2021-2022学年江苏省盐城市滨海中学高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省盐城市滨海中学高一（上）期中数学试卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）化为弧度数为　　

A． B． C． D．

2．（5分）设，则“”是“”的　　条件．

A．充分但不必要条件 B．充要条件 

C．必要但不充分条件 D．既不充分又不必要条件

3．（5分）函数的定义域为　　

A． B． C． D．

4．（5分）若，则　　

A．2 B．2或0 C．0 D．或0

5．（5分）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）已知，，，则　　

A． B． C． D．

7．（5分），若，且，则的取值范围　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知函数若不等式在，上有解，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.

9．（5分）下列根式与分数指数幂的互化正确的是　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）下列各组函数中表示同一个函数的是　　

A．， 

B．， 

C．， 

D．，

11．（5分）下列说法正确的有　　

A．不等式的解集是 

B．“”的必要不充分条件是“” 

C．命题，，则， 

D．满足，，的集合的个数是3个

12．（5分）已知，，下列命题中正确的是　　

A．“”的最小值为2 

B．若，则 

C．若，则 

D．若，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）命题“，”是假命题，则实数的范围是 　　．

14．（5分）已知，则的解析式为　　．

15．（5分）已知正实数，满足，则的最小值为 　　．

16．（5分）若是奇函数，且在上是减函数，又，则的解集是 　　．

四、解答题（第17小题10分，第18到22题每题12分，共70分）.

17．（10分）（1）计算化简：；

（2）．

18．（12分）已知，．

（1）求，；

（2）已知函数 ___．请从①，②选一个补充横线条件后，求函数的最大值并求函数最大值时的值．

19．（12分）已知幂函数的图象关于轴对称，且（2）（3）．

（1）求的值和函数的解析式；

（2）函数在区间，上是单调递增函数，求实数的取值范围．

20．（12分）设，为实常数）．

（1）当时，证明：不是奇函数；

（2）设是奇函数，求与的值；

（3）在（2）条件下，当时，若实数满足，求实数的取值范围．

21．（12分）某小微企业去年某产品的年销售量为1万只，每只销售价为10元，成本为8元，今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售量（万只）与投入广告费（万元）之间的函数关系为，且当投入广告费为4万元时，销售量为3.4万只，现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的”之和．

（1）当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.5万元，则的最大值是多少？

（2）若，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？最大年利润是多少？

22．（12分）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“函数”．

（1）判断定义在区间，，函数是否为“函数”，并说明理由；

（2）若函数在定义域，上是“函数”，求的取值范围；

（3）已知函数在定义域上为“函数”．若对任意的实数，不等式都成立，求实数的最大值．

2021-2022学年江苏省盐城市滨海中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）化为弧度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据弧度，

弧度．

故选：．

2．（5分）设，则“”是“”的　　条件．

A．充分但不必要条件 B．充要条件 

C．必要但不充分条件 D．既不充分又不必要条件

【解答】解：由，我们不一定能得出，比如，所以不是的充分条件；

，由，能得出，是的必要条件

是的必要但不充分条件

故选：．

3．（5分）函数的定义域为　　

A． B． C． D．

【解答】解：函数，

令，

解得，且；

所以的定义域为，，．

故选：．

4．（5分）若，则　　

A．2 B．2或0 C．0 D．或0

【解答】解：依题意，，，，

或，

，，，

，（舍去），

，．

故选：．

5．（5分）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：函数的定义域为，且，故排除选项；

由（2），故排除选项；

由，故排除选项．

故选：．

6．（5分）已知，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，，

所以．

故选：．

7．（5分），若，且，则的取值范围　　

A． B． C． D．

【解答】解：分别画出与的图象，

如图所示：

所以，，，

，

又因为，

时，取最大值，

的取值范围是：，，

故选：．

8．（5分）已知函数若不等式在，上有解，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：时；时，；

同理可得，当时，，综上可知，恒成立，故是偶函数，

又因为时，是单调增函数，所以不等式在，上有解，则在，上有解，

即在，上有解，即在，上有解，

所以，且，

所以，且，故．

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.

9．（5分）下列根式与分数指数幂的互化正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：对于选项，故选项错误，

对于选项：当时，，故选项错误，

对于选项，故选项正确，

对于选项，故选项正确，

故选：．

10．（5分）下列各组函数中表示同一个函数的是　　

A．， 

B．， 

C．， 

D．，

【解答】解：，与表示同一个函数，对；

与三要素相同，两函数表示同一个函数，对；

选项中函数定义域为，定义域为，两函数不表示同一个函数，错；

选项中函数的定义域为，函数的定义域为，两函数不表示同一个函数，错；

故选：．

11．（5分）下列说法正确的有　　

A．不等式的解集是 

B．“”的必要不充分条件是“” 

C．命题，，则， 

D．满足，，的集合的个数是3个

【解答】解：由得，

即，

解得，正确；

由，不一定成立，但成立时一定有，

故是的必要不充分条件，正确；

根据含有量词的命题的否定可知，，则，，错误；

满足，，的集合的有，，，，，，，满足题意．

故选：．

12．（5分）已知，，下列命题中正确的是　　

A．“”的最小值为2 

B．若，则 

C．若，则 

D．若，则

【解答】解：对于选项，，当且仅当即时，等号成立，

显然无解，所以等号取不到，故选项错误，

对于选项，，当且仅当时，等号成立，

，即，

，故选项正确，

对于选项，

，当且仅当即时，等号成立，

故选项错误，

对于选项，

，，

，

，，，

，

当且仅当即时，等号成立，

，故选项正确，

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）命题“，”是假命题，则实数的范围是 　，　．

【解答】解：命题“，”是假命题，

则它的否定命题“，”是真命题，

时，不等式为，显然成立，

时，应满足，解得，

所以实数的取值范围是，．

故答案为：，．

14．（5分）已知，则的解析式为　　．

【解答】解：令，得到，

得到．

．

故答案为：．

15．（5分）已知正实数，满足，则的最小值为 　　．

【解答】解：方法一：，，且，则，

即，当且仅当时取等号，

即，

解得；

方法二：，当且仅当时取等号，

解得；

方法三：，

当且仅当时取等号．

故答案为：．

16．（5分）若是奇函数，且在上是减函数，又，则的解集是 　，，　．

【解答】解：因为是奇函数，且在上是减函数，，

所以在上是减函数，（4），

因为，

所以或，

即或，

解得或，

故不等式的解集为，，．

故答案为：，，．

四、解答题（第17小题10分，第18到22题每题12分，共70分）.

17．（10分）（1）计算化简：；

（2）．

【解答】解：（1）原式．

（2）原式．

18．（12分）已知，．

（1）求，；

（2）已知函数 ___．请从①，②选一个补充横线条件后，求函数的最大值并求函数最大值时的值．

【解答】解：（1），

；

（2）

①若选①，

，

当，即时，；

②若选②，，

，

当，．

19．（12分）已知幂函数的图象关于轴对称，且（2）（3）．

（1）求的值和函数的解析式；

（2）函数在区间，上是单调递增函数，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）幂函数的图象关于轴对称，函数是偶函数，（2）（3）函数是增函数，是偶数，

，可得满足题意．

（2）函数．

当时，舍；

当时；

当．

，

20．（12分）设，为实常数）．

（1）当时，证明：不是奇函数；

（2）设是奇函数，求与的值；

（3）在（2）条件下，当时，若实数满足，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）证明：当时，，定义域为，关于原点对称，

不恒成立，

只有时，成立，

所以不是奇函数；

（2）若为奇函数，可得，

即为恒成立，

即有恒成立，

可得，

解得，或，；

（3）由（2）可得，，即有，

可得为上的奇函数，又，

由在上递增，可得在上为减函数，

所以即为（1），

即有（1），即（1），

所以，

解得，

所以的取值范围是，．

21．（12分）某小微企业去年某产品的年销售量为1万只，每只销售价为10元，成本为8元，今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售量（万只）与投入广告费（万元）之间的函数关系为，且当投入广告费为4万元时，销售量为3.4万只，现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的”之和．

（1）当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.5万元，则的最大值是多少？

（2）若，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？最大年利润是多少？

【解答】解：（1）当时，，

，解得，

，

当投入广告费为1万元时，，销售价为，

，解得，

故要使得该产品年利润不少于4.5万元，则的最大值是2．

（2）当时，，

，

当且仅当，即时，等号成立，

故当投入2万元广告费时，该产品可获最大年利润，最大年利润是万元．

22．（12分）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“函数”．

（1）判断定义在区间，，函数是否为“函数”，并说明理由；

（2）若函数在定义域，上是“函数”，求的取值范围；

（3）已知函数在定义域上为“函数”．若对任意的实数，不等式都成立，求实数的最大值．

【解答】解：（1）在区间，上，函数不是“函数”，理由如下：

若函数是“函数”，

取，存在，，使得，

即，解得，，

所以假设不等式，

则在区间，上，函数不是“函数”；

（2）因为函数在定义域，上单调递增，

若为“函数”，

则，证明如下：

取，则存在，，使得，

则，

如果，取，则存在，，使得，

则，

因为在，上单调递增，

所以，

则，

又，，

所以，，与上式矛盾，

所以假设不成立，

则，

所以，

则，

整理可得，

因为，

所以，则，

又，

则，

所以，

故的取值范围为；

（3）函数的对称轴方程为且（a），

因为在定义域上为“函数”，

则，

所以函数在上单调递增，

由（2）可知，必有，

所以，解得，

故，

对任意的实数，不等式都成立，

即对任意的实数恒成立，

因为，

当且仅当，即时取等号，

所以，

故实数的取值范围为．

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