切的半角公式知，故错误；

，故正确；

由，知错误．

故选：．

12．（5分）棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为，两相邻侧面所成的二面角大小为，不相邻两侧面所成的二面角大小为，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：设正四棱锥的棱长为2，连接，相交于，

取，，，的中点分别为，，，，

连接，，，，，，如图，

由棱长都相等正四棱锥可知，平面，，，，，

所以，，

又，

故，所以，即，故正确；

由对称性知，不相邻的侧面所成角为侧面与面所成角的2倍，

故，所以，

而，故，故错误；

因为，所以，故正确；

因为，所以，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）　　．

【解答】解：

故答案为：

14．（5分）写出一个定义域为，周期为的偶函数　（答案不唯一）　．

【解答】解：根据题意，要求函数的一个定义域为，周期为，可以考虑三角函数，

又由要求函数为偶函数，则要求函数可以为，

故答案为：（答案不唯一）．

15．（5分）一个正四面体的四个顶点都在一个表面积为的球面上，则该四面体的体积为 　　．

【解答】解：正四面体的外接球表面积为，

球的半径，

如图，将正四面体放置到正方体中，

则正四面体的外接球直径即为正方体的体对角线长，

设正方体的棱长为，则根据正方体的体对角线公式可得：

，，，

该四面体的体积为正方体的体积减去三棱锥体积的4倍，

即该四面体的体积为，

故答案为：．

16．（5分）已知腰长为的等腰直角，现沿斜边上的高翻折，使得二面角的大小为，则点到的距离为 　　；异面直线与所成角的余弦值为 　　．

【解答】解：如图，

图①中，由题意，，，

，，为二面角的平面角，

即，图②中，，设点的距离为，

由三角形面积可知与所成角为，

，，，

，

．

故答案为：；．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知平面直角坐标系中，向量，．

（1）若，且，求向量的坐标；

（2）若与的夹角为 ____，求实数的取值范围．

请在①锐角；②钝角两个序号中选择一个填写在空白处，将问题补充完成，并解答．

【解答】解：（1）设，由题意得，

，，解得，

，，解得，

向量的坐标为或．

（2），

当与共线时，，解得，

若选①锐角，则，

解得；

与的夹角为锐角时，实数的取值范围为，，；

若选②钝角，则，

解得，

与的夹角为钝角时，实数的取值范围是，．

18．（12分）已知，．

（1）求的值；

（2）若，且，求角．

【解答】解：（1）由，得，即，

因为，且，

所以，，

所以．

（2）因为，，所以，，

又，所以，

所以，

因为，所以．

19．（12分）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，．

（1）求证：；

（2）若侧面为矩形，，．

①求证：平面平面；

②求直线与平面所成角的正切值．

【解答】解：（1）证明：连接，

在三棱柱中，侧面是菱形，，

，又，平面，

平面，；

（2）①证明：侧面为矩形，，，

，，，

平面，

平面，平面平面；

②平面，在平面上的射影为，

直线与平面所成角为，

直线与平面所成角的正切值为：

．

20．（12分）用“五点法”作函数，，的图像．

（1）列出下表，根据表中信息．

①请求出，，的值；

②请写出表格中，，对应的值；

③用表格数据作为“五点”坐标，作出函数一个周期内的图像；

（2）当时，设“五点法”中的“五点”从左到右依次为，，，，，其中，点分别是图像．上的最高点与最低点，当为直角三角形，求的值．

【解答】解：（1）①由表格可知，，，解得，．

②，，

当时，，．

③作出一个周期的图象，如图，

（2），，则，，，，，．

当为直角三角形时，，，，解得，

，，，解得，

，，，

综上，或．

21．（12分）某景区的平面示意图为如图的五边形，其中，为景区内的乘车观光游览路线，，，，，是步行观光旅游路线（所有路线均不考虑宽度），经测量得：，，，，，且．

（1）求的长度；

（2）景区拟规划区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域面积最大，并求此最大值．

【解答】解：（1）在中，，，，

由正弦定理可得，

可得，

在中，由余弦定理可得：，

而，且，

整理可得，解得或（舍，

所以的长度为10；

（2）在中，由余弦定理可得，当且仅当时取等号；

而，所以，

所以，解得，

所以，

所以面积最大值为．

22．（12分）如图，在四棱锥中，，，，分别为，的中点底面四边形是边长为2的菱形，且，交于点．

（1）求证：平面；

（2）二面角的平面角为，若．

①求与底面所成角的大小；

②求点到平面的距离．

【解答】证明：（1）取得中点，连接，，如图，

为的中点，，

为的中点且四边形为菱形，，

，，四边形为平行四边形，

，

又平面，平面，

平面；

解：（2）①连接，过作于，连接，，

由，是的中点，，

由菱形知，又，平面，

平面，平面平面，且交线为，

直线在平面上的射影为，即与底面所成角为，

平面，，且在平面上的射影为，

，又，，是的中点，是的中点，

，

由知，，，

为二面角的平面角，

，

即，解得，，

，

，，

即与底面所成角的大小为；

②连接，过作于，

由，平面，平面，平面，

点到平面的距离即点到平面的距离，

，，，

平面，平面平面，且是交线，

，平面，

在中，，

由等积法可得，即，

即点到平面的距离为．

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