2020-2021学年江苏省镇江市高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省镇江市高二（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省镇江市高二（下）期末数学试卷
一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合，，则　　
A． B． C． D．
2．（5分）若，，则的值为　　
A． B． C． D．2021
3．（5分）草木葱茏，绿树成荫，鸟语花香，空气清新是我们梦寐以求的家园．为了改善生活环境，今年3月份某学校开展了植树活动，根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程后，由于某种原因其中一个数据被损坏（表格中？？处数据），请你推断出该数据的值　　
植树棵树（单位：棵）
10
20
30
40
50
花费时间（单位：分钟）
62
68
75
？？
89
A．81 B．81.7 C．81.6 D．82
4．（5分）一不透明的口袋内装有若干个形状、质地完全相同的红色和黄色小球．若事件“第一次摸出红球且第二次摸出黄球”的概率为，事件“在第一次摸出红球的条件下，第三次摸出黄球”的概率为，则事件“第一次摸出红球”的概率为　　
A． B． C． D．
5．（5分）现有4位学生干部分管班级的三项不同的学生工作，其中每一项工作至少有一人分管且每人只能分管一项工作，则这4位学生干部不同的分管方案种数为　　
A．18 B．36 C．72 D．81
6．（5分）某航空母舰的飞行甲板后部有四套安全着陆装置，，，，降落的飞行员着陆时，启用哪套安全着陆装置按就近原则，例如：当某次降落的飞行员着陆时离装置最近，首选启用装置，若成功启用装置，则在此次着陆过程中不启用其它三套装置，若装置出现故障则启用除装置之外的最近装置，依此类推，只有当四套安全着陆装置同时出现故障时，降落的飞行员着陆失败需拉起复飞经过对多次试验数据统计分析显示：成功启用装置的概率为，成功启用装置或装置的概率为，降落的飞行员着陆失败需拉起复飞的概率约为．现有一架战机着舰演练100次，则成功启用装置的次数约为　　
A．5 B．15 C．20 D．25
7．（5分）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
8．（5分）若点，分别是函数与图象上的动点（其中是自然对数的底数），则的最小值为　　
A． B． C． D．17
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．（5分）若，则下列结论一定成立的是　　
A． B． C． D．
10．（5分）一个不透明的口袋内装有若干张大小、形状完全相同的红色和黄色卡片，现从口袋内随机抽取卡片，每次抽取一张，随机变量5表示抽到黄色卡片的张数，下列说法正确的有　　
A．若口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中不放回地抽取卡片，则第一次抽到红色卡片且第二次抽到黄色卡片的概率为
B．口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中有放回地抽取6次卡片，则随机变量，且
C．若随机变量，，，且，则口袋内黄色卡片的张数是红色卡片张数的2倍
D．随机变量，，若，，则
11．（5分）已知命题；命题．若是的充分不必要条件，则实数的值是　　
A． B．1 C． D．0
12．（5分）已知函数，，函数和的导数分别量为，，则　　
A．的最大值为1 B．
C． D．当，时，恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）曲线在原点处的切线方程为 　　．
14．（5分）已知圆柱的体积为，则该圆柱的表面积的最小值为 　　．
15．（5分）若的展开式中的系数为，则的值为 　　，二项展开式中系数最大的为 　　．
16．（5分）某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中 　　次．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）有三个条件：
①函数的图象过点，且；
②在时取得极大值；
③函数在处的切线方程为，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题．
题目：已知函数存在极值，并且_____．
（1）求的解析式；
（2）当，时，求函数的最值．
18．（12分）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身体质量指数，缩写来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是．
中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．
为了解某学校教职工的身体肥胖情况，研究人员通过对该学校教职工体检数据分析，计算得到他们的值统计如表：

男教职工人数
女教职工人数
合计
偏瘦
12
16
28
正常
35
23
58
偏胖
18
6
24
肥胖
15
5
20
合计
80
50
130
（1）根据上述表格中的数据，计算并填写下面的列联表，并回答是否有的把握认为肥胖与教职工性别有关．



合计
男教职工



女教职工



合计



（2）在的教职工中，按男女比例采用分层抽样的方法随机抽取8人，然后从这8名教职工中随机抽取2人，问被抽到的2人中至少有一名女教职工的概率为多少？
参考数据：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
，其中．
19．（12分）在三棱柱中，，分别为线段与的中点
（1）求证：平面；
（2）若侧面为矩形，底面为等腰直角三角形，，与侧面所成角的正切值为，与底面所成角的正弦值为，求二面角的正切值．

20．（12分）（1）解不等式；
（2）对于题目：已知，，且，求最小值．
同学甲的解法：因为，，所以，，从而：．
所以的最小值为8．
同学乙的解法：因为，，
所以．
所以的最小值为．
①请对两位同学的解法正确性作出评价；
②为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：
已知，，且，求的最小值．
21．（12分）为了促进学生加强体育锻炼，提升身体素质，某校决定举行羽毛球单打比赛甲和乙进入了决赛，决赛采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，且每局比赛结果互不影响．
（1）求决赛只比赛三局就结束的概率；
（2）假设比赛规定：每局胜者得2分，负者得分．
①求甲得5分的概率；
②设甲的分数为，求随机变量5的分布列和数学期望．
22．（12分）已知函数，为自然对数的底数）．
（1）若，请判断函数的单调性；
（2）若对，，当时，都有成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省镇江市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合，，则　　
A． B． C． D．
【分析】求出集合，，再直接求出．
【解答】解：集合，
，
则，
故选：．
【点评】本题考查交集的运算，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）若，，则的值为　　
A． B． C． D．2021
【分析】注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和．
【解答】解：，，
令，可得，
故选：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
3．（5分）草木葱茏，绿树成荫，鸟语花香，空气清新是我们梦寐以求的家园．为了改善生活环境，今年3月份某学校开展了植树活动，根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方程后，由于某种原因其中一个数据被损坏（表格中？？处数据），请你推断出该数据的值　　
植树棵树（单位：棵）
10
20
30
40
50
花费时间（单位：分钟）
62
68
75
？？
89
A．81 B．81.7 C．81.6 D．82
【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解即可．
【解答】解：设表格中？？处数据为，
则，，
回归方程所以，得，
故选：．
【点评】本题考查回归直线方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
4．（5分）一不透明的口袋内装有若干个形状、质地完全相同的红色和黄色小球．若事件“第一次摸出红球且第二次摸出黄球”的概率为，事件“在第一次摸出红球的条件下，第三次摸出黄球”的概率为，则事件“第一次摸出红球”的概率为　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用条件概率的概率公式求解即可．
【解答】解：由题意可知，．
故选：．
【点评】本题考查了条件概率的应用，解题的关键是掌握条件概率的概率公式，属于基础题．
5．（5分）现有4位学生干部分管班级的三项不同的学生工作，其中每一项工作至少有一人分管且每人只能分管一项工作，则这4位学生干部不同的分管方案种数为　　
A．18 B．36 C．72 D．81
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将4人分成3组，②将分好的3组全排列，安排三项不同的学生工作，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将4人分成3组，有种分组方法，
②将分好的3组全排列，安排三项不同的学生工作，有种排法，
由分步计数原理，则有种方案，
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
6．（5分）某航空母舰的飞行甲板后部有四套安全着陆装置，，，，降落的飞行员着陆时，启用哪套安全着陆装置按就近原则，例如：当某次降落的飞行员着陆时离装置最近，首选启用装置，若成功启用装置，则在此次着陆过程中不启用其它三套装置，若装置出现故障则启用除装置之外的最近装置，依此类推，只有当四套安全着陆装置同时出现故障时，降落的飞行员着陆失败需拉起复飞经过对多次试验数据统计分析显示：成功启用装置的概率为，成功启用装置或装置的概率为，降落的飞行员着陆失败需拉起复飞的概率约为．现有一架战机着舰演练100次，则成功启用装置的次数约为　　
A．5 B．15 C．20 D．25
【分析】利用互斥事件概率公式求出启用装置的概率，再求出次数即可．
【解答】解：启用装置的概率为，
所以成功启用装置的次数约为，
故选：．
【点评】本题考查了互斥事件概率在实际问题中的应用，属于基础题．
7．（5分）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
【分析】利用已知条件可得1和3为方程的两个根，利用根与系数的关系，得到，，的关系，将不等式转化为一元二次不等式求解即可．
【解答】解：因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以1和3为方程的两个根，
所以，，，
则，等价于，即，
故不等式的解集为．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次不等式的应用，分式不等式的解法以及一元二次不等式的解法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
8．（5分）若点，分别是函数与图象上的动点（其中是自然对数的底数），则的最小值为　　
A． B． C． D．17
【分析】首先求得导函数的解析式，然后由导函数与切线斜率的性质确定满足题意的点的坐标，最后由点到直线距离公式可得的最小值．
【解答】解：由函数的解析式可得：，
设，则有，
令，得，据此可知，，
故选：．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，点到直线距离公式等知识，属于中等题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．（5分）若，则下列结论一定成立的是　　
A． B． C． D．
【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．
【解答】解：由，可知，，故，正确；
当，时，，故错误；
当时，若，则，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．
10．（5分）一个不透明的口袋内装有若干张大小、形状完全相同的红色和黄色卡片，现从口袋内随机抽取卡片，每次抽取一张，随机变量5表示抽到黄色卡片的张数，下列说法正确的有　　
A．若口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中不放回地抽取卡片，则第一次抽到红色卡片且第二次抽到黄色卡片的概率为
B．口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中有放回地抽取6次卡片，则随机变量，且
C．若随机变量，，，且，则口袋内黄色卡片的张数是红色卡片张数的2倍
D．随机变量，，若，，则
【分析】直接利用排列数和组合数的应用，均值和方差的关系，随机变量的关系式的应用判断、、、的结论．
【解答】解：对于，口袋内有3张红色卡片，6张黄色卡片，从袋中不放回地抽取卡片，
则第一次抽到红色卡片且第二次抽到黄色卡片的概率为，故正确；
对于，随机变量，则，故错误；
对于，随机变量，，，且，则，则，
所以黄卡是红卡数量的2倍，故正确；
对于，，，
若，，则，得，
所以，故正确；
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：排列数和组合数的应用，均值和方差的关系，随机变量的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
11．（5分）已知命题；命题．若是的充分不必要条件，则实数的值是　　
A． B．1 C． D．0
【分析】法一：分别化简，，根据是的充分不必要条件，即可得出结论．
法二：，满足的不等式的解集为，根据是的充分不必要条件，可得，进而得出结论．
【解答】解：法一：由条件可得，，
因为是的充分不必要条件，所以，
故选：．
法二：，
设满足的不等式的解集为，
是的充分不必要条件，，
当时，，，
当时，，，
当时，：全体实数，此时满足，
综上，选．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．（5分）已知函数，，函数和的导数分别量为，，则　　
A．的最大值为1 B．
C． D．当，时，恒成立
【分析】由于结合函数的解析式逐一考查所给的选项是否正确即可．
【解答】解：利用函数的解析式可得由，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故（1），正确；
由复合函数求导法则可得：，错误，正确；
由于，
则时，（1），
故选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查导数的运算法则，利用导函数研究函数的单调性，利用导函数求函数的最值，利用导函数处理恒成立问题等知识，属于中等题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）曲线在原点处的切线方程为 　　．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的斜截式得答案．
【解答】解：由，得，
，则切线为．
故答案为：．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
14．（5分）已知圆柱的体积为，则该圆柱的表面积的最小值为 　　．
【分析】设出高与底面半径，求出表面积的表达式，利用基本不等式求解最小值即可．
【解答】解：设高为，半径为，有，则．
所以表．当且仅当时取得最小值．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的体积与表面积的计算，基本不等式的应用，是中档题．
15．（5分）若的展开式中的系数为，则的值为 　　，二项展开式中系数最大的为 　　．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于3，求出的值，即可求得含的项，从而求得的值，进而求出二项展开式中系数最大值．
【解答】解：的展开式中的系数为，通项为，
令，得，则，得；
故展开式中的系数为，
考虑为偶数的情况即可，易知时，系数最大为，
故答案为：；．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
16．（5分）某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中 　4　次．
【分析】由题意利用二项分布，次独立重复试验中恰好发生的概率计算公式，计算求得结果．
【解答】解：投篮命中次数，，
设最有可能命中次，即命中次的概率最大，则，
解得，，．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查二项分布，次独立重复试验中恰好发生的概率计算公式，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）有三个条件：
①函数的图象过点，且；
②在时取得极大值；
③函数在处的切线方程为，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题．
题目：已知函数存在极值，并且_____．
（1）求的解析式；
（2）当，时，求函数的最值．
【分析】选①：（1）根据题意直接求得的值，进而得到的解析式；（2）对函数求导，求出其在区间，上的单调性情况，进而求得最值．
选②：（1）根据题意可得，由此求得，的值，进而得到函数的解析式；（2）对函数求导，求出其在区间，上的单调性情况，进而求得最值．
选③：（1）利用导数的几何意义可知，（3），且，由此求得，的值，进而得到函数的解析式；（2）对函数求导，求出其在区间，上的单调性情况，进而求得最值．
【解答】解：选①：
（1）函数的图象过点，且，
，
；
（2）由（1）知，，
在上单调递增，
当，时，，．
选②：
（1），
又在时取得极大值，
，解得，
，经检验符合题意；
（2）由（1）知，，
易知在，上单调递减，在，上单调递增，
又，
在区间，上的最大值为，最小值为．
选③：
（1），
依题意，（3），即，解得，
且，解得；
；
（2）由（1）知，，
易知在，上单调递减，在，上单调递增，
又，
在区间，上的最大值为，最小值为．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（12分）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身体质量指数，缩写来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是．
中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．
为了解某学校教职工的身体肥胖情况，研究人员通过对该学校教职工体检数据分析，计算得到他们的值统计如表：

男教职工人数
女教职工人数
合计
偏瘦
12
16
28
正常
35
23
58
偏胖
18
6
24
肥胖
15
5
20
合计
80
50
130
（1）根据上述表格中的数据，计算并填写下面的列联表，并回答是否有的把握认为肥胖与教职工性别有关．



合计
男教职工



女教职工



合计



（2）在的教职工中，按男女比例采用分层抽样的方法随机抽取8人，然后从这8名教职工中随机抽取2人，问被抽到的2人中至少有一名女教职工的概率为多少？
参考数据：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
，其中．
【分析】（1）根据题目所给的数据填写列联表，计算，对照题目中的表格，得出统计结论；
（2）利用对立事件和古典概型定义计算即可．
【解答】解：（1）列联表如下：



合计
男教职工
65
15
80
女教职工
45
5
50
合计
110
20
130
所以，
则有，
故没有的把握认为肥胖与教职工性别有关；
（2）在的教职工中，男33，女11，比例为，所以抽取男6，女2，
记至少有一名女教职工为事件，
则．
故答案为：至少有一名女教职工的概率为．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了古典概型、对立事件和计算能力的应用问题，是基础题目．
19．（12分）在三棱柱中，，分别为线段与的中点
（1）求证：平面；
（2）若侧面为矩形，底面为等腰直角三角形，，与侧面所成角的正切值为，与底面所成角的正弦值为，求二面角的正切值．

【分析】解析一：
（1）取中点为，连结，，通过，，证明平面平面，推出平面
（2）通过没法，转化求解，推出．
解析二：
（1）取的中点，连接，，，分别为，的中点．证明四边形为平行四边形，然后证明平面．
（2）取中点，连接，，说明平面，证明平面平面，求出到底面距离，过作于点，连接，即为所求二面角的平面角，求解即可．
【解答】解析一：
（1）证明：取中点为，连结，，则有，，又

则平面平面，所以平面，
（2）解：依题意易知，所以，
设二面角为，易知有，，，，
由余弦定理有，所以，
所以，则有，
故．
解析二：
（1）证明：取的中点，连接，，，分别为，的中点

，，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面．
（2）为等腰直角三角形，，，，
又侧面为矩形，，，平面，
取中点，连接，，则，平面，，
由平面，平面平面平面，
设到底面距离为，，
而，平面，过作于点，连接，
则即为所求二面角的平面角，．
【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
20．（12分）（1）解不等式；
（2）对于题目：已知，，且，求最小值．
同学甲的解法：因为，，所以，，从而：．
所以的最小值为8．
同学乙的解法：因为，，
所以．
所以的最小值为．
①请对两位同学的解法正确性作出评价；
②为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：
已知，，且，求的最小值．
【分析】（1）化简为，从而解得，
（2）①同学甲的解法中，取等号时，，，此时，从而判断，
②化简，从而利用基本不等式求解．
【解答】解：（1），，
即，解得，
（2）①甲错误，乙正确，
同学甲的解法中，取等号时，，，此时，不符合题目要求，故甲错误，
②
，
（当且仅当，即时，等号成立），
故的最小值为9．
【点评】本题考查了分式不等式的解法及基本不等式求解最值，同时考查了整体思想与转化思想的应用，属于中档题．
21．（12分）为了促进学生加强体育锻炼，提升身体素质，某校决定举行羽毛球单打比赛甲和乙进入了决赛，决赛采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，且每局比赛结果互不影响．
（1）求决赛只比赛三局就结束的概率；
（2）假设比赛规定：每局胜者得2分，负者得分．
①求甲得5分的概率；
②设甲的分数为，求随机变量5的分布列和数学期望．
【分析】（1）由分类计数原理以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可；
（2）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．
【解答】解：（1）设甲连胜三局的概率为，乙连胜三局的概率为，
则比赛三局就结束的概率；
（2）①甲得5分的情况为：3胜1负，故概率为；
②由题意可知，可取，，1，4，5，6，
所以，
，
，
，
，
，
所以分布列如下：



1
4
5
6

0.064
0.1152
0.13824
0.20736
0.2592
0.216
故数学期望为．
【点评】本题考查了分类计数原理以及相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
22．（12分）已知函数，为自然对数的底数）．
（1）若，请判断函数的单调性；
（2）若对，，当时，都有成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号即可确定原函数的单调性；
（2）将原问题进行等价变形，然后构造新函数，求得新构造函数的最小值即可确定实数的取值范围．
【解答】解：（1）易知，，
所以在单调递减，在单调递增，则，
所以单调递增；
（2）不妨设，则，等价于，
记，等价于在单调递增，即恒成立，
易知，，
则由（1）可知在单调递减，在单调递增，
所以，则可知．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数单调性的方法，整体与构造的思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．
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日期：2021/12/1 14:14:57；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394