2021-2022学年江苏省镇江市六校联谊高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省镇江市六校联谊高一（上）期中数学试卷

一、选择题.请把答案直接填涂在答题卡相应位置上.

1．已知，，，，则　　

A． B． C． D．

2．函数的图象如图所示，则函数的零点为　　

A．1 B．2 C． D．

3．已知命题：“，”，则它的否定为　　

A．， B．， 

C．， D．，

4．“，”是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．设集合，，均为的非空真子集，且，，则　　

A． B． C． D．

6．已知不等式的解集为，则的解集为　　

A． B． 

C． D．，，

7．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃烧质量千克，火箭（除燃料外）的质量千克，它们之间的函数关系是，当燃料质量是火箭质量的　　倍时，火箭的最大速度可达到？

A． B． C． D．

8．已知是大于1的实数，满足方程，则　　

A．1 B． C． D．4

二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）

9．如图阴影部分所表示的集合可以为　　

A． B． 

C． D．

10．下列表示同一函数的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

11．函数有两个不相等的根，，其中，，则的取值可能为　　

A． B．0 C．1 D．2

12．下列函数的最小值为2的有　　

A．，， B． 

C． D．

三、填空题.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．已知二次函数的部分对应值如表所示：

则不等式的解集是 　　（用区间表示）

14．函数的图象与直线的交点的个数是　　．

15．设集合，，，，，中，至少有两个元素，且，满足：①对于任意，，若，都有；②对于任意，，若，则．若有4个元素，则有 　　个元素．

16．一批货物随17列货车从市以千米小时匀速直达市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于千米，那么这批物资全部运到市，最快需要　　小时（不计货车的身长）

四、解答题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．函数的定义域，函数的定义域为．求：

（1）；

（2）．

18．计算下列各式：

（1）；

（2）．

19．（1）已知，比较与的大小；

（2）已知正数，，，满足，证明：．

20．阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个条件①，②，③中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的_____处，使问题完善并成立，并解答你构造的问题．

已知实数，命题，命题q：____，使得是的充分不必要条件成立，求此时的取值范围．

21．某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品进行提价，现有四种提价方案：方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价；方案丙：第一次提价，第二次提价；方案丁：一次性提价．其中，比较上述四种方案，哪一种提价最少？哪一种提价最高？请说明理由．

22．已知．

（1）解关于的不等式：；

（2）若函数的定义域为，，有恒成立，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省镇江市六校联谊高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题.请把答案直接填涂在答题卡相应位置上.

1．已知，，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，，，

是偶数集，是4的倍数集，

．

故选：．

2．函数的图象如图所示，则函数的零点为　　

A．1 B．2 C． D．

【解答】解：函数图象与轴的交点为，

函数的零点为2，

故选：．

3．已知命题：“，”，则它的否定为　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

命题：“，”，

则它的否定为：，．

故选：．

4．“，”是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：“，”可以推出，当且仅当时，取等号；

但，成立，但推不出，，

故，”是的充分不必要条件，

故选：．

5．设集合，，均为的非空真子集，且，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：集合，，均为的非空真子集，且，，如图所示：

所以．

故选：．

6．已知不等式的解集为，则的解集为　　

A． B． 

C． D．，，

【解答】解：根据题意可得，化简得，

所以不等式等价于，即，

解得，

所以不等式的解集是，．

故选：．

7．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃烧质量千克，火箭（除燃料外）的质量千克，它们之间的函数关系是，当燃料质量是火箭质量的　　倍时，火箭的最大速度可达到？

A． B． C． D．

【解答】解：，要使火箭的最大速度可达到，

，解得．

故选：．

8．已知是大于1的实数，满足方程，则　　

A．1 B． C． D．4

【解答】解：，，

，

又，，，

，

故选：．

二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）

9．如图阴影部分所表示的集合可以为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足“是的元素，也是的元素，不是的元素”，

故阴影部分所表示的集合是或，

故选：．

10．下列表示同一函数的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：】对于，，定义域为，，定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；

对于，，定义域为，，定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；

对于，，定义域为，，定义域为，，两函数的定义域不同，不是同一函数；

对于，，定义域为，，定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数．

故选：．

11．函数有两个不相等的根，，其中，，则的取值可能为　　

A． B．0 C．1 D．2

【解答】解：因为函数有两个不相等的根，，且，，

所以，作出可行域如图所示：

令，则，平移直线，

当直线经过点，，

由图象知，，

所以的取值可能为1，2，

故选：．

12．下列函数的最小值为2的有　　

A．，， B． 

C． D．

【解答】解：对于，，，，

所以当时，该二次函数的最小值为1，故不合题意；

对于，，

因为，，所以，，

所以，当且仅当，即时等号成立，

所以，，的最小值为2，故符合题意；

对于，因为，所以，

由题意，，，

又因为，当且仅当，即时等号成立，

所以，即当时，的最小值为2，故符合题意；

对于，由基本不等式可知，，当且仅当，即时，有最小值2，故正确．

故选：．

三、填空题.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．已知二次函数的部分对应值如表所示：

则不等式的解集是 　，，　（用区间表示）

【解答】解：根据二次函数的部分对应值表知，该二次函数的图象开口向上，函数的零点是和4，

所以对应不等式的解集为，，．

故答案为：，，．

14．函数的图象与直线的交点的个数是　0或1　．

【解答】解：根据函数的定义，当在定义域内任意取一个值，都有唯一的一个函数值与之对应，函数的图象与直线有唯一交点．

当不在定义域内时，函数值不存在，函数的图象与直线没有交点．

故函数的图象与直线至多有一个交点，即函数的图象与直线的交点的个数是 0或1，

故答案为 0或1．

15．设集合，，，，，中，至少有两个元素，且，满足：①对于任意，，若，都有；②对于任意，，若，则．若有4个元素，则有 　7　个元素．

【解答】解：根据题意设，4，8，，，16，32，64，，

，4，8，16，32，64，，

的元素个数为7．

故答案为：7．

16．一批货物随17列货车从市以千米小时匀速直达市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于千米，那么这批物资全部运到市，最快需要　8　小时（不计货车的身长）

【解答】解：设这批物资全部运到市用的时间为小时

因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，

可知最前的点与最后的点之间距离最小值为千米时，时间最快．

则，

当且仅当即千米小时时，

时间小时

故答案为：8．

四、解答题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．函数的定义域，函数的定义域为．求：

（1）；

（2）．

【解答】解：由，解得或，，，

又函数的定义域为，由，解得，，

（1），；

（2）由（1）得，，则，．

18．计算下列各式：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）

．

（2）

．

19．（1）已知，比较与的大小；

（2）已知正数，，，满足，证明：．

【解答】解：（1）

，

．

（2）证明：，

，

又．，是正实数，

，当时等号成立，，当时等号成立，，当时等号成立，即，

故，当且仅当时，等号成立，即得证．

20．阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个条件①，②，③中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的_____处，使问题完善并成立，并解答你构造的问题．

已知实数，命题，命题q：____，使得是的充分不必要条件成立，求此时的取值范围．

【解答】解：因为命题，，

当时，不等式的解集为：．

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为：．

使得是的充分不必要条件成立，即命题对应集合是命题对应集合的子集．

选择条件①，即，即，

当时，，，，解得；

当时．，，，解得；

当时，，成立．

综上，的取值范围是，；

选择条件②，即，即或，

当时，，，，，无解；

当时．，，，，无解；

当时，，，，成立．

综上，的取值范围是；

选择条件③，即，即，，，

当时，，，，，无解；

当时．，，，，无解；

当时，，，，成立．

综上，的取值范围是．

21．某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品进行提价，现有四种提价方案：方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价；方案丙：第一次提价，第二次提价；方案丁：一次性提价．其中，比较上述四种方案，哪一种提价最少？哪一种提价最高？请说明理由．

【解答】解：设产品原价为，

方案甲提价后价格为：，

方案乙提价后价格为：，与甲一样，

方案丙提价后价格为：，

方案丁提价后价格为：，

因为，

所以方案丁提价后的价格低于方案甲（乙提价后的价格，

又因为，

因为，

所以以等号取不到，

方案丙提价后的价格高于方案甲（乙提价后的价格，

所以方案丁提价后的价格最低，方案丙提价后的价格最高．

22．已知．

（1）解关于的不等式：；

（2）若函数的定义域为，，有恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）因为，

则，

因为与同号，

所以上式变形为，

即，

所以，

解得，

所以或或，且，

故不第式的解集为；

（2）因为函数的定义域为，，

所以的定义域为，，，

所以，，

由题意可得，对于，恒成立，

即对于，恒成立，

即对于，恒成立，

即对于，恒成立，

令，，

则，

所以对于，恒成立，

①当，即时，在，上单调递增，

所以当时，取到最小值（1），

所以（1），解得；

②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，取到最小值，

所以，解得，与矛盾，舍去．

③当时，即时，在，上单调递减，

所以当时，取到最小值（4），

所以，解得与矛盾，舍去．

综上所述，实数的取值范围为．

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