2021-2022学年江苏省盐城市高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省盐城市高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知集合，，集合，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）圆心角为，半径为1的扇形的面积为　　

A． B． C． D．

3．（5分）设，则“”是“”成立的什么条件　　

A．充分不必要 B．必要不充分 

C．充要 D．既不充分也不必要

4．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）函数的部分图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

6．（5分）已知函数的定义域为集合．函数，的值域为集合，若，则实数的取值范围为　　

A．， B． C．， D．

7．（5分）若函数在区间内存在最小值，则的值可以是　　

A． B． C． D．

8．（5分）若，记，，，则，，的大小关系正确的是　　

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（5分）函数和具有相同单调性的区间是　　

A． B． C． D．

10．（5分）下列说法中正确的有　　

A．函数的零点可以用二分法求得 

B．幂函数的图像一定不会出现在第四象限 

C．在锐角三角形中，不等式 

D．函数是最小正周期为的周期函数

11．（5分）已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列叙述中正确的有　　

A． B． 

C．（3） D．有最小值

12．（5分）通过等式我们可以得到很多函数模型，例如将视为常数，视为自变量，那么就是（即的函数，记为，则，也就是我们熟悉的指数函数．若令是自然对数的底数），将视为自变量，则为的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有　　

A． 

B．，，， 

C．在上单调递减 

D．若，，，不等式恒成立，则实数的值为0

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）函数的定义域为　 　．

14．（5分）求值：　　．

15．（5分）已知角为第一象限角，其终边上一点满足，则　　．

16．（5分）函数的最小值为 　　．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知函数，，的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式，并求出其单调减区间；

（2）当时，求满足不等式的实数的集合．

18．（12分）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．

（1）当时，求函数的解析式；

（2）解不等式．

19．（12分）已知．

（1）若是第三象限角，且，求的值；

（2）若，求的值．

20．（12分）一半径为的水轮（如图所示），水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟逆时针转动三圈，且当水轮上点从水中浮现时（图中点开始计算时间．

（1）将点到水面的距离（单位：，在水下，则为负数）表示为时间（单位：的函数；

（2）点第一次到达最高点大约需要多长时间？

21．（12分）已知函数，（其中为常数）．

（1）若在，上有两个不同的零点，求实数的取值范围；

（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围．

22．（12分）悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀，柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为，与之对应的函数称为双曲正弦函数，令．

（1）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；

（2）已知函数，若对任意的，，总存在不同的，，，使得成立，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省盐城市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知集合，，集合，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：集合，，集合，

．

故选：．

2．（5分）圆心角为，半径为1的扇形的面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为圆心角为，半径为1，

所以扇形面积．

故选：．

3．（5分）设，则“”是“”成立的什么条件　　

A．充分不必要 B．必要不充分 

C．充要 D．既不充分也不必要

【解答】解：由得，

即“”是“”成立的充要条件，

故选：．

4．（5分）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．

故选：．

5．（5分）函数的部分图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：由题意得，，

因为，

所以为奇函数，图象关于原点对称，排除选项；

当时，，，此时，排除选．

故选：．

6．（5分）已知函数的定义域为集合．函数，的值域为集合，若，则实数的取值范围为　　

A．， B． C．， D．

【解答】解：要使函数有意义，则，得，

函数的定义域为，

，即，即，，

，

，，

则，，即，，

即，，

若，

则，得，得，

即实数的取值范围是，，

故选：．

7．（5分）若函数在区间内存在最小值，则的值可以是　　

A． B． C． D．

【解答】解：函数，在时，，函数在时，第一次取得最小值，

所以，

故选：．

8．（5分）若，记，，，则，，的大小关系正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，若，则，，

则，

，则有，

，则有，

故选：．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（5分）函数和具有相同单调性的区间是　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于，当时，单调递增，单调递减，二者单调性不同，故错误；

对于，当，单调递减，单调递减，二者单调性相同，故正确；

对于，当时，单调递减，单调递增，二者单调性不同，故错误；

对于，当时，单调递增，单调递增，二者单调性相同，故正确；

故选：．

10．（5分）下列说法中正确的有　　

A．函数的零点可以用二分法求得 

B．幂函数的图像一定不会出现在第四象限 

C．在锐角三角形中，不等式 

D．函数是最小正周期为的周期函数

【解答】解：对于：函数的零点可以用分解因式法，

令，得，故错误；

对于：根据幂函数的性质幂函数的图像一定不会出现在第四象限，故正确；

对于：在锐角三角形中，由于，所以，整理得，同理，

故不等式成立，故正确；

对于：函数不是周期函数，故错误．

故选：．

11．（5分）已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列叙述中正确的有　　

A． B． 

C．（3） D．有最小值

【解答】解：作出函数的图象如图：

由条件知，，，，，

由得，

即，得，得，

则，即成立，故正确，

由知，是方程，即的两个根，

则，故正确，

（3），而，两者无法比较大小，故错误，

，

，

当且仅当，即时，取等号，即有最小值，故正确，

故选：．

12．（5分）通过等式我们可以得到很多函数模型，例如将视为常数，视为自变量，那么就是（即的函数，记为，则，也就是我们熟悉的指数函数．若令是自然对数的底数），将视为自变量，则为的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有　　

A． 

B．，，， 

C．在上单调递减 

D．若，，，不等式恒成立，则实数的值为0

【解答】解：由可得，即，

所以，故正确；

，故错误；

当时，单调递增，所以单调递减，故在上单调递减，故正确；

当时，，

又因为恒成立，

所以恒成立，

即，

令，则，

所以在单调递减，

当时，，

综上；

当时，，

又因为恒成立，

所以恒成立，

当时显然成立，

即，

令，则，得，

所以在上单调递减，在，上单调递增，只有最小值无最大值，

所以此时，

综上所述，故正确；

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）函数的定义域为　，　．

【解答】解：要使函数有意义，则，

即，解得，

故答案为：，．

14．（5分）求值：　2　．

【解答】解：．

故答案为：2．

15．（5分）已知角为第一象限角，其终边上一点满足，则　1　．

【解答】解：因为角为第一象限角，其终边上一点满足，

可得，整理可得，

所以，，，

所以．

故答案为：1．

16．（5分）函数的最小值为 　　．

【解答】解：设，则，其中，，

原式可化为

（当且仅当，即时取等号），

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知函数，，的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式，并求出其单调减区间；

（2）当时，求满足不等式的实数的集合．

【解答】解：（1）由函数图象可得，，

可得，

可得，

由于，可得，，

又，

可得，

故，

令，可得，

故单调减区间：；

（2）由题意，

可得，，

可得，

又，

故的取值集合为．

18．（12分）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．

（1）当时，求函数的解析式；

（2）解不等式．

【解答】解：（1）当时，则，

又是偶函数，故；

（2）当时，单调递增，

是偶函数，

不等式等价为，

即，

即，

得，

得，得，

即不等式的解集为．

19．（12分）已知．

（1）若是第三象限角，且，求的值；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1）利用诱导公式可得，

因为是第三象限角，且，

故，

故；

（2）

故．

20．（12分）一半径为的水轮（如图所示），水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟逆时针转动三圈，且当水轮上点从水中浮现时（图中点开始计算时间．

（1）将点到水面的距离（单位：，在水下，则为负数）表示为时间（单位：的函数；

（2）点第一次到达最高点大约需要多长时间？

【解答】解：（1）由题意知，每分钟逆时针转3圈，即转动弧度，所以角速度，

水轮半径为4，所以振幅为4，故，

时，，所以，

所以，．

（2）令，则，

所以，

所以，．，

所以点第一次到达最高点大．

21．（12分）已知函数，（其中为常数）．

（1）若在，上有两个不同的零点，求实数的取值范围；

（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）．，

因为有两个不同的零点所以，令，则，

所以，解得且，

所以的取值范围为；

（2），

当时，，

所以时，在上单调递增成立，

当时，，

所以时，在上单调递增成立，

当时，，

此时在和上单调递增，又，

所以在上单调递增，则，

解得，

当时，，所以在上单调递减，不满足，

当时，，

此时在上单调递增，又，

所以在上单调递增，则，

解得，

综上的取值范围为，，．

22．（12分）悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀，柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为，与之对应的函数称为双曲正弦函数，令．

（1）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；

（2）已知函数，若对任意的，，总存在不同的，，，使得成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1），所以在上单调递增，

又，所以是上的奇函数，

由，可得，故，

所以，所以，

所以，

令在上单调递增，，

所以在上单调递减，

所以．

（2）任取，，，且，

则，

所以在，上单调递增，

又是偶函数，所以，时，

所以时，，当且仅当时取“ “，

所以，，，且时，，

当，时，时，，

且在上连续，

所以的取值范围为，

所以，所以，

即的取值范围为．

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