2021-2022学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为　　

A． B． C． D．

2．（5分）下列各式中，表示是的函数的有　　

①；

②；

③；

④．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题不正确的是　　

A．若，则 B．若，，则 

C．若且，则 D．若，则

4．（5分）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

5．（5分）函数的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）函数的递减区间是　　

A． B．和 

C． D．和

7．（5分）已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知函数、是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是　　

A．，， B． C．， D．，

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）下列叙述中正确的是　　

A．，，，若二次方程无实根，则 

B．“且△”是“关于的不等式的解集是”的充要条件 

C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 

D．“”是“”的充分不必要条件

10．（5分）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，0，，，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则可能的取值为　　

A．0 B．1 C． D．

11．（5分）已知，，，则下列选项一定正确的是　　

A． B．的最大值为 

C．的最大值为2 D．

12．（5分）已知定义在，上的函数，下列结论正确的为　　

A．函数的值域为， 

B．当，时，函数所有输出值中的最大值为4 

C．函数在，上单调递减 

D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第14题第一空2分，第二空3分

13．（5分）已知函数为奇函数，且当时，，则当时，　　．

14．（5分）已知命题，，则命题的否定为 　　；若命题为真命题，则的取值范围为 　　．

15．（5分）已知函数是定义域为的偶函数，在，上单调递减，且（5），则不等式的解集为 　　．

16．（5分）已知非负实数，满足，则的最小值为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．设全集，集合，非空集合，其中．

（1）当时，求；

（2）若“”是“”的_____条件，求的取值范围，（请在“①充分；②必要”两个条件中选一个条件填入横线后作答）

18．已知是二次函数，且满足，．

（1）求的解析式；

（2）当，，其中，求的最小值．

19．已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）证明：函数在上是增函数；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

20．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图（如图）是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形区域．现计划在正方形上建一花坛，造价为4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩，造价为210元，再在四个空角上铺草坪，造价为80元．

（1）设总造价为元，的长为，试建立关于的函数关系式．

（2）计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？

21．已知函数，其中．

（1）当时，求的值域；

（2）函数能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数的范围；如果不能，则给出理由；

（3）在其定义域上恒成立，求实数的取值范围．

22．对于函数，存在实数，使，成立，则称为关于参数的不动点．

（1）当，时，求关于参数1的不动点；

（2）当，时，函数在，上存在两个关于参数的相异的不动点，试求参数的取值范围；

（3）对于任意的，总存在，，使得函数有关于参数的两个相异的不动点，试求的取值范围．

2021-2022学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

则图中阴影部分表示的集合为．

故选：．

2．（5分）下列各式中，表示是的函数的有　　

①；

②；

③；

④．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【解答】解：根据函数的定义，当自变量在它的允许取值范围内任意取一个值，都有唯一确定的值与之对应，故①④表示是的函数，

在②中由，知，因为函数定义域不能是空集，所以②不表示是的函数，

在③中，当时，对应的两个值，故不表示是的函数，

故选：．

3．（5分）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题不正确的是　　

A．若，则 B．若，，则 

C．若且，则 D．若，则

【解答】解：对于：由于，所以，故正确；

对于：根据基本不等式，，故正确；

对于：若且，则，故正确；

对于：当时，不等式不成立．

故选：．

4．（5分）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由于函数在区间，上单调递减，

故函数在区间上的最大值为，

从而，

据此可得命题为真的一个充分不必要有条件为．

故选：．

5．（5分）函数的图象大致是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：当时，，故排除选项；

又，故排除选项．

故选：．

6．（5分）函数的递减区间是　　

A． B．和 

C． D．和

【解答】解：当时，，

由，解得，

又的单调递减区间为，且为单调递增函数，

所以的单调递减区间为；

当时，，

因为的单调递减区间为，且为单调递增函数，

所以的单调递减区间为．

综上所述，的单调递减区间为和．

故选：．

7．（5分）已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，，令，

由题意，△，且，解得，

，，又，

要使中恰好有两个整数解，则只能是3和4，

令，则，解得，

的取值范围是，．

故选：．

8．（5分）已知函数、是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是　　

A．，， B． C．， D．，

【解答】解：根据题意，，则，

两式相加可得，

又由是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，所以，即，

若对于任意，都有，变形可得，

令，则在上单调递增，

所以，

若，则在上单调递增，满足题意；

若，则是对称轴为的二次函数，

若在上单调递增，只需或，

解得或，

综上，．即的取值范围为，．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）下列叙述中正确的是　　

A．，，，若二次方程无实根，则 

B．“且△”是“关于的不等式的解集是”的充要条件 

C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 

D．“”是“”的充分不必要条件

【解答】解：对于，若二次方程无实根，则△，故正确；

对于，若关于的不等式的解集是，则，或且△，

故“且△”是“关于的不等式的解集是”的充分不必要条件，故错误；

对于，若方程有一个正根和一个负根，则，

故“”是“方程有一个正根和一个负根”的充分不必要条件，故错误；

对于，若，则，反之，不可，则“”是“”的充分不必要条件，故正确，

故选：．

10．（5分）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，0，，，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则可能的取值为　　

A．0 B．1 C． D．

【解答】解：当或时，集合，此时满足，则集合，构成“鲸吞”，

当时，，此时集合，只能构成“蚕食”，

所以当，集合有公共元素时，解得，

当，集合的公共元素为时，解得，

故选：．

11．（5分）已知，，，则下列选项一定正确的是　　

A． B．的最大值为 

C．的最大值为2 D．

【解答】解：对于，，，，

当且仅当，即，时取等号），故错误；

对于，（当且仅当，即，时取等号），

即的最大值为，故正确；

对于，，，，

，，

，故错误；

对于，

（当且仅当，即，即，时取等号），故正确；

故选：．

12．（5分）已知定义在，上的函数，下列结论正确的为　　

A．函数的值域为， 

B．当，时，函数所有输出值中的最大值为4 

C．函数在，上单调递减 

D．

【解答】解：当时，，所以，，

当时，，故，，，，

以此类推，我们作出函数的图象，如图，

可以总结出在，上单调递增，在，上单调递减，

且在，上，当处取得最大值，，

函数的值域为，，正确；

当，时，函数所有输出值中的最大值为4，正确；

函数在，上单调递增，在，单调递减，故错误；

因为，，所以经过点与，设直线：，从而得到，

解得：，所以当时，，正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第14题第一空2分，第二空3分

13．（5分）已知函数为奇函数，且当时，，则当时，　　．

【解答】解：函数为奇函数，可得，

当时，，则，

当时，，，

所以时，．

故答案为：．

14．（5分）已知命题，，则命题的否定为 　，，　；若命题为真命题，则的取值范围为 　　．

【解答】解：命题的否定为，．

 因为命题为真，分离参量得，其中，

 故答案为：．

15．（5分）已知函数是定义域为的偶函数，在，上单调递减，且（5），则不等式的解集为 　，，　．

【解答】解：因为函数是定义域为的偶函数，

则函数关于轴对称，

又函数是由函数向右平移1个单位得到的，

所以函数关于对称，

因为函数在，上单调递减，且（5），

则函数在上单调递增，且，

所以当时，，当时，，

当时，，当时，，

由，得或，

所以或，

解得或，

即不等式的解集为，，．

故答案为：，，．

16．（5分）已知非负实数，满足，则的最小值为 　6　．

【解答】解：因为，

所以

．

当且仅当，即，时取等号，

所以的最小值为6．

故答案为：6．

四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．设全集，集合，非空集合，其中．

（1）当时，求；

（2）若“”是“”的_____条件，求的取值范围，（请在“①充分；②必要”两个条件中选一个条件填入横线后作答）

【解答】解：（1）当时，，，

或，或，

或；

（2）若选①充分，

“”是“”的充分条件，

，解得，

故的取值范围为；

若选②必要，

“”是“”的必要条件，

，解得，

故的取值范围为．

18．已知是二次函数，且满足，．

（1）求的解析式；

（2）当，，其中，求的最小值．

【解答】解：（1）设，

由，则，

又，

则，

则，

则，解得：，

故；

（2）由，对称轴是，

①即时，在，递减，

，

②即时，在，递减，在，递增，

故；

③时，在，递增，；

综上：．

19．已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）证明：函数在上是增函数；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解答】（1）解：因为为奇函数，故即，

所以，可得．

（2）证明：任意、，且，

则

，

因为，故，而，

故即，

故函数在上是增函数．

（3）不等式等价于，

因为为奇函数，故对任意的恒成立，

因为在上是增函数，所以对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

若，则不等式对任意的恒成立，故符合；

若，则，解得，

综上，，

即实数的取值范围，．

20．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图（如图）是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形区域．现计划在正方形上建一花坛，造价为4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩，造价为210元，再在四个空角上铺草坪，造价为80元．

（1）设总造价为元，的长为，试建立关于的函数关系式．

（2）计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？

【解答】解：（1）设，则，所以，

，

即．

（2），

当且仅当，即时，（元．

故计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．

21．已知函数，其中．

（1）当时，求的值域；

（2）函数能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数的范围；如果不能，则给出理由；

（3）在其定义域上恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，

则时，，；当，时，，，

则的值域为，，

（2）若函数在定义域上单调，

当时，因在，上函数单减，则单调递减，

则满足，解得，

当时，函数无单调性，不符合题意，

当时，因在，上函数单增，则单调递增，

则满足，解得，

综上所述，若使函数为定义域上的单调函数，实数的范围为，，，

（3）由在其定义域上恒成立，即，

化简得恒成立，

当，时，由，

令，，，

由对勾函数单调性知，函数在时，取最大值（2），则，

当，时，满足，即，

综上所述，在其定义域上恒成立，实数的取值范围为．．

22．对于函数，存在实数，使，成立，则称为关于参数的不动点．

（1）当，时，求关于参数1的不动点；

（2）当，时，函数在，上存在两个关于参数的相异的不动点，试求参数的取值范围；

（3）对于任意的，总存在，，使得函数有关于参数的两个相异的不动点，试求的取值范围．

【解答】解：（1）当，时，，令，

可得，即，解得或，

当，时，关于参数1的不动点为和3；

（2）由已知得为问题在，上有两个不同实数解，

即在，上有两个不同解，

令，所以，

解得，

所以的范围是，．

（3）由题意知，函数有关于参数的两个相异的不动点，

所以方程，

即恒有两个不等实根，

则△，

即，对任意的，总存在，使之成立，

即，即，

令，

根据二次函数性质，令，

则，

解得：，

①当，即时，函数（b）在，单调递增，

则，

解得：或，

综上：或，

②当，即或时，

函数（b）在，单调递减，则

解得：或，

综上：或

③，即，，时，函数（b）在，先减后增，

（b）（5），（2），

令（5）（2），

解得：，

故时，（b）（5），结合①得：，，，

故，，时，（b）（2），结合②得：，，，

综上：，，．

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