2021-2022学年江苏省盐城市亭湖区伍佑中学高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省盐城市亭湖区伍佑中学高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．（5分）设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（5分）已知向量，满足，，，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知两条直线，和平面，若，则是的　　

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，则原平面图形的面积为　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的值是　　

A． B． C．9 D．11

6．（5分）已知，则的值为　　

A． B． C． D．

7．（5分）如图，在中，，，交于，设，，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）在湖南省湘江上游的永州市祁阳县境内的浯溪碑林，是稀有的书法石刻宝库，保留至今的有505方摩崖石刻，最引人称颂的是公元771年摹刻的《大唐中兴颂》，因元结的“文绝”，颜真卿的“字绝”，摩崖石刻的“石绝”，誉称“摩崖三绝”．该碑高3米，宽3.2米，碑身离地有3.7米（如图所示），有一身高为的游客从正面观赏它（该游客头顶到眼睛的距离为，设该游客离墙距离为米，视角为．为使观赏视角最大，应为　　

A． B．3 C． D．

二、多项选择题．本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列等式成立的是　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是　　

A．若，则或 

B．若点的坐标为，则是纯虚数 

C．若，则的虚部为 

D．若，则点的集合所构成的图形的面积为

11．（5分）给出下列四个命题，其中正确的是　　

A．非零向量，满足，则与的夹角是 

B．在中，角，，的对边分别为，，，，，若满足条件的有两个，则的取值范围为 

C．若单位向量，，夹角为，则当取最小值时 

D．已知，，，若为锐角，则实数的取值范围是

12．（5分）设的内角，，所对的边分别为，且．若点是外一点，，，下列说法中，正确的命题是　　

A．的内角 

B．一定是等边三角形 

C．四边形面积的最大值为 

D．四边形面积无最大值

三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）如图，正方体中，、分别为棱、的中点，有以下四个结论：

①直线与是相交直线；

②直线与是平行直线；

③直线与是异面直线；

④直线与是异面直线．

其中正确的结论为　　（注把你认为正确的结论的序号都填上）．

14．（5分）非零向量，，若与共线，则　　．

15．（5分）已知函数，若的最大值为2，则的值为　 　　．

16．（5分）如图，中，，，的垂直平分线与，分别交于，两点，且，则　　．

四、解答题。本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）如图，在正方体，，分别为线段，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与的所成角．

18．（12分）已知复数，其中为虚数单位．

（1）若是纯虚数，求实数的值；

（2）若，设，试求的值．

19．（12分）求下列各式的值．

（1）；

（2）．

20．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．

（1）求；

（2）求．

21．（12分）如图，在中，，，，为边上的高．

（1）求的长；

（2）设，．

①若，求实数的值；

②求的最小值．

22．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，为的角平分线，已知且，．

（1）求的面积；

（2）设点，分别为边，上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最小．

2021-2022学年江苏省盐城市亭湖区伍佑中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．（5分）设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：，

的共轭复数，

对应的点为，

故在第四象限，

故选：．

2．（5分）已知向量，满足，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，所以，即，解得．

故选：．

3．（5分）已知两条直线，和平面，若，则是的　　

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【解答】解：当是

若时，与的关系可能是，也可能是，即不一定成立，故为假命题；

若时，与的关系可能是，也可能是与异面，即不一定成立，故也为假命题；

故是的既不充分又不必要条件

故选：．

4．（5分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，则原平面图形的面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：直观图中，，，，

，，

原来的平面图形上底长为2，下底为4，高为，

该平面图形的面积为．

故选：．

5．（5分）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的值是　　

A． B． C．9 D．11

【解答】解：，由正弦定理可得：，，

，，

，又，

由余弦定理可得：，

与联立，

则，

故选：．

6．（5分）已知，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，

则

．

故选：．

7．（5分）如图，在中，，，交于，设，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，，

所以，

因为，，三点共线，

所以，

因为，，三点共线，

所以，

所以，解得，

所以，

故选：．

8．（5分）在湖南省湘江上游的永州市祁阳县境内的浯溪碑林，是稀有的书法石刻宝库，保留至今的有505方摩崖石刻，最引人称颂的是公元771年摹刻的《大唐中兴颂》，因元结的“文绝”，颜真卿的“字绝”，摩崖石刻的“石绝”，誉称“摩崖三绝”．该碑高3米，宽3.2米，碑身离地有3.7米（如图所示），有一身高为的游客从正面观赏它（该游客头顶到眼睛的距离为，设该游客离墙距离为米，视角为．为使观赏视角最大，应为　　

A． B．3 C． D．

【解答】解：设，则，

，

所以，

当且仅当，即米时取等号．

所以该游客离墙距离为米时，观赏视角最大．

故选：．

二、多项选择题．本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列等式成立的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：对于，故正确；

对于，故错误；

对于，故错误；

对于，故正确．

故选：．

10．（5分）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是　　

A．若，则或 

B．若点的坐标为，则是纯虚数 

C．若，则的虚部为 

D．若，则点的集合所构成的图形的面积为

【解答】解：对于，令，满足，但或，故错误，

对于，点的坐标为，

，

为纯虚数，故正确，

对于，，则的虚部为，故错误，

对于，设，

，

，，

点的集合所构成的图形的面积为，故正确．

故选：．

11．（5分）给出下列四个命题，其中正确的是　　

A．非零向量，满足，则与的夹角是 

B．在中，角，，的对边分别为，，，，，若满足条件的有两个，则的取值范围为 

C．若单位向量，，夹角为，则当取最小值时 

D．已知，，，若为锐角，则实数的取值范围是

【解答】解：对于，非零向量，满足，

令，，

则，，

，

四边形为菱形，且为等边三角形，

，

与的夹角是，故错误，

对于，由正弦定理，若满足条件的有两个，

则，即，记得，

则的取值范围为，故正确，

对于，若单位向量，，夹角为，

则，

当时，取得最小值，故正确，

对于，，，，

，

，

为锐角，

且与不同向，即，解得且，故错误．

故选：．

12．（5分）设的内角，，所对的边分别为，且．若点是外一点，，，下列说法中，正确的命题是　　

A．的内角 

B．一定是等边三角形 

C．四边形面积的最大值为 

D．四边形面积无最大值

【解答】解：由题设，又，

所以，故，

则或，又，故，正确；

所以是等边三角形，正确；

由，则，且，

而

，

所以当时有最大面积为，故正确，错误．

故选：．

三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）如图，正方体中，、分别为棱、的中点，有以下四个结论：

①直线与是相交直线；

②直线与是平行直线；

③直线与是异面直线；

④直线与是异面直线．

其中正确的结论为　③④　（注把你认为正确的结论的序号都填上）．

【解答】解：、、、四点不共面

直线与是异面直线，故①错误；

同理，直线与也是异面直线，故②错误．

同理，直线与是异面直线，故③正确；

同理，直线与是异面直线，故④正确；

故答案为：③④

14．（5分）非零向量，，若与共线，则　　．

【解答】解：向量，，且与共线，

，即，

则．

故答案为：

15．（5分）已知函数，若的最大值为2，则的值为　 　　．

【解答】解：因为，令，，，

则根据题意，，的最大值为2，且该二次函数对称轴，

当，即时，故（1），

解得，满足题意；

当时，即时，，

解得，满足题意；

综上所述：．

故答案为：．

16．（5分）如图，中，，，的垂直平分线与，分别交于，两点，且，则　　．

【解答】解：在中，

，

则，

在中，

由正弦定理得：，

解得，

即，

则，

在中，由余弦定理可得：

，

故答案为：．

四、解答题。本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）如图，在正方体，，分别为线段，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与的所成角．

【解答】解：（1）取中点，中点，

连接，，，，，

由题意可得四边形为平行四边形，

则，

又不在平面中，

面，

则平面；

（2）连接，，

则连接，

由（1）可得：（或其补角）为异面直线与的所成角的平面角，

又△为正三角形，则，

即异面直线与的所成角为．

18．（12分）已知复数，其中为虚数单位．

（1）若是纯虚数，求实数的值；

（2）若，设，试求的值．

【解答】解：（1）是纯虚数，

，解得．

（2）若，则，

故，

，，

．

19．（12分）求下列各式的值．

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）由

；

（2）．

20．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．

（1）求；

（2）求．

【解答】解：（1）因为，，，

由正弦定理得，

化简得，

即，

（2）由且是锐角，

所以，，

又是锐角，

所以，

所以，，

所以．

21．（12分）如图，在中，，，，为边上的高．

（1）求的长；

（2）设，．

①若，求实数的值；

②求的最小值．

【解答】解：（1）根据题意得，，

即，解得，

因为为边上的高，

所以，

解得；

（2）①，由（1）知，所以，所以，

所以，

因为，

所以，

所以，即，

又，

所以

，

解得，不符合题意，故不存在实数使；

②，，

所以

，

当时取得最小值，

即．

所以的最小值为：．

22．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，为的角平分线，已知且，．

（1）求的面积；

（2）设点，分别为边，上的动点，线段交于，且的面积为面积的一半，求的最小．

【解答】解：（1）由余弦定理可得：，则，，

由正弦定理得：，

，则，

又，，

，

又，

，

设，则，

，即，

解得：，，

，则，

；

（2）设，

由（1）知：，

，

设，则，

，，三点共线，可令，

则，解得：，

，

又，

，

，，

，

，

当时，．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:13:26；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367