2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小愿给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知是关于的方程的根，则实数　　

A． B． C．2 D．4

2．（5分）已知，是不共线的向量，，、，那么、、三点共线的充要条件为　　

A． B． C． D．

3．（5分）当复数满足时，则的最小值是　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知，表示直线，，，表示平面，下列推理正确的是　　

A．， B．，且 

C．，，， D．，，

5．（5分）已知为所在平面内一点，若，，，则　　

A． B． C．8 D．16

6．（5分）在中，内角、、所对的边分别为、、，若，角的角平分线交于点，且，，则的值为　　

A． B． C．3 D．

7．（5分）半径为的球的内部装有4个相同半径的小球，则小球半径可能的最大值为　　

A． B． C． D．

8．（5分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

二、选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．（5分）下列说法中错误的是　　

A．若向最满足，则存在唯一的实数，使得 

B．已知非零向，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 

C．“”是“复数是虚数”的必要不充分条件 

D．若复数，，满足，则

10．（5分）的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是　　

A．若，则 

B．若，，，则有两解 

C．若为钝角三角形，则 

D．若，，则面积的最大值为

11．（5分）如图，棱长为2的正方体中，在线段（含端点）上运动，则下列判断正确的是　　

A． 

B．三棱锥的体积不变，为 

C．平面 

D．与所成角的范围是

12．（5分）已知点为所在平面内一点，且，，，则下列选项正确的是　　

A．若，，，则 

B．若，，，且，则 

C．若直线过的中点，则 

D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，，，则三棱锥的表面积为　　．

14．（5分）设复数，满足，，其中是虚数单位，是负实数，求　　．

15．（5分）如果满足，，的三角形恰有一个，那么的取值范围是　　．

16．（5分）如图，在中，已知，，，直线过的重心，且与边，分别交于，两点，则的最小值为　　．

四、解答题，本题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．

（Ⅰ）求复数；

（Ⅱ）若为纯虚数，求实数的值．

18．如图，在菱形中，，．

（1）若，求的值；

（2）若，，求．

（3）若菱形的边长为6，求的取值范围．

19．在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．

问题：的内角，，的对边分别为，，，已知_____．

（1）求；

（2）若为的中点，，求的面积的最大值．

20．如图，在正三棱柱中，点在棱上，，点，分别是，的中点．

（1）求证：为的中点；

（2）求证：平面．

21．如图，海上有，两个小岛，在的正东方向，小船甲从岛出发以海里小时的速度沿北偏东方向匀速直线行驶，同一时刻小船乙出发，经过小时与小船甲相遇．

（1）若相距2海里，为海里小时，小船乙从岛出发匀速直线追赶，追赶10分钟后与小船甲相遇，求小船乙的速度；

（2）若小船乙先从岛以16海里小时匀速沿射线方向行驶小时，再以8海里小时匀速直线追赶小船甲，求小船甲在能与小船乙相遇的条件下的最大值．

22．四面体中，

（1），，．求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；

（2）有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三棱锥，问为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？

（参考公式，三元均值不等式，当且仅当时取得等号）

2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小愿给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【分析】由题意利用实系数一元二次方程虚根成对定理，韦达定理，求得实数．

【解答】解：已知是关于的方程的根，

是关于的方程的根，

，

解得，

故选：．

2．【分析】若、、三点共线，则向量与平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列式，即可找出使、、三点共线的充要条件．

【解答】解：若、、三点共线，则向量

即存在实数，使得，

，

，可得，消去得

即、、三点共线的充要条件为

故选：．

3．【分析】用复数的几何意义两复数和的模大于或等于模的差，直接求最小值．

【解答】解：

的最小值是．

故选：．

4．【分析】利用空间线面关系及面面关系定理，对选项分别分析解答．

【解答】解：对于选项，，，直线，可能相交；故错误；

对于选项，，，直线可能在两个平面内，故错误；

对于选项，，，，，直线，如果不相交，，可能相交，故错误；

对于选项，根据面面平行的性质以及，得到，进一步得到；故正确；

故选：．

5．【分析】根据已知可求得为的外心，利用平面向量数量积运算即可求解．

【解答】解：设的中点为，的中点为，

，，，，

由，同理得，，

为的外心，所以，，

，，

．

故选：．

6．【分析】利用角平分线的性质，分别在，中，利用余弦定理用表示出，，然后列方程求出的值，最后再求出，，最后求出的值．

【解答】解：因为，

所以由正弦定理可得，

可得，

因为，

所以，

所以，由，，

所以，

在，中，由余弦定理得：，

，

故，解得：，故，

在中，由余弦定理得：，即，

故．

故选：．

7．【分析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．

【解答】解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．

以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心

该正四面体的高为

设正四面体的外接球半径为，则

，

．

故选：．

8．【分析】根据正弦定理和余弦定理求出，再求出的取值范围，求出，根据函数的单调性求出其取值范围即可．

【解答】解：中，，

又由余弦定理，

得：，

整理得：①，

，

，

由①利用正弦定理可得：

，

得，

可得，或（舍，，

又，，，均为锐角，

由于，，，，

可得：，可得：，

在锐角中，，，，，

，

令，则，，

故，

令，，，

则，

故在，单调递增，

故，（1），

故，，即的取值范围是，，

故选：．

二、选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．【分析】直接利用复数的运算，向量的夹角的应用，向量的共线判断、、、的结论．

【解答】解：对于：若向最满足，则存在唯一的实数，使得，故错误；

对于：已知非零向，且与，当，整理得，且，解得：，故向量的夹角为锐角的条件为，，故错误．

对于：复数是虚数，故，即且，“”是“复数是虚数”的必要不充分条件，故正确；

对于：当，，满足，但是不成立，故错误；

故选：．

10．【分析】由已知结合正弦定理可检验；结合正弦定理及三角形大边对大角可检验选项；结合余弦定理可检验选项；结合余弦定理及基本不等式，三角形的面积公式可检验选项．

【解答】解：，正确；

因为，，，

由正弦定理得，，

故，

因为，

所以，

故有两角，正确；

为钝角三角形，但不确定哪个角为钝角，则不一定成立，不符合题意；

因为，，

由余弦定理得，，当且仅当时取等号，

故，

面积，即最大值为，正确．

故选：．

11．【分析】对于，推导出，，从而平面，进而，；对于，推导出平面，从而到的距离是定值，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出三棱锥的体积为；对于，由，，得平面平面，从而平面；对于，当与重合时，与所成角为0，当与重合时，与所成角为．

【解答】解：棱长为2的正方体中，在线段（含端点）上运动，

对于，，，，、平面，

平面，平面，，

同理，，，、平面，平面，

平面，，故正确；

对于，在线段（含端点）上运动，，平面，平面，

平面，到的距离是定值，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，0，，，0，，，2，，，2，，

，0，，，2，，，2，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

到平面的距离，

三棱锥的体积为：

，故错误；

对于，，，，，

平面平面，平面，平面，故正确；

对于，在线段（含端点）上运动，

当与重合时，与所成角为0，

当与重合时，与所成角为，故错误．

故选：．

12．【分析】对于，由，，即可判断；对于，，两边同时平方化简后可得，而，展开后计算即可判断；对于，设中点为，则，若直线过的中点，则，可得，即可判断；对于，由奔驰定理直接判断．

【解答】解：对于，若，，，则，

因为，，

所以，

整理可得，故选项正确；

对于，，

，

，解得，

，故选项正确；

对于，设中点为，则，

若直线过的中点，则，

，，

，

，

，

，但与，不一定相等，故选项错误；

对于，由奔驰定理可知，

又，，，

，故选项错误．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．【分析】由题意得，，三棱锥的表面积为，由此能求出三棱锥的表面积．

【解答】解：三棱锥为鳖臑，平面，，，

，，

，，

三棱锥的表面积为：

．

故答案为：．

14．【分析】把已知变形，结合求得，然后把分子分母同时乘以得答案．

【解答】解：由，得，

整理得，

又，则，，

．

故答案为：．

15．【分析】要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出恰有一个解时满足的条件．

【解答】解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）当，即时，三角形有1个解．

综上所述：当时，三角形恰有一个解．

故答案为：

16．【分析】利用重心的性质得到，由，，三点共线，得，再求出，利用基本不等式求最值即可．

【解答】解：设，，，，，

则，

，，三点共线，，即，

，

当且仅当时取等号，的最小值为．

故答案为：．

四、解答题，本题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．【分析】（Ⅰ）设，且，由条件可得①，②．由①②联立的方程组得、的值，即可得到的值；

（Ⅱ）根据实部为0，虚部不为0即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）设，，，．

由题意：．①

，

得，，②

①②联立，解得．；

得．

（Ⅱ）；

由题意可知；

解得．

18．【分析】（1）利用已知条件求出，然后求解，即可．

（2）利用已知向量，表示数量积的向量，然后求解即可．

（3）利用向量的数量积，结合三角函数的有界性，求解即可．

【解答】解：（1）因为，，

所以，，

所以，，

故．

（2），

为菱形，

，即．

（3）

，，

的取值范围：．

19．【分析】（1）选①，结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求；

选②，由正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求；

（2）由已知得，然后结合向量数量积性质及基本不等式可求的范围，再由三角形面积公式可求．

【解答】解：（1）选①，

由正弦定理得，

因为，

所以得，即，

所以；

选②，

由正弦定理得，，

因为，

所以，

即，

所以，

所以；

（2）若为的中点，则，

所以，

即，

所以，

的面积，即面积最大值．

20．【分析】（1）推导出，，从而平面，进而，由此能证明为的中点．

（2）连结，，交于点，连结，，推导出，，从而，由此能证明平面．

【解答】证明：（1）在正三棱柱中，点在棱上，，

，，

，平面，

，为的中点．

（2）连结，，交于点，连结，，

正三棱柱中，是矩形，是的中点，

，

点，分别是，的中点，，

，

平面，平面．

平面．

21．【分析】（1）设乙速度为海里小时，利用余弦定理列方程求得的值；

（2）由题意利用余弦定理可得关于的一元二次方程，利用换元法与判别式，即可求得的最大值．

【解答】解：（1）设乙速度为海里小时，

由余弦定理可知，

整理得；

由于，

所以；

答：乙的速度为海里小时．

（2）由题意知，

两边同除以得：，

设，其中，

则有，其中，

即关于的方程在上有解，

则必有△，

解得，

当时，可得，

因此为最大值为．

答：小船甲在能与小船乙相遇的条件下的最大值海里小时．

22．【分析】（1）在四面体中，由已知可得四面体的四个面为全等三角形，设长方体的长、宽、高分别为、、，证明为锐角三角形，即可证明这个四面体的四个面都是锐角三角形；

（2）当2条长为的线段不在同一个三角形中，写出三棱锥体积，利用基本不等式求最值；当边长为的两条棱在同一个三角形中时，可知当平面时，体积取最大值，比较大小得结论．

【解答】（1）证明：在四面体中，

，，，四面体的四个面为全等三角形，

即只需证明一个面为锐角三角形即可．

设长方体的长、宽、高分别为、、，

则，，，

，，，

为锐角三角形，则这个四面体的四个面都是锐角三角形；

（2）解：当2条长为的线段不在同一个三角形中，

如图，不妨设，，取的中点，连接，，

则，，而，平面，

则三棱锥的体积，

在中，，，，

．

当且仅当，即时等号成立；

当边长为的两条棱在同一个三角形中时，

设，，

当且仅当平面时，体积取最大值，此时，

，当时，三棱锥体积有最大值为．

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日期：2022/3/11 19:10:35；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367