2021-2022学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，，0，2，，则　　

A． B．， C．， D．，，

2．（5分）若幂函数的图象过点，则（2）的值为　　

A．2 B． C． D．4

3．（5分）命题“，”的否定为　　

A．， B．， C．， D．，

4．（5分）已知函数，则的值为　　

A． B． C．0 D．1

5．（5分）已知函数的图象恒过点，若角的终边经过点，则的值为　　

A． B． C． D．

6．（5分）设，为正数，且，则的最小值为　　

A． B． C． D．

7．（5分）设，，，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为（其中记为不超过的最大整数），且过点，，若葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）使成立的一个充分条件可以是　　

A． B． C． D．

10．（5分）关于函数，下列说法中正确的是　　

A．其最小正周期为 

B．其图象由向右平移个单位而得到 

C．其表达式可以写成 

D．其图象关于点，对称

11．（5分）下列说法中正确的是　　

A．若是第二象限角，则点，在第三象限 

B．圆心角为，半径为2的扇形面积为2 

C．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是 

D．若，且，则

12．（5分）规定，，若函数，，则　　

A．是以为最小正周期的周期函数 

B．的值域是， 

C．当且仅当时， 

D．当且仅当，时，函数单调递增

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）　　．

14．（5分）函数的定义域是　　．

15．（5分）若函数在单调递增，则实数的取值范围为 　　．

16．（5分）已知函数集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在①；②“”是“”的充分条件；③“”是“”的必要条件，在这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若____，求实数的取值范围．

18．（12分）已知，，．

（1）求，的值；

（2）求的值．

19．（12分）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，当水车上水斗从水中浮现时开始计算时间，点沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过秒后，水斗旋转到点，已知，，设点的坐标为，其纵坐标满足，，．

（1）求函数的解析式；

（2）当水车转动一圈时，求点到水面的距离不低于的持续时间．

20．（12分）已知函数，．

（1）求证：为奇函数；

（2）若恒成立，求实数的取值范围；

（3）解关于的不等式（a）．

21．（12分）已知函数，，的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．

①当，时，求函数的值域；

②若方程在，上有三个不相等的实数根，，，求的值．

22．（12分）对于函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的1个“跃点”．

（1）求证：函数在，上是“1跃点”函数；

（2）若函数在上存在2个“1跃点”，求实数的取值范围；

（3）是否同时存在实数和正整数使得函数在，上有2022个“跃点”？若存在，请求出和满足的条件；若不存在，请说明理由．

2021-2022学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，，0，2，，则　　

A． B．， C．， D．，，

【解答】解：集合，，，0，2，，

则或，

，，．

故选：．

2．（5分）若幂函数的图象过点，则（2）的值为　　

A．2 B． C． D．4

【解答】解：设幂函数，；

由的图象过点，

所以，解得，

所以；

所以（2）．

故选：．

3．（5分）命题“，”的否定为　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：根据题意，命题，是全称命题，

其否定为，，

故选：．

4．（5分）已知函数，则的值为　　

A． B． C．0 D．1

【解答】解：根据题意，函数，

则，则，

故选：．

5．（5分）已知函数的图象恒过点，若角的终边经过点，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于函数，令，求得，，

可得它的图象恒过点，

若角的终边经过点，则，

故选：．

6．（5分）设，为正数，且，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

当且仅当且，即，时取等号，

故选：．

7．（5分）设，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，，

，，

，

故选：．

8．（5分）如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为（其中记为不超过的最大整数），且过点，，若葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为　　

A． B． C． D．

【解答】解：点，在曲线上，可得：，化简可得：，

可得：，

解得：

若葫芦曲线上一点到轴的距离为，则等价于，

则有：，

可得：，

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）使成立的一个充分条件可以是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

或，

或，或，

不等式成立的一个充分条件是或

故选：．

10．（5分）关于函数，下列说法中正确的是　　

A．其最小正周期为 

B．其图象由向右平移个单位而得到 

C．其表达式可以写成 

D．其图象关于点，对称

【解答】解：函数的最小正周期，故正确；

向右平移个单位得到，故错误；

，故正确；

，故的图象关于点，对称，故正确，

故选：．

11．（5分）下列说法中正确的是　　

A．若是第二象限角，则点，在第三象限 

B．圆心角为，半径为2的扇形面积为2 

C．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是 

D．若，且，则

【解答】解：对．若是第二象限角，则，，故点在第三象限，则正确；

对．根据题意，扇形面积，故正确；

对．对，当时，当时，，

故可以取的一个区间是，则正确；

对．，且，则，解得，

则，故错误．

故选：．

12．（5分）规定，，若函数，，则　　

A．是以为最小正周期的周期函数 

B．的值域是， 

C．当且仅当时， 

D．当且仅当，时，函数单调递增

【解答】解：由题意可得：函数，即，

所以，

所以是周期为的周期函数．故正确；

在一个周期上的图象如图所示，

由图象可得，它的值域为，，故不正确：

当且仅当时，

和都小于零，故函数，故正确，

当时，，，由知函数在，上单调递增，

当时，，，由知函数在，上单调递增，

故错误．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）　　．

【解答】解：原式，

故答案为：．

14．（5分）函数的定义域是　，　．

【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：，

所以原函数的定义域为，．

故答案为，．

15．（5分）若函数在单调递增，则实数的取值范围为 　，　．

【解答】解：函数在单调递增，

函数在上单调递减，且，

，求得，

故答案为：，．

16．（5分）已知函数集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为 　，　．

【解答】解：由可得，

所以，或，

作出的图象，如图所示：

由图可知：有两个根，

所以就只有一个根，

所以，解得，

当时，，

解得：，或，

所以或或，满足题意．

故答案为：，．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在①；②“”是“”的充分条件；③“”是“”的必要条件，在这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若____，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，，

所以；

（2）选①，可得，

选②“”是“”的充分条件，可得，

选③“”是“”的必要条件，可得，

则，解得，即的取值范围是；

即的取值范围是．

18．（12分）已知，，．

（1）求，的值；

（2）求的值．

【解答】解：（1）由，得，

联立，

，，解得，；

（2）．

19．（12分）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，当水车上水斗从水中浮现时开始计算时间，点沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过秒后，水斗旋转到点，已知，，设点的坐标为，其纵坐标满足，，．

（1）求函数的解析式；

（2）当水车转动一圈时，求点到水面的距离不低于的持续时间．

【解答】解：（1）由图可知：，

周期，

时，在，，

或，

，，且取，则．

．

（2）点到水面的距离等于时，，

故或，

即，，，

当水车转动一圈时，点到水面的距离不低于的持续时间为20秒．

20．（12分）已知函数，．

（1）求证：为奇函数；

（2）若恒成立，求实数的取值范围；

（3）解关于的不等式（a）．

【解答】解：（1）证明：函数，即，

可得，解得或，可得定义域为或，关于原点对称，

，则为奇函数；

（2）由或，解得，

所以恒成立，即，

化为，即对恒成立，

由，当且仅当即时，取得等号，

所以，即的取值范围是，；

（3）不等式（a），即为（a），

设，即，可得在上递减，

所以（a），所以，解得，

所以原不等式的解集为，．

21．（12分）已知函数，，的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．

①当，时，求函数的值域；

②若方程在，上有三个不相等的实数根，，，求的值．

【解答】解：由图示得：，，又，，，

，又因为过点，，，，

，，解得，，又，，

，

（2）①由已知可得，当，时，，，，，

，，函数的值域为，；

②当，时，，，令，，，

则函数的图象如下图所示，且，，

，

由图象可得有三个不同的实数根，，，，则，，

，即，．

．

22．（12分）对于函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的1个“跃点”．

（1）求证：函数在，上是“1跃点”函数；

（2）若函数在上存在2个“1跃点”，求实数的取值范围；

（3）是否同时存在实数和正整数使得函数在，上有2022个“跃点”？若存在，请求出和满足的条件；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）证明：因为（1），

整理得，令，

因为，（1），

所以在区间，有零点，

即存在，，使得，

即存在，，使得（1），

所以，函数函数在，上是“1跃点”函数；

（2）函数在上存在2个“1跃点” 方程在上有两个实数根，

即在上有两个实数根，

令，则，

解得或，

所以的取值范围是，，；

（3）由，得，

即，

因为函数在，上有2022个“跃点”，所以方程在，上有2022个解，

即函数与的图象有2022个交点，

所以或或，

即或或．

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