2021-2022学年江苏省宿迁市高一（下）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省宿迁市高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）某工厂生产，，三种不同型号的产品，某月生产，，这三种型号的产品的数量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，已知种型号的产品被抽取30件，则的值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（5分）已知数据，，，的极差为6，方差为2，则数据，，，的极差和方差分别为　　

A．12，8 B．12，4 C．6，8 D．6，4

3．（5分）已知平面向量满足，，，则向量，的夹角为　　

A． B． C． D．

4．（5分）我们通常所说的，，血型系统是由，，三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自于父亲和母亲，其中．为型血，，为型血，为型血，为型血．比如：父亲和母亲的基因型分别为，，则孩子的基因型等可能的出现，，，四种结果，已知小明的父亲和母亲的血型均为型，不考虑基因突变，则小明是型血的概率为　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知，是不重合的直线，，，是不重合的平面，则下列说法正确的是　　

A．若，，则 B．，，，，则 

C．若，，则 D．，，，则

6．（5分）已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的底面半径为　　

A． B．1 C． D．2

7．（5分）若，则的值为　　

A． B． C． D．

8．（5分）在中，，过点的直线分别交直线，于，两个不同的点，若，其中，为实数，则的最小值为　　

A．1 B．4 C． D．5

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列各式中值为的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

10．（5分）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式是自然对数的底，是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且的共轭复数为，则下列说法正确的是　　

A． 

B．表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限 

C． 

D．若，为两个不同的定点，为线段的垂直平分线上的动点，则

11．（5分）下列说法中错误的是　　

A．若，，则 

B．若，且，则 

C．已知，，，则在上的投影向量是 

D．三个不共线的向量，，，满足，则是的外心

12．（5分）已知正三棱柱的棱长均为2，点是棱上（不含端点）的一个动点．则下列结论正确的是　　

A．棱上总存在点，使得直线平面 

B．的周长有最小值，但无最大值 

C．三棱锥外接球的表面积的取值范围是， 

D．当点是棱的中点时，二面角的正切值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知向量，，，，若与平行，则实数　　．

14．（5分）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：

152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，174，175．若样本数据的第90百分位数是173，则的值为 　　．

15．（5分）蜜蜂的蜂巢构造非常精巧、适用而且节省材料，蜂巢由无数个大小相同的正六边形房孔组成．由于受到了蜂巢结构的启发，现在的航天飞机、人造卫星、宇宙飞船的内部以及卫星外壳都大量采用蜂巢结构，统称为“蜂窝式航天器”．2022年五一节假日前夕，我国的神舟十三号飞行乘组平稳落地，3名航天员先后出舱，在短暂的拍照留念后，3名航天员被转移至专业的恢复疗养场所进行身体康复训练．他们所乘的返回舱外表面覆盖着蜂窝状防热材料．现取其表面中一个正六边形，它的边长为2，若点是正六边形的边上一点，则的取值范围是 　　．

16．（5分）在中，角，，的对边分别，，，若．且是的重心，，则的最小值为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知复数满足．

（1）求；

（2）若复数的虚部为2，且在复平面内对应的点位于第四象限，求复数实部的取值范围．

18．（12分）已知向量，，．

（1）求函数的最小正周期；

（2）已知，均为锐角，，求的值．

19．（12分）在中，角，，所对的边长分别为，，，在①；②．

两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处），已知，______．

（1）若，求；

（2）求面积的最大值．

20．（12分）庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上、生命至上，果断打响疫情防控的人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知．为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保．某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：

（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；

（2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮：竞赛成绩的平均数以及中位数；

（3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．

21．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，，

①的角平分线交于，求线段的长；

②若是线段上的点，是线段上的点，满足，，求的取值范围．

22．（12分）在斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，，．

（1）证明：平面；

（2）证明：；

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

2021-2022学年江苏省宿迁市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）某工厂生产，，三种不同型号的产品，某月生产，，这三种型号的产品的数量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，已知种型号的产品被抽取30件，则的值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：由题意可得，，解得．

故选：．

2．（5分）已知数据，，，的极差为6，方差为2，则数据，，，的极差和方差分别为　　

A．12，8 B．12，4 C．6，8 D．6，4

【解答】解：因为数据，，，的极差为6，方差为2，

所以数据，，，的极差为，方差为，

故选：．

3．（5分）已知平面向量满足，，，则向量，的夹角为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，即，

，

，

，

．

故选：．

4．（5分）我们通常所说的，，血型系统是由，，三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自于父亲和母亲，其中．为型血，，为型血，为型血，为型血．比如：父亲和母亲的基因型分别为，，则孩子的基因型等可能的出现，，，四种结果，已知小明的父亲和母亲的血型均为型，不考虑基因突变，则小明是型血的概率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因小明父亲和母亲的血型均为型，则小明的血型可能是，，，其中型包括两种情况，因为，为型血，则小明是型血的概率为．

故选：．

5．（5分）已知，是不重合的直线，，，是不重合的平面，则下列说法正确的是　　

A．若，，则 B．，，，，则 

C．若，，则 D．，，，则

【解答】解：若，，则也可能相交，故不正确．

若，，，，则与不一定平行，因此不正确；

若，，则或，故不正确，

，，，则，故正确．

故选：．

6．（5分）已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的底面半径为　　

A． B．1 C． D．2

【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，

，，

解得：，．

故选：．

7．（5分）若，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：若，

即，

则，

故选：．

8．（5分）在中，，过点的直线分别交直线，于，两个不同的点，若，其中，为实数，则的最小值为　　

A．1 B．4 C． D．5

【解答】解：，，

，

，

，，三点共线，

，即，

，

当，时，

的取得最小值为，

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列各式中值为的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：，原式，正确，

，原式，错误，

，原式，正确，

，，，

，错误，

故选：．

10．（5分）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式是自然对数的底，是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且的共轭复数为，则下列说法正确的是　　

A． 

B．表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限 

C． 

D．若，为两个不同的定点，为线段的垂直平分线上的动点，则

【解答】解：对于，，，

，，故正确；

对于，，

，，，

表示的复数对应的点在复平面中位于第二象限，故错误；

对于，，

则，

，

，故正确；

对于，可转化为与两点间距离，可转化为，两点间距离，

是线段的垂直平分线上的动点，

根据垂直平分线的性质可知与两点间距离与，两点间距离相等，

，故正确．

故选：．

11．（5分）下列说法中错误的是　　

A．若，，则 

B．若，且，则 

C．已知，，，则在上的投影向量是 

D．三个不共线的向量，，，满足，则是的外心

【解答】解：对，若，则，但不一定成立，故错误；

对，若．且，则，即，并不能推出，故错误；

对，因为，故，所以在上的投影向量是，故正确；

对，，则，

故，

故，所以，即在的角平分线上，

同理在，的角平分线上，故为的内心，故错误；

故选：．

12．（5分）已知正三棱柱的棱长均为2，点是棱上（不含端点）的一个动点．则下列结论正确的是　　

A．棱上总存在点，使得直线平面 

B．的周长有最小值，但无最大值 

C．三棱锥外接球的表面积的取值范围是， 

D．当点是棱的中点时，二面角的正切值为

【解答】解：对，在上取一点使得，则，

当时，四边形为平行四边形，故，

又平面，平面，

所以直线平面，故正确；

对，如图展开侧面，易得当在与的交点时取得最小值，

因为是棱上（不含端点）的一个动点，故无最大值，

故的周长有最小值，但无最大值，故正确；

对，由题意，三棱锥外接球即四棱锥的外接球，

取中点，中点，连接并延长，交正方形的外接圆于，

则．易得平面平面，

根据外接球的性质有外接球的球心在平面中，且为的外接圆圆心，

由对称性，可得当在中点时，最大，此时外接球直径最小，

此时，故外接球直径，

此时外接球表面积，

当在或者点时，三棱锥外接球即正三棱柱的外接球，

此时外接球的一条直径与和的外接圆直径构成直角三角形：

此时外接球直径，

此时外接球表面积，

因为点是棱上（不含端点）的一个动点，

故三棱锥外接球的表面积的取值范围是，故正确；

对，设到平面的距离为，

则由，即，故，

设到线段的距离，

则，解得，

故二面角的正切值为，故错误；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知向量，，，，若与平行，则实数　1　．

【解答】解：向量，，，，

，，

与平行，

，

解得．

故答案为：1．

14．（5分）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：

152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，174，175．若样本数据的第90百分位数是173，则的值为 　172　．

【解答】解：百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第90百分位数是173，即比173小的数据占，

故答案为：172．

15．（5分）蜜蜂的蜂巢构造非常精巧、适用而且节省材料，蜂巢由无数个大小相同的正六边形房孔组成．由于受到了蜂巢结构的启发，现在的航天飞机、人造卫星、宇宙飞船的内部以及卫星外壳都大量采用蜂巢结构，统称为“蜂窝式航天器”．2022年五一节假日前夕，我国的神舟十三号飞行乘组平稳落地，3名航天员先后出舱，在短暂的拍照留念后，3名航天员被转移至专业的恢复疗养场所进行身体康复训练．他们所乘的返回舱外表面覆盖着蜂窝状防热材料．现取其表面中一个正六边形，它的边长为2，若点是正六边形的边上一点，则的取值范围是 　，　．

【解答】解：如图，以为坐标原点，分别为，轴建立平面直角坐标系，

则，设正六边形的中心为，则，

设点，则，

故，

而表示点和的距离的平方，

即，而，

当位于边的中点处取最小值，位于顶点处取值大值，

故，

所以，

故答案为：，．

16．（5分）在中，角，，的对边分别，，，若．且是的重心，，则的最小值为 　　．

【解答】解：因为，所以，

所以，

因为，

所以，

所以，

所以，即，

因为，所以，

因为，所以，

因为，

所以，所以，

因为是的重心，

所以，

所以，

当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

所以的最小值为，

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知复数满足．

（1）求；

（2）若复数的虚部为2，且在复平面内对应的点位于第四象限，求复数实部的取值范围．

【解答】解：（1）设，

则，

，解得，

则，．

（2）设，，

则，

在复平面内对应的点位于第四象限，

，解得，

复数实部的取值范围．

18．（12分）已知向量，，．

（1）求函数的最小正周期；

（2）已知，均为锐角，，求的值．

【解答】解：（1）

，

故，故最小值正周期为．

（2）由得：，即，

又，为锐角，所以，

故，，

所以

．

19．（12分）在中，角，，所对的边长分别为，，，在①；②．

两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处），已知，______．

（1）若，求；

（2）求面积的最大值．

【解答】解：若选①，由正弦定理可得，

由，则，

可得，可得；

若选②，可得，

整理可得，

由余弦定理可得：，

所以，而，可得；

（1），，由正弦定理可得，

可得；

（2）由（1）得，

所以，当且仅当时取等号；

所以，

所以面积的最大值为．

20．（12分）庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上、生命至上，果断打响疫情防控的人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知．为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保．某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：

（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；

（2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮：竞赛成绩的平均数以及中位数；

（3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．

【解答】解：（1）由，得，

因为（人，（人，所以不高于50分的抽（人；

（2）平均数，

因为在，内共有80人，则中位数位于，内，则中位数为；

（3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，则（A），

故至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．

21．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，，

①的角平分线交于，求线段的长；

②若是线段上的点，是线段上的点，满足，，求的取值范围．

【解答】解：（1）由得：

，

即，

所以，解得，或（舍，

由，故；

（2）①由的角平分线交于，故，

又因为，，

所以，，，

结合得：，解得；

②由，，所以，，，

又，

所以，．

故的取值范围为，．

22．（12分）在斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，，．

（1）证明：平面；

（2）证明：；

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：因为，平面，平面，

所以平面．

（2）证明：取的中点，连接，，则，

因为，，，所以，

所以，所以，

又，，平面，所以平面，

因为平面，所以．

（3）解：在△中，由余弦定理知，，

所以，解得，

在等腰△中，，

而，所以，即，

所以，

由（2）知，平面，

所以，

设点到平面的距离为，

则，所以，

设直线与平面所成角为，则，

故直线与平面所成角的正弦值为．

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