2024年新高考数学一轮复习 第四章 第六节 第三课时 解三角形的应用举例

课时跟踪检测(三十三) 解三角形的应用举例

1．C地发生地震时，相距d km的A，B两地都能感受到，已知C地位于A地的正东方向上，C地位于B地的东偏南30°方向上，且C地距离A，B两地分别为100 km和200 km，则d的值是(　 )

A．100  B．100

C．100  D.100

解析：选A　由题知， CA＝100，CB＝200，∠BCA＝30°，所以d＝＝100 km.

2．如图，A，B两地相距45 km，甲欲驾车从A地去B地，由于山体滑坡造成道路AB堵塞，甲沿着与AB方向成18°角的方向前行，中途到达C点，再沿与AC方向成153°角的方向继续前行到达终点B，则这样的驾车路程比原来的路程约多了(　 )

(参考数据：sin 18°≈0.31，sin 27°≈0.45，≈1.41)

A．45.5 km  B．51.5 km

C．56.5 km  D.60.5 km

解析：选C　在△ABC中，由A＝18°，C＝27°，所以B＝180°－A－C＝135°，由正弦定理＝＝，即＝＝，所以AC≈70.5 km，BC≈31 km，所以AC＋BC－AB＝56.5 km.

3．“云楼”是白云区泉湖公园的标志性建筑，也是来到这里必打卡的项目之一，它端坐于公园的礼仪之轴，建筑外形主体是木质结构，造型独特精巧，是泉湖公园的“阵眼”和“灵魂”，同时也是泉湖历史与发展变化的资料展示馆．小张同学为测量云楼的高度，如图，选取了与云楼底部D在同一水平面上的A，B两点，在A点和B点测得C点的仰角分别为45°和30°，测得AB＝25 米，∠ADB＝150°，则云楼的高度CD为(　 )

A．20米  B．25米

C．20 米  D.25 米

解析：选B　依题意∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，设CD＝x，在Rt△ACD，Rt△BCD中，tan∠CAD＝＝1，tan∠CBD＝＝，所以AD＝x，BD＝x，在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，即(25)2＝x2＋(x)2－2x·x·，解得x＝25或x＝－25(舍去)，所以云楼的高度CD为25米．

4．甲船在A处，乙船在甲船北偏东60°方向的B处，甲船沿北偏东θ方向匀速行驶，乙船沿正北方向匀速行驶，且甲船的航速是乙船航速的倍，为使甲船与乙船能在某时刻相遇，则(　 )

A．15°<θ<30°  B．θ＝30°

C．30°<θ<45°  D.θ＝45°

解析：选B　如图所示，设在点C处相遇，设BC＝x，则AC＝x，由题知∠ABC＝120°，由正弦定理得＝，解得sin(60°－θ)＝.因为0°<60°－θ<60°，所以60°－θ＝30°，即θ＝30°.

5.在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为9米(如图所示)，则旗杆的高度为(　 )

A．27米  B．9米

C．9米  D.9米

解析：选A　依题意可知∠AEC＝45°，∠CAE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠ACE＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理可知＝，∴AC＝·sin∠AEC＝18(米)．∴在Rt△ABC中，BC＝AC·sin∠CAB＝18×＝27(米)．

6.如图，一同学利用所学习的解三角形知识想测量河对岸的塔高AB时，他选取了塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，CD＝20 m，在点C处塔顶A的仰角为60°，则塔高为(　 )

A．10(＋)m  B．5(＋)m

C．20(＋)m  D.20(－)m

解析：选A　由题可知，在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，故∠CBD＝60°，由正弦定理可得＝，又sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝×＋×＝，解得CB＝，因为在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，所以AB＝CBtan∠ACB＝×＝10(＋)．

7.如图，海岸线上有相距5 n mile的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3 n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5 n mile的C处．则两艘轮船之间的距离为________n mile.

解析：如图所示．连接AC，由题可知，∠ABC＝60°，AB＝AC＝5 n mile，所以△ABC为正三角形，在△ACD中，AD＝3 n mile，∠DAC＝180°－60°－75°＝45°，所以CD2＝(3)2＋52－2×3×5×cos 45°＝13，即CD＝ n mile.

答案：

8.如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3 mm，BC＝2 mm，AB＝ mm，则∠ACB＝______.

解析：在△ABC中，由余弦定理得cos∠ACB＝＝－.因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝.

答案：

9.如图，无人机在离地面高300 m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN＝60°，则山的高度MN为________m.

解析：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝45°，∴AC＝AB＝300 m，又∠MCA＝180°－60°－45°＝75°，∠MAC＝15°＋45°＝60°，∴∠AMC＝45°，在△AMC中，由正弦定理得MC＝＝300 m，∴MN＝MCsin∠MCN＝300sin 60°＝450 m.

答案：450

10.已知村庄B在村庄A的东偏北45°方向，且村庄A，B之间的距离是4(－1)千米，村庄C在村庄A的北偏西75°方向，且村庄C在村庄B的正西方向，现要在村庄B的北偏东30°方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍．

(1)求村庄B，C之间的距离；

(2)求农贸市场D到村庄B，C的距离之和．

解：(1)由题意可得AB＝4－4，∠BAC＝120°，∠CBA＝45°，∠BCA＝15°，

在△ABC中，由正弦定理可得＝，

则＝，故BC＝4，

即村庄B，C之间的距离为4千米．

(2)村庄C在村庄B的正西方向，

因为农贸市场D在村庄B的北偏东30°的方向，

所以∠CBD＝120°.

在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos∠CBD，

因为CD＝BD，所以3BD2＝(4)2＋BD2＋4BD，

解得BD＝4(负值舍去)，则CD＝12，

故BD＋CD＝4＋12，

即农贸市场D到村庄B，C的距离之和为(4＋12)千米．

11．位于唐山市中心区的凤凰山，山势挺拔秀丽，苍松翠柏密布，因前山如凤凰展翅故名．古朴典雅的八角重檐凤凰亭矗立在山巅，登二楼平台眺望，唐山美景一览无余．某测量小组为测量山的高度，建立了如图所示的数学模型三棱锥C­OAB，OC垂直水平面OAB，点C代表凤凰亭的上顶点，A，B两点代表山脚地面上的两个观测点，同学甲在A处测得仰角为45°，同学乙在B处测得仰角为30°，同学丙测得两个观测点之间的距离AB为90米．(附：若一条直线垂直一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线)

(1)求；

(2)同学甲测出∠CAB为钝角，同学乙测算出cos∠CBA＝，求山高OC的近似值．

解：(1)在Rt△AOC中，由∠OAC＝45°得AC＝OC，

在Rt△BOC中，由∠OBC＝30°得BC＝2OC，

在△ABC中，利用正弦定理得＝，

所以＝＝.

(2)在△ABC中，利用余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠CBA，

即2OC2＝8 100＋4OC2－2×90×2OC×，

化简为OC2－135OC＋4 050＝0，

解得OC＝90或OC＝45，

当OC＝45时，BC＝90＝AB，

与∠CAB为钝角矛盾，经验证OC＝90符合条件，

所以山高OC的近似值为90米．