2024年新高考数学一轮复习 第四章 第五节 函数y＝Asin(ωx＋φ)

课时跟踪检测(三十) 函数y＝Asin(ωx＋φ)

一、全员必做题

1．(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　 )

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

解析：选D　因为y＝2sin＝2sin，所以要得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin的图象上所有的点向右平移个单位长度，故选D.

2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　 )

A．－  B．  C．1  D.

解析：选D　由题意可知该函数的周期为，∴＝，即ω＝2，∴f(x)＝tan 2x.∴f＝tan＝.

3．时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20 ℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28 ℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T(单位：℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T＝20－10sin，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(　 )

A．1.4 h  B．2.4 h

C．3.2 h  D.5.6 h

解析：选B　设t1时开始开放，t2时开始闭合，则20－10sin＝20，又t1∈[5,17)，解得t1＝9，t1＝17(舍去)，20－10sin＝28，

∴sin＝－，由sin≈0.8得sin≈－，∴t2－＝，∴t2＝，∴t2－t1＝＝2.4.

4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式可能为(　 )

A．g(x)＝sin

B．g(x)＝sin

C．g(x)＝sin

D．g(x)＝sin

解析：选C　由题图可知A＝，f(0)＝sin φ＝，又|φ|≤，所以φ＝，又f＝sin＝－，ω×＋＝2kπ＋，k∈Z，ω＝3k＋2，k∈Z，又最小正周期T≥，所以ω＝≤3，又ω∈N*，所以ω＝2，所以f(x)＝sin2x＋，将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，得解析式y＝sin，再向右平移个单位长度，得g(x)＝sin＝sin.

5．(2023·重庆模拟)(多选)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋1(ω>0,0<φ<π)为偶函数，其图象与直线y＝2的两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x1－x2|的最小值为π，将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到g(x)的图象，则下列说法正确的是(　 )

A．g(x)＝sin＋1

B.是函数g(x)图象的一个对称中心

C．函数g(x)在上单调递减

D．若方程g(x)＝m在上有两个不等实根，则≤m≤2

解析：选AC　由题意可得，函数f(x)的最小正周期为π，则ω＝2，又因为函数f(x)为偶函数，则当x＝0时，φ＝＋kπ，(k∈Z)，又因为0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝sin＋1，将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到g(x)＝sin＋1＝sin＋1的图象，故A正确；g＝sin＋1＝－＋1＝≠1，故B错误；当2x＋∈，(k∈Z)，即x∈，(k∈Z)时，g(x)单调递减，故C正确；当x∈时，2x＋∈，因为y＝g(x)的图象与直线y＝m有两个不同的交点，所以≤m<2，此时2x＋∈∪，故D错误．

6．(2023·临沂模拟)(多选)已知函数f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx(ω>0)的零点构成一个公差为的等差数列，把f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则(　 )

A．g(x)在上单调递增

B.是g(x)图象上的一个对称中心

C．g(x)是奇函数

D．g(x)在区间上的值域为[0,2]

解析：选AB　因为f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx(ω>0)，所以f(x)＝2＝2sin，因为函数f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx(ω>0)的零点依次构成一个公差为的等差数列，所以·＝，解得ω＝1，所以f(x)＝2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到g(x)＝2sin＝2sin＝－2cos 2x的图象，所以g(x)为偶函数，故C错误；当x∈时，2x∈，因为y＝cos x在上单调递减，所以g(x)在上单调递增，故A正确；g＝－2cos＝－2cos＝0，故是g(x)的一个对称中心，故B正确；因为x∈，所以2x∈，所以cos 2x∈，所以g(x)∈[－1,2]，故D错误．

7．(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝2cos，现将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则g＝________.

解析：f(x)＝2cos的图象向左平移个单位长度得到y＝f＝2cos＝2cos 2x的图象，y＝2cos 2x的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝g(x)＝2cos x的图象，所以g＝2cos＝1.

答案：1

8.(2023·日照模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则φ＝________.

解析：由＝－＝知，T＝π，ω＝＝2，由2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<π，所以φ＝.

答案：

9．将函数f(x)＝2sin x图象的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)＝________；若函数g(x)在区间，上单调递增，则实数a的取值范围是________．

解析：将函数f(x)＝2sin x图象的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，得到y＝2sin 2x的图象；再向左平移个单位长度得到g(x)＝2sin的图象．若函数g(x)在区间，上单调递增，则解得≤a≤，所以实数a的取值范围是.

答案：2sin　

10．(2023·闵行模拟)若函数y＝sin x＋cos x的图象向右平移φ个单位长度后是一个奇函数的图象，则正数φ的最小值为______．

解析：y＝sin x＋cos x＝2sin，向右平移φ个单位长度后解析式为f(x)＝2sin，则要想使得f(x)＝2sin为奇函数，只需－φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝－kπ，k∈Z，因为φ>0，所以－kπ>0，k∈Z，解得k<，k∈Z，当k＝0时，正数φ取得最小值为.

答案：

11．某地种植大棚蔬菜，已知大棚内一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝12－3sin，t∈[0,24)．

(1)求大棚这一天的最大温差；

(2)若某种蔬菜的生长要求温度不高于10.5 ℃，若种植这种蔬菜，则在哪段时间大棚需要降温？

解：(1)由题意，函数f(t)＝12－3sin，根据正弦型函数的性质，可得－1≤sin≤1，所以f(t)max＝15，f(t)min＝9，可得f(t)max－f(t)min＝6，所以大棚这一天的最大温差为6 ℃.

(2)由题意，令f(t)>10.5，即12－3sin>10.5，即sin<，因为t∈[0,24)，可得t＋∈，所以<t＋<，解得6<t<22，即在6时至22时这段时间内大棚需要降温．

12．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B在某一个周期内的函数图象列表并填入的部分数据如下表.

(1)求出f(x)的解析式，并求出表中的x1的值；

(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象，若总存在x∈[0,2]，使得3sin2－m·g(x)≥m＋2成立，求实数m的取值范围．

解：(1)由题意，得解得ω＝，φ＝，A＝，B＝0，所以f(x)＝sin，即x1＝－.

(2)因为函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象，

所以g(x)＝sin＝sinx，

所以若总存在x∈[0,2]，使得3sin2－m·g(x)≥m＋2成立，即为总存在x∈[0,2]，

使得3sin2－3msin－m－2≥0成立，

设t＝sin，则t∈[0,1]，即3t2－3mt－m－2≥0在[0,1]上有解，

令φ(t)＝3t2－3mt－m－2，t∈[0,1]，

当≤，即m≤1时，φ(t)max＝φ(1)＝1－4m≥0，所以m≤；

当>，即m>1时，φ(t)max＝φ(0)＝－m－2≥0，

所以m≤－2，与m>1相矛盾，舍去．

综上，m的取值范围是.

二、重点选做题

1．已知函数f(x)＝asin(ax)，a>0，f(x)向右平移个单位长度后的图象与原函数图象重合，f(x)的极大值与极小值的差小于15，则a的最大值为(　 )

A．5  B．6  C．7  D.8

解析：选B　设f(x)的最小正周期为T，因为f(x)向右平移个单位长度后的图象与原函数图象重合，所以＝kT，k∈Z，因为T＝，所以a＝6k，k∈Z.因为f(x)＝asin(ax)，a>0的极大值和极小值分别为a，－a，所以2a<15，即a<7.5，又a＝6k，k∈Z，所以满足条件的amax＝6.

2.(2023·衡阳模拟)(多选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列命题正确的有(　 )

A．函数g(x)的解析式为g(x)＝2sin

B．函数g(x)的最小正周期为4π

C．函数g(x)在区间上单调递减

D.是函数f(x)图象的一个对称中心

解析：选AD　由题图可知，f(x)max＝2，即A＝2；又f(x)的最小正周期T＝4(x0＋π－x0)＝4π，则＝4π，∴ω＝；∵f(0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝，又0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.对于A，将f(x)图象的横坐标缩短到原来的，可得f(4x)＝2sin；将f(4x)向右平移个单位长度，可得g(x)＝2sin＝2sin，A正确；对于B，g(x)的最小正周期为＝π，B错误；对于C，当x∈时，2x－∈， ∴g(x)在上不单调，C错误；对于D，当x＝时，x＋＝π，此时f＝0，∴是f(x)的一个对称中心，D正确．

3．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝Asin，若振幅是2，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点(1,2)，则ω和φ的值分别为(　 )

A．π，  B．2π，

C．π，－  D.2π，－

解析：选A　根据题意，由振幅是2易知A＝2，故s＝2sin，则B(1,2)是s＝2sin的最高点，不妨记B相邻的最低点为C，连接BC，过C作CD⊥y轴，过B作BD⊥CD，交点为D，如图，则CD＝，BD＝2－(－2)＝4，BC＝5，故42＋2＝52，得T＝6，又因为T＝，故ω＝＝＝，得ω＝π，所以s＝2sin，因为B(1,2)是s＝2sin图象上的点，故2sin＝2，得＋φ＝＋2kπ，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，因为|φ|<，所以φ＝，故ω＝π，φ＝.故选A.

4.(2023·重庆八中模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)将函数y＝f(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象．当x∈时，方程g(x)－a＝0恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3(x1<x2<x3)，求实数a的取值范围和x1＋2x2＋x3的值．

解：(1)由题图得，A＝＝2，B＝＝3，

又＝－＝，所以T＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)＋3，

又因为f(x)过点，所以5＝2sin＋3，即sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin2x＋＋3.

(2)由已知得g(x)＝2sin＋3，当x∈时，x＋∈，

令t＝x＋∈，

则2sin＋3＝2sin t＋3，

令h(t)＝2sin t＋3，

则h＝2sin＋3＝4，h＝2sin＋3＝5，h＝2sin＋3＝1，h＝2sin＋3＝3＋，由题意知，y＝h(t)的图象与直线y＝a有三个不同的交点，所以a∈[4,3＋]，

因为h(t)－a＝0有三个不同的实数根t1，t2，t3(t1<t2<t3)，则t1＋t2＝2×＝π，t3＝2π＋t1，

所以t1＋2t2＋t3＝4π，即＋2＋＝4π，

所以x1＋2x2＋x3＝.