2021-2022学年江苏省无锡市滨湖区高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省无锡市滨湖区高一（上）期中数学试卷

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．）

1．（5分）集合，中的元素个数有　　

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（5分）已知幂函数的图象过点，则（8）　　

A． B． C．4 D．

3．（5分）如果，那么下列不等式正确的是　　

A． B． C． D．

4．（5分）“且”是“”成立的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）函数的图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

6．（5分）如图所示，矩形的边靠在墙上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形所需要篱笆的　　

A．最小长度为8 B．最小长度为 C．最大长度为8 D．最大长度为

7．（5分）已知偶函数在，上单调递增，且，则满足的的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

8．（5分）若函数是上的减函数，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）

9．（5分）设全集，1，2，3，，集合，1，，，1，，则　　

A．， B． 

C．，1，3， D．集合的真子集个数为8

10．（5分）已知，且，那么下列不等式中，恒成立的有　　

A． B． C． D．

11．（5分）下列各结论中正确的是　　

A．“”是“”的充要条件 

B．“”的最小值为2 

C．命题“，”的否定是“，” 

D．“”是“”的充分不必要条件

12．（5分）对任意两个实数，，定义，，若，，下列关于函数，的说法正确的是　　

A．函数是偶函数 

B．方程有两个解 

C．方程至多有三个根 

D．函数有最大值为0，无最小值

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）

13．（5分）函数的定义域为 　　．

14．（5分）已知函数，则（3）　　．

15．（5分）已知函数，则函数的最大值为 　　．

16．（5分）已知函数是定义在，的奇函数，则实数的值为 　　；若函数，如果对于，，，，使得，则实数的取值范围是 　　．

四、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）

17．（10分）已知集合或，．

（1）求；

（2）求．

18．（12分）类题）已知函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）画出函数的图象；

（Ⅲ）指出函数的单调区间．

19．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．

（1）求函数在上的解析式；

（2）用单调性定义证明函数在区间上是增函数．

20．（12分）已知命题“，都有不等式成立”是真命题．

（1）求实数的取值集合；

（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

21．（12分）郑州地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利．已知地铁5号线通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔相关，当时，地铁为满载状态，载客量为500人；当时，载量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记地铁的载客量为．

（1）求的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量；

（2）若该线路每分钟的净收益为（元．问：当列车发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？

22．（12分）已知幂函数满足（2）（4）．

（1）求函数的解析式；

（2）若函数，，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

（3）若函数，是否存在实数，，使函数在，上的值域为，？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

2021-2022学年江苏省无锡市滨湖区高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．）

1．（5分）集合，中的元素个数有　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：依题意，，，0，，所以集合中元素的个数为3，

故选：．

2．（5分）已知幂函数的图象过点，则（8）　　

A． B． C．4 D．

【解答】解：设幂函数，由于它的图象过点，

，，故，

则（8），

故选：．

3．（5分）如果，那么下列不等式正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，故错误；

，故错误；

，故，即，故错误；

，故正确；

故选：．

4．（5分）“且”是“”成立的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：当且时，成立，即充分性成立，

若，满足，但且不成立，即必要性不成立，

故“且”是“”成立的充分不必要条件，

故选：．

5．（5分）函数的图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：函数的定义域为实数集，关于原点对称，

函数，则，则函数为奇函数，故排除，，

当时，，故排除，

故选：．

6．（5分）如图所示，矩形的边靠在墙上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形所需要篱笆的　　

A．最小长度为8 B．最小长度为 C．最大长度为8 D．最大长度为

【解答】解：设，，则，

所以围成矩形所需要的篱笆长度为，

当且仅当即时取等号，此时长度取得最小值．

故选：．

7．（5分）已知偶函数在，上单调递增，且，则满足的的取值范围是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：根据题意，为偶函数，则，（2），

又由在，上单调递增，

则（2），

解可得．

故选：．

8．（5分）若函数是上的减函数，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：由题意可得：

①，解得：；

②，解得：，

③当时，，解得：，

综上可得，实数的取值范围是．

故选：．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）

9．（5分）设全集，1，2，3，，集合，1，，，1，，则　　

A．， B． 

C．，1，3， D．集合的真子集个数为8

【解答】解：全集，1，2，3，，集合，1，，，1，，

，，故正确，

，，故错误，

，1，3，，故正确，

集合的真子集个数为，故错误

故选：．

10．（5分）已知，且，那么下列不等式中，恒成立的有　　

A． B． C． D．

【解答】解：已知，且，

对于，故正确；

对于：由于，所以，即，故正确；

对于，故正确；

对于，故错误．

故选：．

11．（5分）下列各结论中正确的是　　

A．“”是“”的充要条件 

B．“”的最小值为2 

C．命题“，”的否定是“，” 

D．“”是“”的充分不必要条件

【解答】解：显然，故成立；

因为，当且仅当，即时取等号，显然不成立，故错误；

“，”的否定是“，”，故错误；

由得，或，故“”是“”的充分不必要条件，故正确．

故选：．

12．（5分）对任意两个实数，，定义，，若，，下列关于函数，的说法正确的是　　

A．函数是偶函数 

B．方程有两个解 

C．方程至多有三个根 

D．函数有最大值为0，无最小值

【解答】解：，

作出函数的图象如下图所示，

由图象可知，函数的图象关于轴对称，为偶函数，故选项正确；

有两个解，分别为和，故选项正确；

函数与直线的图象至多有4个交点，则至多有4个解，故选项错误；

函数有最大值为0，无最小值，故选项正确．

故选：．

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）

13．（5分）函数的定义域为 　，，　．

【解答】解：由题意得：

，解得：且，

故函数的定义域是，，，

故答案为：，，．

14．（5分）已知函数，则（3）　4　．

【解答】解：根据题意，函数，

令可得：（3），

故答案为：4．

15．（5分）已知函数，则函数的最大值为 　　．

【解答】解：函数，

由于，

所以，

故，当且仅当时等号成立．

故答案为：

16．（5分）已知函数是定义在，的奇函数，则实数的值为 　0　；若函数，如果对于，，，，使得，则实数的取值范围是 　　．

【解答】解：由函数是定义在，的奇函数，可得，即；

设在，的值域为，在，的值域为，

对于，，，，使得，等价为．

由为奇函数，可得，

当时，，，，，

所以在，的值域，；

又在，递增，在，递减，

可得的最小值为，最大值为，

即有，．

所以，且，

解得，

即有的取值范围是，．

故答案为：0，，．

四、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）

17．（10分）已知集合或，．

（1）求；

（2）求．

【解答】解：（1）因为或，，

所以；

（2）．

18．（12分）类题）已知函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）画出函数的图象；

（Ⅲ）指出函数的单调区间．

【解答】解：（Ⅰ），，（1），

即．

（Ⅱ）函数的图象如图：

（3）由图象知递减区间：，，递增区间：．

19．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．

（1）求函数在上的解析式；

（2）用单调性定义证明函数在区间上是增函数．

【解答】解：（1）设，则，

由时，可知，，

又为奇函数，故，

函数在上的解析式为

（2）证明：设，则，

，

，

，即，

函数在区间上是增函数，得证．

20．（12分）已知命题“，都有不等式成立”是真命题．

（1）求实数的取值集合；

（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）命题“，都有不等式成立”是真命题，

所以△，解得，

所以实数的取值集合；

（2）因为不等式对应的方程为，

①当，即时，解集，

若是的充分不必要条件，则是的真子集，

所以，此时；

②当，即时，解集，满足是的充分不必要条件；

③当，即时，解集，

若是的充分不必要条件，则是的真子集，

所以，此时；

综上知，实数的取值范围是，．

21．（12分）郑州地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利．已知地铁5号线通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔相关，当时，地铁为满载状态，载客量为500人；当时，载量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记地铁的载客量为．

（1）求的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量；

（2）若该线路每分钟的净收益为（元．问：当列车发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？

【解答】解：（1）当时，．

当时，，（2），，解得．．

，

（5）人．

（2）当时，．

．可得．

当时，．

，当且仅当时，该线路每分钟的净收益最大．

答：当列车发车时间间隔为4时，该线路每分钟的净收益最大．

22．（12分）已知幂函数满足（2）（4）．

（1）求函数的解析式；

（2）若函数，，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

（3）若函数，是否存在实数，，使函数在，上的值域为，？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）是幂函数，

得，解得：或

当时，，不满足（2）（4）．

当时，，满足（2）（4）．

故得，函数的解析式为；

（2）由函数，即，

令，

，，

，，

记，

其对称在，

①当，即时，则（1），解得：；

②当时，即，则，解得：，不满足，舍去；

③当时，即时，则（3），解得：，不满足，舍去；

综上所述，存在使得的最小值为0；

（3）由函数在定义域内为单调递减函数，

若存在实数存在实数，，使函数在，上的值域为，

则

两式相减：可得：．

③

将③代入②得，

令，

，

，

得：

故得实数的取值范围，．

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