2021-2022学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷

一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知，则在复平面内，复数对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（5分）某种彩票中奖的概率为，这是指　　

A．买10000张彩票一定能中奖 

B．买10000张彩票只能中奖1次 

C．若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖 

D．买一张彩票中奖的可能性是

3．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知两个单位向量，的夹角为，若，则　　

A．3 B． C． D．1

5．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥侧面积之比为　　

A．1 B． C． D．

6．（5分）已知，是两个不重合的平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是　　

A．若，，，则 B．若，，，则 

C．若，，，则 D．若，，，则

7．（5分）已知为锐角三角形，，，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

8．（5分）一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则　　

A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立

二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）对于一组数据2，3，3，4，6，6，8，8，则　　

A．极差为8 B．平均数为5 

C．方差为 D．40百分位数是4

10．（5分）已知正六边形的中心为，则　　

A． B． 

C．存在， D．

11．（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，，三条中线相交于点．已知，，的平分线与相交于点，则　　

A．边上的中线长为 B．内切圆的面积为 

C．与面积之比为 D．到的距离为

12．（5分）已知函数，则　　

A．的最小正周期为 

B．函数在，上单调递减 

C．当时，， 

D．当函数在，上有4个零点时，

三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）　　．

14．（5分）已知向量，，则在的投影向量的坐标为 　　．

15．（5分）写出一个同时具有下列性质①②的复数　　．

①的实部小于0；

②．

16．（5分）已知菱形的边长为2，．将沿折起，使得点至点的位置，得到四面体．当二面角的大小为时，四面体的体积为 　　；当四面体的体积为1时，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为 　　．

四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知，，，．

（1）若，求；

（2）若，求．

18．（12分）立德中学高一年级800名学生参加某项测试，测试成绩均在65分到145分之间，现随机抽取50名学生的测试成绩，分8组：第1组，，第2组，，，第8组，，统计得到频率分布直方图，如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）估计学生测试成绩的平均数；

（3）估计学生测试成绩的中位数．

19．（12分）已知向量，．

（1）若，求；

（2）若，函数，求的值域．

20．（12分）甲、乙两人分别对，两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影响．已知甲击中，的概率均为，乙击中，的概率分别为，．

（1）求被击毁的概率；

（2）求恰有1个目标被击毁的概率．

21．（12分）在四边形中，．

（1）若，，，求四边形面积的最小值；

（2）若四边形的外接圆半径为1，，求的最大值．

22．（12分）如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，．

（1）证明：平面；

（2）若点在棱上，直线与平面所成角的大小为．

①画出平面与平面的交线，并写出画图步骤；

②求的最大值．

2021-2022学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知，则在复平面内，复数对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：由，

得，

在复平面内复数对应的点的坐标为，位于第三象限．

故选：．

2．（5分）某种彩票中奖的概率为，这是指　　

A．买10000张彩票一定能中奖 

B．买10000张彩票只能中奖1次 

C．若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖 

D．买一张彩票中奖的可能性是

【解答】解：如果某种彩票的中奖概率为，则买10000张这种彩票仍然是随机事件，即买10000张彩票，可能有多张中奖，也可能不能中奖，排除，；

若买9999张彩票未中奖，则第10000张也是随机事件，且发生概率仍然是，故错误，这里的中奖的概率为，是指买一张彩票中奖的可能性是，故正确．

故选：．

3．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

．

故选：．

4．（5分）已知两个单位向量，的夹角为，若，则　　

A．3 B． C． D．1

【解答】解：因为，即，

所以，

故选：．

5．（5分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥侧面积之比为　　

A．1 B． C． D．

【解答】解：如图，设正四棱锥的底面边长为，高为，斜高为，为的中点，

则由题意得：，

则设以该四棱锥的高为边长的正方形面积为，

设该四棱锥侧面积为，

所以．

故选：．

6．（5分）已知，是两个不重合的平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是　　

A．若，，，则 B．若，，，则 

C．若，，，则 D．若，，，则

【解答】对于，若，，，可将，平移至相交直线，由公理3推论2，确定一个平面，

由线面垂直的性质可得，的交线垂直于平面，进而得到垂直于和，的交线，且和，的交线与，或其平行线能围成矩形，

由面面垂直的定义，可得，则正确；

对于，若，，，当，都平行于，的交线，则条件满足，则，相交成立，则错；

对于，若，，，则，可能平行、可能异面、可能相交，所以错；

对于，若，，，则，可能平行、可能异面、可能相交，所以错．

故选：．

7．（5分）已知为锐角三角形，，，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由于为锐角三角形，

故，整理得；

故由正弦定理得：，整理得，

由于，

所以．

故选：．

8．（5分）一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则　　

A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立

【解答】解：连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，．

其中事件包括：，，，，，，，．

事件包括：，，，，，，，，，，

事件包括：，，，，，，，，

事件包括：，，，，，，，，

对于：因为事件与有相同的基本事件，，，，，故与互斥不成立，故错误；

对于：因为事件与有相同的基本事件，，，，，故与对立不成立，故错误；

对于：因为（A），（B），，因为（A）（B），所以与不是相互独立，故错误；

对于：因为（A），（C），而，因为两个事件的发生与否互不影响且（A）（C），所以与相互独立，故正确．

故选：．

二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）对于一组数据2，3，3，4，6，6，8，8，则　　

A．极差为8 B．平均数为5 

C．方差为 D．40百分位数是4

【解答】解：数据2，3，3，4，6，6，8，8，

极差是，故错误，

平均数是，故正确，

方差，故正确，

由，是第四个数，

得40百分位数是4，故正确，

故选：．

10．（5分）已知正六边形的中心为，则　　

A． B． 

C．存在， D．

【解答】解：对：因为六边形，所以，，，

所以，故正确；

对，故不正确；

对：以为原点，建立坐标系，则设正六边形的边长为，

则，，，，，，，，

则，，，，

所以存在，使得，所以正确；

对：设正六边形边长为，，

，故正确；

故选：．

11．（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，，三条中线相交于点．已知，，的平分线与相交于点，则　　

A．边上的中线长为 B．内切圆的面积为 

C．与面积之比为 D．到的距离为

【解答】解：如下图，取，，边上的中点，，，

则边上的中线为，则，

，又因为，

则，则．

故不正确；

因为，设内切圆的为，

，则，则，

内切圆的面积为：，故正确．

对于，由角平分线定理知：，所以正确；

对于，因为，在三角形和三角形中，

，则，解得：，

所以，所以，

所以，

所以到的距离为：，故不正确．

故选：．

12．（5分）已知函数，则　　

A．的最小正周期为 

B．函数在，上单调递减 

C．当时，， 

D．当函数在，上有4个零点时，

【解答】解：依题意，，，

函数部分图像如图：

函数是周期函数，周期为，故正确；

若函数在，上单调递减，则在，上单调递减，从图中可知，不正确．

因且，

则当时，且，

则，，，，

因此，，，故正确；

函数在，上有4个零点时，即，

则与的图像在，上有四个交点，

所以，或，

所以，或，故不正确．

故选：．

三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）　　．

【解答】解：原式．

故答案为：．

14．（5分）已知向量，，则在的投影向量的坐标为 　　．

【解答】解：向量，，

所以在的投影向量为，．

故答案为：．

15．（5分）写出一个同时具有下列性质①②的复数　（答案不唯一）　．

①的实部小于0；

②．

【解答】解：设，，

的实部小于0，，

取，

则．

．

．

故答案为：（答案不唯一）．

16．（5分）已知菱形的边长为2，．将沿折起，使得点至点的位置，得到四面体．当二面角的大小为时，四面体的体积为 　　；当四面体的体积为1时，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为 　　．

【解答】解：如图1，过点作交的延长线于点，则，

因为菱形的边长为2，，

所以，，

故四面体的体积为；

当四面体的体积为1时，此时，

解得：，，即，两点重合，

即底面，如图2，

以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线为以为圆心，半径为的圆，

落在内部的长为圆周长的一半，所以长度为．

故答案为：，．

四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知，，，．

（1）若，求；

（2）若，求．

【解答】解：（1）因为，，，

所以，

因为，

所以，

因为，

所以，

；

（2）因为，

又，

所以，，

所以．

18．（12分）立德中学高一年级800名学生参加某项测试，测试成绩均在65分到145分之间，现随机抽取50名学生的测试成绩，分8组：第1组，，第2组，，，第8组，，统计得到频率分布直方图，如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）估计学生测试成绩的平均数；

（3）估计学生测试成绩的中位数．

【解答】解：（1）由频率分布直方图中各个小矩形面积之和为1可得：，

解得．

（2）平均数为：．

（3），，中位数落在区间，，

设中位数为，

则，

解得，

即中位数的估计值为100.29．

19．（12分）已知向量，．

（1）若，求；

（2）若，函数，求的值域．

【解答】解：（1）因为，所以，

即，

则，

所以；

（2）因为，所以，，

所以

，

设，则，

因为，，所以，，

设，，，

由二次函数性质可得：，

，

故的值域为，．

20．（12分）甲、乙两人分别对，两个目标各射击一次，若目标被击中两次则被击毁，每次射击互不影响．已知甲击中，的概率均为，乙击中，的概率分别为，．

（1）求被击毁的概率；

（2）求恰有1个目标被击毁的概率．

【解答】解：（1）被击毁则甲、乙两人均要击中目标，故概率为．

（2）被击毁的概率为，

则被击毁，不被击毁的概率为，

被击毁，不被击毁的概率为，

则恰有1个目标被击毁的概率为．

21．（12分）在四边形中，．

（1）若，，，求四边形面积的最小值；

（2）若四边形的外接圆半径为1，，求的最大值．

【解答】（1）解：延长，相交于点，

，

是边长为2的正三角形，

的面积为，

在中，，

由余弦定理得，，

即，

则，（当且仅当时，等号成立）

的面积，

的面积的最大值为，

四边形面积的最小值为．

（2）解：四边形存在外接圆，

，

，

，

四边形为等腰梯形．

连接，设，，，

的外接圆半径为1，

在中，由正弦定理得，，

，．

同理可得，在中，由正弦定理可得，，

，

设，得，

，，

时，等号成立），

，时，等号成立），

当时，取得最大值．

22．（12分）如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，．

（1）证明：平面；

（2）若点在棱上，直线与平面所成角的大小为．

①画出平面与平面的交线，并写出画图步骤；

②求的最大值．

【解答】解：（1）证明：因为，

所以，所以，

因为四棱柱为直四棱柱，

所以平面，又平面，所以，

又，，平面，

所以平面；

（2）①过作于，连接，分别交，于，，连接，

则直线为平面与平面的交线；

②由①可知，故，，，四点共面，

设，则直线为平面与平面的交线，

故，，三点共线，过作于，连接，

又，且根据线面平行的性质可得，

故平面，所以，

又，平面，

故直线与平面所成角为，

当，不重合，即与不重合时，

易得，

又，均为锐角，故，

当，重合时，有与重合，

此时由（1）平面，故平面，

故为与平面所成角，

故当与重合时，取得最大值，

此时，

故的最大值为．

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