2021-2022学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷

一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．

1．（5分）倾斜角为，在轴上的截距为的直线方程是　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知等比数列的前6项和为，公比为，则　　

A． B． C．32 D．24

3．（5分）如图，一圆形纸片的圆心为，是圆内一定点，是圆周上一动点，把纸片折叠使与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于点，则点的轨迹是　　

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

4．（5分）设，则当数列的前项和取得最小值时，的值为　　

A．4 B．5 C．4或5 D．5或6

5．（5分）函数的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，．则的值为　　

A． B． C． D．

7．（5分）若点是函数图象上的动点（其中的自然对数的底数），则到直线的距离最小值为　　

A． B． C． D．17

8．（5分）若，，且，则下列式子一定成立的是　　

A． B． 

C． D．

二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）

9．（5分）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是　　

A．为函数的递增区间 

B．为函数的递减区间 

C．函数在处取得极大值 

D．函数在处取得极小值

10．（5分）设，分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的有　　

A． 

B．双曲线的实轴长是 

C．双曲线的离心率是 

D．存在实数，使直线与双曲线左右两支各有一个交点

11．（5分）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，设各层球数构成一个数列，则　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则可能的取值为　　

A．7 B．6 C．5 D．4

三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）函数，则函数在处切线的斜率为 　　．

14．（5分）椭圆的左、右顶点分别是，，左、右焦点分别是，．若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为　　．

15．（5分）数列满足，则　　．

16．（5分）函数仅有一个零点，则实数的取值范围是 　　．

四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）圆经过两点，，且圆心在直线上．

（1）求圆的方程；

（2）求圆与圆的公共弦的长．

18．（12分）已知等差数列中，，．

（1）分别求数列的通项公式和前项和；

（2）设，求．

19．（12分）已知数列满足．

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

20．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作直线交抛物线于，两点，设，，，，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

21．（12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元平方米，底面的建造成本为160元平方米，该蓄水池的总建造成本为元为圆周率）．

（Ⅰ）将表示成的函数，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大．

22．（12分）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：．

2021-2022学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．

1．（5分）倾斜角为，在轴上的截距为的直线方程是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由点斜式可得：，可得：，

即，

故选：．

2．（5分）已知等比数列的前6项和为，公比为，则　　

A． B． C．32 D．24

【解答】解：由题意等比数列的前6项和为，公比为，

则有，解得．

故选：．

3．（5分）如图，一圆形纸片的圆心为，是圆内一定点，是圆周上一动点，把纸片折叠使与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于点，则点的轨迹是　　

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

【解答】解：由题意知，是线段的垂直平分线．

，

（定值），

又显然，

根据椭圆的定义可推断出点轨迹是以、两点为焦点的椭圆．

故选：．

4．（5分）设，则当数列的前项和取得最小值时，的值为　　

A．4 B．5 C．4或5 D．5或6

【解答】解：令，得，

故等差数列中，，，，

故当时，数列的前项和取得最小值．

故选：．

5．（5分）函数的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：因为，排除；

因为，解，

所以或时单调递增，排除，．

故选：．

6．（5分）已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，．则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

当时，有，

又当时，也适合上式，

，，

，

故选：．

7．（5分）若点是函数图象上的动点（其中的自然对数的底数），则到直线的距离最小值为　　

A． B． C． D．17

【解答】解：设，，

设与平行且与相切的直线与切于

所以．

所以

则到直线的距离为，

即到直线的距离最小值为，

故选：．

8．（5分）若，，且，则下列式子一定成立的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：令，

则，

在区间上单调递增，又，

，故正确，错误；

令，

则，

当时，，当，时，，

在单调递减，在，单调递增，

又，当、时，；

当、，时，；

当，，时，与的大小关系无法确定，

故选：．

二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）

9．（5分）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是　　

A．为函数的递增区间 

B．为函数的递减区间 

C．函数在处取得极大值 

D．函数在处取得极小值

【解答】解：由函数导函数的图象可知：

当或时，，单调递减；

当或时，，单调递增；

所以的单调减区间为，，正确；

单调增区间为，，正确；

在，5处取得极小值，在处取得极大值，错误，正确．

故选：．

10．（5分）设，分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的有　　

A． 

B．双曲线的实轴长是 

C．双曲线的离心率是 

D．存在实数，使直线与双曲线左右两支各有一个交点

【解答】解：由双曲线的左、右焦点，且，所以焦点在轴上，所以，，，

，，故正确；

所以，，，故错误；

双曲线的离以率为，故正确；

双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，故直线与双曲线至多有一个交点，故错误．

故选：．

11．（5分）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，设各层球数构成一个数列，则　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由题意可知，，，，，，

故，

所以，故选项错误；

因为，故选项正确；

因为，故选项正确；

因为，，所以，故选项错误．

故选：．

12．（5分）已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则可能的取值为　　

A．7 B．6 C．5 D．4

【解答】解：圆的圆心，半径为1，

，是以为直径的圆，又的中点为，

是以为圆心的圆，圆心到的距离为5，

圆上的点到点的距离的最大值为6，最小值为4，得，即，

解得，

故选：．

三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）函数，则函数在处切线的斜率为 　　．

【解答】解：由，得，

所以函数在处切线的斜率（2）．

故答案为：．

14．（5分）椭圆的左、右顶点分别是，，左、右焦点分别是，．若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为　　．

【解答】解：因为椭圆的左、右顶点分别是，，左、右焦点分别是，．

若，，成等比数列，，，，

所以，即，

所以．

故答案为：．

15．（5分）数列满足，则　　．

【解答】解：数列满足，可得，

可得，所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，

所以，

则，．

故答案为：．

16．（5分）函数仅有一个零点，则实数的取值范围是 　，　．

【解答】解：由题意可得：函数，

所以，

令，则或，

令，则，

所以函数的单调增区间为和，减区间为，

所以当时函数有极大值，

当时函数有极小值，（1），

因为函数仅有一个零点，

所以或（1），

解得 或．

所以实数的取值范围是，

故答案为：．

四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）圆经过两点，，且圆心在直线上．

（1）求圆的方程；

（2）求圆与圆的公共弦的长．

【解答】解：（1）设圆，

代入已知点的坐标，可得

，解得，

圆的方程为；

（2）联立，

解得交点坐标为，，

两圆的公共弦长为．

18．（12分）已知等差数列中，，．

（1）分别求数列的通项公式和前项和；

（2）设，求．

【解答】解：（1）公差，

所以数列的通项公式为，

．

（2）令，则，

当时，；

当时，，

综上所述，．

19．（12分）已知数列满足．

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

【解答】解：（1）因为，

所以，即，

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，

所以，

故．

（2），

所以，

所以，

两式相减得，，

所以．

20．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作直线交抛物线于，两点，设，，，，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，

可设抛物线方程为，

点的坐标为，

抛物线上一点的横坐标为2，

，

由于抛物线的对称性，不妨取，

，

，即，解得，

故抛物线的方程为：．

（2）设直线的方程为，

联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，

韦达定理可得，，，

，

故．

21．（12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元平方米，底面的建造成本为160元平方米，该蓄水池的总建造成本为元为圆周率）．

（Ⅰ）将表示成的函数，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大．

【解答】解：（Ⅰ）蓄水池的侧面积的建造成本为元，

底面积成本为元，

蓄水池的总建造成本为元

即

又由，可得

故函数的定义域为，

（Ⅱ）由（Ⅰ）中，

可得，

令，则

当时，，函数为增函数

当，时，，函数为减函数

且当，时该蓄水池的体积最大

22．（12分）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：．

【解答】解：（1）函数的定义域为，，

当时，在上恒成立，

故函数在区间上单调递增；

当时，由得，

由得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减；

综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在，上单调递减；

（2）证明：因为时，证明，只需证明，

由（1）知，当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减；

所以（1）．

令，，则，

所以当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以（1）．

所以时，，

所以当时，．

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